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Mehrdimensionale Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:54 Do 21.06.2012
Autor: bammbamm

Aufgabe
Lassen sich folgende Funktionen im Ursprung stetig fortsetzen ?

a) [mm] f_1: \IR^2/ \{(0,0)^T\} \to \IR: (x,y)^T \mapsto \bruch{x+y^2}{x^2+y^2} [/mm]
b) [mm] f_2: \IR^2/ \{(0,0)^T\} \to \IR: (x,y)^T \mapsto \bruch{x^4-y^4}{x^2+2*y^2} [/mm]

Hallo,

eine Funktion ist ja stetig fortsetzbar wenn [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f(x) existiert, [mm] f(x_0) [/mm] jedoch nicht. Bzw. [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} [/mm] f(x,y) existiert, [mm] f(x_0,y_0) [/mm] jedoch nicht.

Da von vornerein definiert wurde [mm] \IR^2/ \{(0,0)^T\} [/mm] existiert mein [mm] f(x_0,y_0) [/mm] ja schonmal nicht und es muss nurnoch gezeigt werden, dass  [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} [/mm] f(x,y) existiert. Ist das so korrekt ?

Desweiteren: Kann man l'Hospital hier auch anwenden ? Wenn ja, wie kann ich denn l'Hospital mit zwei Variablen anwenden ?

LG

        
Bezug
Mehrdimensionale Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Do 21.06.2012
Autor: schachuzipus

Hallo bammbamm,


> Lassen sich folgende Funktionen im Ursprung stetig
> fortsetzen ?
>  
> a) [mm]f_1: \IR^2/ \{(0,0)^T\} \to \IR: (x,y)^T \mapsto \bruch{x+y^2}{x^2+y^2}[/mm]
>  
> b) [mm]f_2: \IR^2/ \{(0,0)^T\} \to \IR: (x,y)^T \mapsto \bruch{x^4-y^4}{x^2+2*y^2}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> eine Funktion ist ja stetig fortsetzbar wenn
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] f(x) existiert, [mm]f(x_0)[/mm] jedoch
> nicht. Bzw. [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}[/mm] f(x,y)
> existiert, [mm]f(x_0,y_0)[/mm] jedoch nicht.

Du meinst [mm]x_0=0[/mm] bzw. [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm]

Stetige Fortsetzbarkeit bedeutet, dass die Funktion an der "kritischen" Stelle [mm](x_0,y_0)[/mm] zwar erstmal nicht definiert ist, du sie aber - im Falle der Existenz des [mm]\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=:R[/mm] - eben durch die Zusatzdefinition [mm]f(x_0,y_0):=R[/mm] in [mm](x_0,y_0)[/mm] stetig ergänzen kannst.

>  
> Da von vornerein definiert wurde [mm]\IR^2/ \{(0,0)^T\}[/mm]
> existiert mein [mm]f(x_0,y_0)[/mm] ja schonmal nicht und es muss
> nurnoch gezeigt werden, dass  [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}[/mm]
> f(x,y) existiert. Ist das so korrekt ?

Ja.

Kennst du das Folgenkriterium der Stetigkeit? Das eignet sich bei a) hervorragend, um die Stetige Ergänzbarkeit in [mm](0,0)[/mm] zu widerlegen.

Finde eine (einfache) Folge [mm]((x_n,y_n))_{n\in\IN}[/mm] mit [mm](x_n,y_n)\to (0,0)[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm], wo aber [mm]\lim\limts_{n\to\infty}f_1(x_n,y_n)[/mm] nicht existiert.

Bei b) ist ein Übergang zu Polarkoordinaten nützlich.

Alternativ kannst du ja durch ein bisschen Ausprobieren und Basteln mal versuchen zu erraten, wie man wohl [mm]f_2(0,0)[/mm] definieren muss, um die Funktion stetig zu machen.

Dann kannst du das [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium der Stetigkeit auspacken.

