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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Mehrdimensionaler MWS
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Mehrdimensionaler MWS: Mittelwertsatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Do 24.07.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Es ist [mm] $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ [/mm] eine stetig differenzierbare Abbildung  mit [mm] ||grad\, f(x)||\leq [/mm] 1 für alle [mm] $x\in\mathbb{R}$. [/mm]

Zeigen Sie:

[mm] $|f(x)-f(y)|\leq [/mm] ||x-y||$ für alle [mm] $x,y\in\mathbb{R}^n$ [/mm]

Hi,

kann man den Mittelwertsatz im eindimensionalem Fall auf den mehrdimensionalen übertragen?
Ich könnte mir vorstellen, dass dies zur Lösung dieser Aufgabe beitragen könnte.

Obiges würde ja bedeuten, dass die Funktion Lipschitz-stetig ist mit L=1.


        
Bezug
Mehrdimensionaler MWS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Do 24.07.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,


> Es ist [mm]f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}[/mm] eine stetig
> differenzierbare Abbildung  mit [mm]||grad\, f(x)||\leq[/mm] 1 für
> alle [mm]x\in\mathbb{R}[/mm].
>  
> Zeigen Sie:
>  
> [mm]|f(x)-f(y)|\leq ||x-y||[/mm] für alle [mm]x,y\in\mathbb{R}^n[/mm]
>  Hi,
>  
> kann man den Mittelwertsatz im eindimensionalem Fall auf
> den mehrdimensionalen übertragen?


Ja.


> Ich könnte mir vorstellen, dass dies zur Lösung dieser
> Aufgabe beitragen könnte.
>  
> Obiges würde ja bedeuten, dass die Funktion
> Lipschitz-stetig ist mit L=1.

>


Gruss
MathePower

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Bezug
Mehrdimensionaler MWS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:04 Do 24.07.2014
Autor: YuSul

Okay, wenn ich dann die Funktion dann auf ein Intervall [x,y] einschränke, dann gibt es mindestens ein [mm] $\xi$ [/mm] so, dass gilt

[mm] f'(\xi)=\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$ [/mm]

[mm] $x,y,\xi\in\mathbb{R}^n$ [/mm]

Dann ist

[mm] 1\geq \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} [/mm] also

[mm] |x-y|\geq [/mm] |f(x)-f(y)|

Bezug
                        
Bezug
Mehrdimensionaler MWS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Do 24.07.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,


> Okay, wenn ich dann die Funktion dann auf ein Intervall
> [x,y] einschränke, dann gibt es mindestens ein [mm]\xi[/mm] so,
> dass gilt
>  
> [mm]f'(\xi)=\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$[/mm]
>  
> [mm]x,y,\xi\in\mathbb{R}^n[/mm]
>  
> Dann ist
>  
> [mm]1\geq \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}[/mm] also
>  
> [mm]|x-y|\geq[/mm] |f(x)-f(y)|


[ok]


Gruss
MathePower

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Bezug
Mehrdimensionaler MWS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Do 24.07.2014
Autor: YuSul

Das war echt alles? :)

Bezug
                                        
Bezug
Mehrdimensionaler MWS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:34 Do 24.07.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,

> Das war echt alles? :)


Ja, sofern sich der Aufgabensteller damit zufrieden gibt.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Mehrdimensionaler MWS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:36 Do 24.07.2014
Autor: YuSul

Mich macht es nur etwas stutzig, da es eine alte Klausuraufgabe war und es dafür 8 Punkte gibt, wobei das in 3 Minuten erledigt ist...

Bezug
                        
Bezug
Mehrdimensionaler MWS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:21 Fr 25.07.2014
Autor: fred97


> Okay, wenn ich dann die Funktion dann auf ein Intervall
> [x,y] einschränke, dann gibt es mindestens ein [mm]\xi[/mm] so,
> dass gilt
>  
> [mm]f'(\xi)=\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$[/mm]

Das ist doch Unfug !!!  Links steht ein Element [mm] \in \IR^n [/mm] und rechts steht ein Element [mm] \in \IR [/mm] !! ???


Der MWS im mehrdimensionalen lautet so:

Sei D [mm] \subseteq \IR^n [/mm] offen und sei f:D [mm] \to \IR [/mm] auf D differenzierbar. Sind nun a,b [mm] \in [/mm] D und liegt die Verbindungsstrecke S von a und b ganz in D, so ex. ein [mm] \xi \in [/mm] S mit:

    [mm] f(b)-f(a)=gradf(\xi)*(b-a). [/mm]


Es folgt mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:

    $|f(b)-f(a)| [mm] \le ||gradf(\xi)||*||(b-a)||.$ [/mm]


FRED

>  
> [mm]x,y,\xi\in\mathbb{R}^n[/mm]
>  
> Dann ist
>  
> [mm]1\geq \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}[/mm] also
>  
> [mm]|x-y|\geq[/mm] |f(x)-f(y)|


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