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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Di 04.09.2007 | | Autor: | Jonez |
| Aufgabe | 1. Sei [mm] G \subset \IC [/mm] ein Gebiet und f eine auf G holomorphe Funktion. Zeige folgende Aussage:
Ist [mm] Re(f(z)) \in \IQ [/mm] für alle [mm] z \in G [/mm] , dann ist f konstant auf G.
2. Richtig oder falsch:
a. Das Gebiet [mm] G := \IC \setminus [0, \infty) [/mm] ist einfach zusammenhängend.
b. Es gibt eine Folge ganzer Funktionen [mm] (f_{n})_{n=1}^{\infty} [/mm] welche auf dem Kreisring K(0,1,2) gleichmäßig gegen die Funktion [mm] f(z) := \bruch{1}{z} [/mm] konvergiert.
c. Ist f holomorph auf der punktierten Kreisscheibe K'(0,1) und das Residuum von f bei 0 ist 0, so hat f eine Stammfunktion in K'(0,1).
d. Sind f und g ganze Funktionen, so hat f/g keine wesentliche Singularität in [mm] z_{0} = 0 [/mm].
e. Ist f eine ganze Funktion und [mm] f(\IR) \subset \{ix: x\in \IR\} [/mm] , so ist f konstant.
f. Für jedes Polynom p gilt: [mm] \integral_{|z|=1}{p(z)dz} = 0 [/mm]
g. Ist f eine ganze Funktion, so kann f um jedes [mm] z_{0} \in \IC [/mm] in eine Potenzreihe mit Konvergenzradius [mm] \infty [/mm] entwickelt werden.
h. Sind f und g ganze Funktionen mit [mm] |f(z)| > |g(z)| [/mm] für alle [mm] z \in \partial K(0,1) [/mm] , so ist die Anzahl der Nullstellen von g größer oder gleich der Anzahl der Nullstellen von f.
i. Sie [mm] G \subset \IC [/mm] ein beschränktes Gebiet und [mm] (z_{n})_{n=1}^{\infty} [/mm] eine Folge in G mit [mm] z_{k} \not= z_{j} [/mm] für [mm] j \not= k [/mm]. Gilt [mm] f(z_{n}) = 0 [/mm] für alle n, so ist [mm] f \equiv 0 [/mm] in G. |
Hi,
ich hab am Donnerstag Nachholprüfung und weiß, dass ich (freundlicherweise) nach ähnlichen Aufgaben gefragt werde, wie die, die ich in der Klausur falsch hatte.
Bei den oben gestellten Fragen, bin ich mir nicht ganz 100%ig sicher, desshalb würde ich mich freuen, wenn mir jemand entweder sagen könnte, ob meine Begründungen so okay, oder doch falsch sind.
Also zu 1 (Beweis).
Der Realteil der Funktion nimmt nur rationale Werte an.
Da f auf G holomorph ist, bedeutet dass auch, dass f auf G stetig ist.
Mit dem zwischenwertsatz folgt dann, dass für zwei verschiedene (rationale) Werte von Re(f(z)), Re(f) auch alle Werte dazwischen annehmen muss. Da zwischen zwei verschiedenen rationalen Werten jedoch auch irrationale Werte liegen, die Re(f) jedoch nicht annimmt, kann Re()f nur konstant sein.
Das bedeutet dann aber mit der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung, dass auch Im(f) konstant sein muss und somit f konstant ist.
Zu 2.
a. ja, da G sternförmig ist, bzw. jeder Weg in G nullhomotop ist.
b. ja, allerdings kann ich es nicht begründen :-/
c. ja, da somit das Integral in K'(0,1) wegunabhängig ist.
d. ja. f/g hat genau da Singularitäten, wo g = 0 wird. An diesen Stellen gibt es dann entweder Pole, oder hebbare Singularitäten.
