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Mehrdimensionale Stetigkeit: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Mi 20.11.2019
Autor: bondi

Aufgabe
Ist die Funktion $ f: [mm] \IR^2 \rightarrow \IR [/mm] $ stetig in (0,0) bzw. stetig?

a) $ [mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{x-y}{x^2+y^2}, & \mbox{ } falls \mbox{ } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & \mbox{ } falls \mbox{} (x,y) = (0,0) \end{cases} [/mm] $

Hinweis zu a) Betrachte die Folge $ [mm] \left( \bruch{1}{n}, 0 \right), [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] $

Hallo,
kurz was Technisches. Letztes WE war Euer Server nicht erreichbar. Seitdem er wieder da ist, gibt es mit den $-Zeichen, sprich den LaTeX-Wrappern Probleme. Mal werden sie fehlerfrei gelesen. Ein ander Mal nicht (s. posting).

Zum Eigentlichen:

Wir haben die Aufgabe neulich schon einmal besprochen. Der Verlauf ist also klar. Nun aber gab der Prof die Aufgabe noch einmal mit dem darunter aufgeführten Hinweis aus. Die letzte Klausur hat mich an einigen Stellen wichtige Formpunkte gekostet.
Ich verstehe den Hinweis als Hinweis. Würde also ungeachtet dessen meinen Weg gehen.

Teilt ihr meine Meinung?

Viele Grüße,
bondi



        
Bezug
Mehrdimensionale Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:56 Do 21.11.2019
Autor: fred97


> Ist die Funktion [mm]f: \IR^2 \rightarrow \IR[/mm] stetig in (0,0)
> bzw. stetig?
>  
> a) [mm]f(n)=\begin{cases} \bruch{x-y}{x^2+y^2}, & \mbox{ } falls \mbox{ } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & \mbox{ } falls \mbox{} (x,y) = (0,0) \end{cases}[/mm]


Das soll wohl so lauten:

[mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x-y}{x^2+y^2}, & \mbox{ } falls \mbox{ } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & \mbox{ } falls \mbox{} (x,y) = (0,0) \end{cases}[/mm]


>  
> Hinweis zu a) Betrachte die Folge [mm]\left( \bruch{1}{n}, 0 \right), n \in \IN[/mm]
>  
> Hallo,
>  kurz was Technisches. Letztes WE war Euer Server nicht
> erreichbar. Seitdem er wieder da ist, gibt es mit den
> $-Zeichen, sprich den LaTeX-Wrappern Probleme. Mal werden
> sie fehlerfrei gelesen. Ein ander Mal nicht (s. posting).
>  
> Zum Eigentlichen:
>
> Wir haben die Aufgabe neulich schon einmal besprochen.


Damals hatten wir allerdings:



$ [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{ } falls \mbox{ } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & \mbox{ } falls \mbox{} (x,y) = (0,0) \end{cases} [/mm] $

> Der Verlauf ist also klar. Nun aber gab der Prof die
> Aufgabe noch einmal mit dem darunter aufgeführten Hinweis
> aus. Die letzte Klausur hat mich an einigen Stellen
> wichtige Formpunkte gekostet.
>  Ich verstehe den Hinweis als Hinweis.


Ja, ein Hinweis ist als Hinweis zu verstehe, was sonst ?

> Würde also
> ungeachtet dessen meinen Weg gehen.

Welchen Weg ? Früher und auch jetzt hast Du diese Aufgabe nicht bearbeitet.

Welche Aufgabe ist es nun, die mit den Quadraten oder die ohne Quadrate ?


Egal, bei beiden kommst Du mit dem Hinweis ratz-fatz ans Ziel:

Ist

$ [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{ } falls \mbox{ } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & \mbox{ } falls \mbox{} (x,y) = (0,0) \end{cases} [/mm] $,

so haben wir [mm] $f(\frac{1}{n},0)=1 \to [/mm] 1 [mm] \ne [/mm] 0 =f(0,0)$ für $n [mm] \to \infty.$ [/mm]

$f$ ist also in (0,0) nicht stetig.

Ist hingegen

$ [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x-y}{x^2+y^2}, & \mbox{ } falls \mbox{ } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & \mbox{ } falls \mbox{} (x,y) = (0,0) \end{cases} [/mm] $,

so haben wir [mm] $f(\frac{1}{n},0)= [/mm] n [mm] \to \infty$ [/mm] für $n [mm] \to \infty.$ [/mm]

$f$ ist also in (0,0) nicht stetig.

>  
> Teilt ihr meine Meinung?
>  
> Viele Grüße,
>  bondi
>  
>  


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