Auch ein online-plot kann hilfreich sein:

Hier etwa von []der ersten Funktion



>  
> Desweiteren: Kann man l'Hospital hier auch anwenden ? Wenn
> ja, wie kann ich denn l'Hospital mit zwei Variablen
> anwenden ?

Ist mir nicht bekannt, dass das geht ..

>  
> LG

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Mehrdimensionale Stetigkeit: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 So 24.06.2012
Autor: DonC

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo,
ich habe zu der a)-Aufgabe einen Lösungsansatz.
für die Folge mit $ {z}_n \to (0,0)=0\in \IR^2\,, $

$ f(z_n)=f(-1/n,\,1/n)=\frac{\frac{-1}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}}=\frac{-n+1}{2}\ $         Somit gilt \limes_{n\rightarrow\infty}$ {z}_n \Rightarrow f(\limes_{n\rightarrow\infty}{z}_n)\Rightarrow -\infty$

Für $ \tilde{z}_n \to (0,0)=0\in \IR^2\,, $

$ f(\tilde{z}_n)=f(-1/n,\,1/\wurzel{n})=\frac{\frac{-1}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}}=\frac{0}{\frac{1+n}{n^2}\}$         Somit gilt \limes_{n\rightarrow\infty}$ \tilde{z}_n \Rightarrow f(\limes_{n\rightarrow\infty}\tilde{z}_n)\Rightarrow 0$

Ich bin mir dabei nicht ganz sicher und frage daher ob dies nun so stimmt?

Bei der b) komme ich nicht richtig weiter,
Setzt ich an
$ f(z_n)=f(r*sin(\phi),r*cos(\phi))=\frac{r^4*(cos(\phi))^4-r^4*(sin(\phi))^4}{r^2*(cos(\phi))^2+2r^2*(sin(\phi))^2}{n^2}}={\frac{r^2*((cos(\phi))^4-(sin(\phi))^4)}{(cos(\phi))^2+2*(sin(\phi))^2}$

Meine Frage ist nun, gegen welchen wert ich \{r} laufen lassen soll, und wie kann ich damit Stetig- bzw. Unstetigkeit beweisen?

Viele Grüße


Bezug
                        
Bezug
Mehrdimensionale Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 So 24.06.2012
Autor: fred97


> Hallo,
>  ich habe zu der a)-Aufgabe einen Lösungsansatz.
>  für die Folge mit [mm]{z}_n \to (0,0)=0\in \IR^2\,,[/mm]
>  
> [mm]f(z_n)=f(-1/n,\,1/n)=\frac{\frac{-1}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}}=\frac{-n+1}{2}\[/mm]
>         Somit gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]{z}_n \Rightarrow f(\limes_{n\rightarrow\infty}{z}_n)\Rightarrow -\infty[/mm]


Korrekt:

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]{z}_n =0, aber f(\limes_{n\rightarrow\infty}{z}_n)= -\infty[/mm]

Damit lässt sich f nicht stetig fortsetzen.


>  
> Für [mm]\tilde{z}_n \to (0,0)=0\in \IR^2\,,[/mm]
>  
> [mm]f(\tilde{z}_n)=f(-1/n,\,1/\wurzel{n})=\frac{\frac{-1}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}}=\frac{0}{\frac{1+n}{n^2}\}[/mm]
>         Somit gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]\tilde{z}_n \Rightarrow f(\limes_{n\rightarrow\infty}\tilde{z}_n)\Rightarrow 0[/mm]
>  
> Ich bin mir dabei nicht ganz sicher und frage daher ob dies
> nun so stimmt?
>  
> Bei der b) komme ich nicht richtig weiter,
>  Setzt ich an
>  
> [mm]f(z_n)=f(r*sin(\phi),r*cos(\phi))=\frac{r^4*(cos(\phi))^4-r^4*(sin(\phi))^4}{r^2*(cos(\phi))^2+2r^2*(sin(\phi))^2}{n^2}}={\frac{r^2*((cos(\phi))^4-(sin(\phi))^4)}{(cos(\phi))^2+2*(sin(\phi))^2}[/mm]
>  
> Meine Frage ist nun, gegen welchen wert ich [mm]\{r}[/mm] laufen
> lassen soll,


r [mm] \t0 [/mm] 0 natürlich !

