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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 So 26.06.2005 | | Autor: | jo4 |
wir müssen ein Referat halten über die Funktion f(x) = x(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
und den Einfluss, den mehrfache Nullstellen auf den Graph haben.
Unsere Vermutung ist, dass die Parameter auch jeweils die Nullstelle sind. Jedoch finden wir keinen Ansatz, wie wir die Vermutung beweisen können.
Dabei müssen wir "nur" die doppelte und die dreifache Nullstelle beweisen.
Kann uns vielleicht irgendwer mal nen Lösungsansatz sagen, damit wir wissen, wie wir anfangen müssen?
Wir haben auch noch den Hinweis bekommen, dass wir die Produktregel verwenden sollen und zur Vereinfachung für die mehrfache Nullstelle x = 0 verwenden sollen. Aber wir kommen damit nicht weiter.
Wir könnten die Produkte zB durch r vereinfachen, aber was bringt uns das? Müssen wir die Nullstellen über die Ableitungen beweisen?
Wir freuen uns sehr, wenn uns jemand hilft!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo.
Ich versteh leider nicht ganz, was Du meinst...
Wenn ich richtig verstehe, sollt ihr untersuchen, was es für einen Effekt auf den Graphen hat, wenn eine Nullstelle doppelt oder überhaupt mehrfach vorkommt.
Prinzipiell ist es so, daß Nullstellen mit ungerader Vielfachheit Nullstellen mit Vorzeichenwechsel sind, die mit gerader Vielfachheit sind keine Vorzeichenwechsel.
Das kann man beweisen, indem man sich eine Umgebung von so einer, sagen wir n-fachen Nullstelle wählt, die klein genug ist, daß die anderen Terme das Verhalten nicht beeinflussen.
Dann läuft es im Prinzip darauf hinaus, die Funktionswerte eines Ausdrucks der Form [mm] (x-d)^n [/mm] knapp links und knapp rechts von d zu untersuchen.
Das geht aber im Prinzip völlig anschaulich und ihr braucht auch keine Ableitungen dazu...
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 So 26.06.2005 | | Autor: | jo4 |
Hi.
Erstmal vielen Dank, dass du so schnell geantwortet hast.
Das mit dem Verstehen ist so ne Sache: wir wissen selbst nicht genau, was wir machen müssen, ich kann ja mal die Originalaufgabe schreiben:
Untersuchen Sie experimentell, welchen Einfluss mehrfache Nullstellen auf den Graphen einer Funktion haben.
Stellen Sie Vermutungen für den allgemeinen Fall(einer genügend oft differenzierbaren Funktion) auf.
Funktion: f(x)= x(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
Zunächste gilt: a=-2 b=-1 c=1 d=2
Untersuchen Sie die Eigenschaften des Ursprungs, wenn x =0 doppelte, dreifache, vierfache Nullstelle ist.
Beweisen Sie die Vermutung für die Fälle der doppelten und dreifachen Nullstelle.
Hinweis:
Verwenden Sie die Produktregel!
Verwenden Sie für die mehrfache Nullstelle zur Vereinfachung x=0!
Wir haben herausgefunden, dass die jeweiligen Parameter und der Ursprung Nullstellen sind, außerdem dass der Ursprung in den unterschiedlichen Fällen Hoch-, Tief-, oder Wendepunkt sein kann.
Wir kommen halt nicht darauf, wie wir das mit der Produktregel beweisen sollen, denn die ist ja zum Ableiten und das würde heißen, wir müssen die Vermutungen durch Ableiten beweisen.
Kannst du uns da helfen????
Wir kommen absolut nicht weiter.
Wäre super.
schonmal danke.
Schöne Grüße
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Hi, jo4,
mit der Ableitung hast Du Recht!
Ich will's Dir mal an einem einfacheren Beispiel klarmachen:
f(x) = [mm] x^{2}*(x-1)
[/mm]
also: doppelte Nullstelle bei x=0, einfache NS bei x=1.
Ableitung mit Hilfe der Produktregel:
f'(x) = 2x*(x-1) + [mm] x^{2}*1 [/mm] = x*(2x-2+x) = x*(3x-2).
x=0 (die doppelte NS) eingesetzt: f'(0) = 0.
Dass wieder =0 rauskommt, ist kein Zufall!!
Wenn Du nun noch f''(x) ausrechnest, wirst Du erkennen: f''(0) [mm] \not= [/mm] 0.
Erkenntnis: Eine doppelte Nullstelle von f ist eine Extremstelle!
Wenn Du nun dasselbe mit einer dreifachen Nullstelle machst, wird auch f'' noch =0 werden, f''' aber nicht!
Erkenntnis: Eine dreifache Nullstelle ist Terrassenstelle.
Weißt Du nun in etwa, wie "der Hase läuft"?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Mo 27.06.2005 | | Autor: | jo4 |
Hi Zwerglein.
Ich habs jetzt kapiert, vielen Dank dafür. Das ist ja doch nicht ganz so schwer.
Viele Grüße
jo4
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