Eine wesentliche Singularität könnte es nur geben, wenn f oder g an einer Stelle nicht holomorph wäre.
e. Nein. Eine Abbildung von der reellen auf die imaginäre Achse wäre z.B. eine solche Funktion, die nicht konstant ist.
f. Ja, da Polynome ganze Funktionen sind.
g. Ja, da f überall holomorph ist, kann f auch in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickelt werden. Der Konvergenzradius ist dann immer so groß wie die größte Kreisscheibe um diesen Punkt, in dem f noch holomorph ist. Da f überall holomorph ist, ist das Konvergenzradius [mm] \infty.
[/mm]
h. Nein. Gegenbeispiel: [mm] f(z) = 2z [/mm] und [mm] g(z) = 1 [/mm]. f hat eine Nullstelle, g keine.
i. Nein. Das heißt ja, dass es unenedlich viele Nullstellen in dem beschränkten Gebiet geben muss. Als Gegenbeispiel könnte man hier einfach [mm] f(z) = sin(\bruch{1}{z}) [/mm] angeben.
Ich glaub aber, in der Aufgabe fehlt noch, dass f auch holomorph in G sein muss. Wie könnte es dann gehen?
Danke,
Jonas
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> 1. Sei [mm]G \subset \IC[/mm] ein Gebiet und f eine auf G holomorphe
> Funktion. Zeige folgende Aussage:
> Ist [mm]Re(f(z)) \in \IQ[/mm] für alle [mm]z \in G[/mm] , dann ist f
> konstant auf G.
>
> 2. Richtig oder falsch:
>
> a. Das Gebiet [mm]G := \IC \setminus [0, \infty)[/mm] ist einfach
> zusammenhängend.
> b. Es gibt eine Folge ganzer Funktionen
> [mm](f_{n})_{n=1}^{\infty}[/mm] welche auf dem Kreisring K(0,1,2)
> gleichmäßig gegen die Funktion [mm]f(z) := \bruch{1}{z}[/mm]
> konvergiert.
> c. Ist f holomorph auf der punktierten Kreisscheibe
> K'(0,1) und das Residuum von f bei 0 ist 0, so hat f eine
> Stammfunktion in K'(0,1).
> d. Sind f und g ganze Funktionen, so hat f/g keine
> wesentliche Singularität in [mm]z_{0} = 0 [/mm].
> e. Ist f eine
> ganze Funktion und [mm]f(\IR) \subset \{ix: x\in \IR\}[/mm] , so ist
> f konstant.
> f. Für jedes Polynom p gilt: [mm]\integral_{|z|=1}{p(z)dz} = 0[/mm]
>
> g. Ist f eine ganze Funktion, so kann f um jedes [mm]z_{0} \in \IC[/mm]
> in eine Potenzreihe mit Konvergenzradius [mm]\infty[/mm] entwickelt
> werden.
> h. Sind f und g ganze Funktionen mit [mm]|f(z)| > |g(z)|[/mm] für
> alle [mm]z \in \partial K(0,1)[/mm] , so ist die Anzahl der
> Nullstellen von g größer oder gleich der Anzahl der
> Nullstellen von f.
> i. Sie [mm]G \subset \IC[/mm] ein beschränktes Gebiet und
> [mm](z_{n})_{n=1}^{\infty}[/mm] eine Folge in G mit [mm]z_{k} \not= z_{j}[/mm]
> für [mm]j \not= k [/mm]. Gilt [mm]f(z_{n}) = 0[/mm] für alle n, so ist [mm]f \equiv 0[/mm]
> in G.
> Hi,
>
> ich hab am Donnerstag Nachholprüfung und weiß, dass ich
> (freundlicherweise) nach ähnlichen Aufgaben gefragt werde,
> wie die, die ich in der Klausur falsch hatte.
> Bei den oben gestellten Fragen, bin ich mir nicht ganz
> 100%ig sicher, desshalb würde ich mich freuen, wenn mir
> jemand entweder sagen könnte, ob meine Begründungen so
> okay, oder doch falsch sind.
>
> Also zu 1 (Beweis).
> Der Realteil der Funktion nimmt nur rationale Werte an.
> Da f auf G holomorph ist, bedeutet dass auch, dass f auf G
> stetig ist.