> und wie kann ich damit Stetig- bzw.
> Unstetigkeit beweisen?

Zeige: [mm] f(r*sin(\phi),r*cos(\phi)) \to [/mm] 0 für r [mm] \to [/mm] 0

Damit lässt sich f stetig fortsetzen

FRED

>  
> Viele Grüße
>  


Bezug
                                
Bezug
Mehrdimensionale Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Mo 25.06.2012
Autor: bammbamm

Ist es auch möglich die a) mit der Vertauschung von Grenzprozessen zu lösen ?

Also

[mm] B:=\limes_{x\rightarrow 0}(\limes_{y\rightarrow 0}\bruch{x+y^2}{x^2+y^2}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x}{x^2}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{x}=\infty [/mm]

und

[mm] C:=\limes_{y\rightarrow 0}(\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x+y^2}{x^2+y^2}=\limes_{y\rightarrow 0} \bruch{y^2}{y^2}=1 [/mm]

Und somit B [mm] \not= [/mm] C und daraus folgt, dass kein [mm] A:=\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{x+y^2}{x^2+y^2} [/mm] existiert und dadurch f(x,y) nicht in (0,0) stetig ergänzbar ist ?

Bezug
                                        
Bezug
Mehrdimensionale Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Mo 25.06.2012
Autor: fred97


> Ist es auch möglich die a) mit der Vertauschung von
> Grenzprozessen zu lösen ?
>  
> Also
>  
> [mm]B:=\limes_{x\rightarrow 0}(\limes_{y\rightarrow 0}\bruch{x+y^2}{x^2+y^2}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x}{x^2}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{x}=\infty[/mm]
>  
> und
>  
> [mm]C:=\limes_{y\rightarrow 0}(\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x+y^2}{x^2+y^2}=\limes_{y\rightarrow 0} \bruch{y^2}{y^2}=1[/mm]
>  
> Und somit B [mm]\not=[/mm] C und daraus folgt, dass kein
> [mm]A:=\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{x+y^2}{x^2+y^2}[/mm]
> existiert und dadurch f(x,y) nicht in (0,0) stetig
> ergänzbar ist ?


Ja, das geht auch

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Mehrdimensionale Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Mo 25.06.2012
Autor: bammbamm

Gleiches kann ich ja dann auf die b) anwenden ganz ohne Polarkoordinaten ?

[mm] B:=\limes_{x\rightarrow 0}(\limes_{y\rightarrow 0} \bruch{x^4-y^4}{x^2+2*y^2})=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x^4}{x^2}=\limes_{x\rightarrow 0} x^2 [/mm] = 0

und

[mm] C:=\limes_{y\rightarrow 0}(\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x^4-y^4}{x^2+2*y^2})=\limes_{y\rightarrow 0}\bruch{-y^4}{2*y^2}=\limes_{y\rightarrow 0} \bruch{-y^2}{2}=0 [/mm]

Somit B=C und daraus folgt es existiert [mm] A:=\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{x^4-y^4}{x^2+2*y^2}. [/mm] Somit im Punkt (0,0) stetig ergänzbar mit f(0,0)=0

Bezug
                                                        
Bezug
Mehrdimensionale Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Mo 25.06.2012
Autor: leduart

Hallo
2 spezielle Wege wählen geht für Stetigkeit nicht! es muss auf ALLEN Wegen  denselben GW haben , und die kannst du ja nicht alle einzeln zeigen! bzw in jeder 2d Umgebung von (0,0) kleiner [mm] \epsilon [/mm] werden, deshalb ist der andere Weg, r gegen 0 ja genau das richtige und einfachste.
merke : zum zeigen von unstetigkeit sind 2 spezielle Wege oder folgen, die verschiedene GW haben geeignet, nicht zum zeigen von Stetigkeit!.
Gruss leduart

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