> Mit dem zwischenwertsatz
Ist dies nicht etwas salopp (ein Satz über reelle Funktionen)? Aber zugegeben: man kann $f$ auf einen Weg im Gebiet einschränken, dann kann man den Zwischenwertsatz wohl anwenden.
> folgt dann, dass für zwei
> verschiedene (rationale) Werte von Re(f(z)), Re(f) auch
> alle Werte dazwischen annehmen muss. Da zwischen zwei
> verschiedenen rationalen Werten jedoch auch irrationale
> Werte liegen, die Re(f) jedoch nicht annimmt, kann Re()f
> nur konstant sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber, siehe oben.
> Das bedeutet dann aber mit der Cauchy-Riemannschen
> Differentialgleichung, dass auch Im(f) konstant sein muss
> und somit f konstant ist.
> Zu 2.
> a. ja, da G sternförmig ist, bzw. jeder Weg in G
> nullhomotop ist.
>
> b. ja, allerdings kann ich es nicht begründen :-/
Der fragliche Kreisring ist eine kompakte Teilmenge des Konvergenzbereiches der Laurentreihe von [mm] $\frac{1}{z}$, [/mm] nicht? Also kann man doch die Anfangsstücke der Laurentreihe nehmen.
> c. ja, da somit das Integral in K'(0,1) wegunabhängig ist.
>
> d. ja. f/g hat genau da Singularitäten, wo g = 0 wird. An
> diesen Stellen gibt es dann entweder Pole, oder hebbare
> Singularitäten.
> Eine wesentliche Singularität könnte es nur geben, wenn f
> oder g an einer Stelle nicht holomorph wäre.
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") Die Formulierung überzeugt mich nicht so recht - aber vielleicht liegt's an mir. Ich, für meinen Teil, hätte noch bemerkt, dass die Nullstellen holomorpher Funktionen, die nicht identisch $0$ sind, "endlicher Ordnung" sein müssen: daraus folgt Deine Aussage dass $1/g$ nur Polstellen besitzen könne.
Aber ist $g$ nicht vielleicht sogar identisch $0$? Der Aufgabentext scheint dies nicht auzuschliessen. - Was dann?
> e. Nein. Eine Abbildung von der reellen auf die imaginäre
> Achse wäre z.B. eine solche Funktion, die nicht konstant
> ist.
Also etwa [mm] $f(z)=\mathrm{i}z$
[/mm]
>
> f. Ja, da Polynome ganze Funktionen sind.
>
> g. Ja, da f überall holomorph ist, kann f auch in jedem
> Punkt in eine Potenzreihe entwickelt werden. Der
> Konvergenzradius ist dann immer so groß wie die größte
> Kreisscheibe um diesen Punkt, in dem f noch holomorph ist.
> Da f überall holomorph ist, ist das Konvergenzradius
> [mm]\infty.[/mm]
>
> h. Nein. Gegenbeispiel: [mm]f(z) = 2z[/mm] und [mm]g(z) = 1 [/mm]. f hat eine
> Nullstelle, g keine.
> i. Nein.
> Das heißt ja, dass es unenedlich viele Nullstellen
> in dem beschränkten Gebiet geben muss. Als Gegenbeispiel
> könnte man hier einfach [mm]f(z) = sin(\bruch{1}{z})[/mm] angeben.
> Ich glaub aber, in der Aufgabe fehlt noch, dass f auch
> holomorph in G sein muss. Wie könnte es dann gehen?
Dann geht es auch: insbesondere geht doch dann Dein eigenes Gegenbeispiel noch immer. Der Aufgabensteller hat es Dir mit dieser Unterlassung einfacher gemacht...
Wenn der Häufungspunkt von Nullstellen einer holomorphen Funktion nicht im Gebiet liegt, in dem sie definiert ist, dann kann man den Identitätssatz zum Nachweis des identischen Verschwindens der Funktion nicht anwenden. (Wie eben auch Dein Gegenbeispiel zeigt.)
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