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Mehrschrittverfahren: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Di 19.11.2013
Autor: chesn

Aufgabe
Zeigen Sie, dass ein Mehrschrittverfahren der Ordnung $p$ die exakte Lösung des Anfangswertproblems

$y'(t)=f(t), \ \ \ \ [mm] y(t_0)=y_0, [/mm] \ \ \ \  [mm] f\in\Pi_{p-1} [/mm] $

liefert, wobei [mm] \Pi_{p-1} [/mm] den Polynomraum mit Maximalgrad $p-1$ bezeichnet.

Hallo! Hänge hier leider etwas, daher würde ich mich über jeden Tipp sehr freuen...

Meine Idee bis jetzt ist, mit der Taylor-Entwicklung

[mm] $y(t_{k+j})=y(t_k+j\Delta{t})=y(t_k)+j\Delta{t}*y'(t_k)+\bruch{(j\Delta{t})^2}{2}*y''(t_k)+...+\bruch{(j\Delta{t})^p}{p!}*y^{(p)}(t_k)$ [/mm]

$y'(t)=f(t) \ \ => \ \ [mm] y(t_{k+j})=y(t_k)+j\Delta{t}*f(t_k)+\bruch{(j\Delta{t})^2}{2}*f'(t_k)+...+\bruch{(j\Delta{t})^p}{p!}*f^{(p-1)}(t_k)$ [/mm] (1)

und der Rekursionsformel für Mehrschrittverfahren

[mm] $\sum\limits_{j=0}^{p}a_j*y_{k+j}=\Delta{t}*\sum\limits_{j=0}^{p}b_j*f(t_{k+j},y_{k+j})$ [/mm] wobei hier: [mm] $=\Delta{t}*\sum\limits_{j=0}^{p}b_j*f(t_{k+j})$ [/mm] (2)

zu arbeiten. Wenn das Mehrschrittverfahren die exakte Lösung liefert, müssten doch beide gleich sein, oder sehe ich das falsch?
D.h. wenn ich (1) in (2) einsetze, erhalte ich

[mm] $\sum\limits_{j=0}^{p}a_j*y(t_{k+j})=\Delta{t}*\sum\limits_{j=0}^{p}b_j*f(t_{k+j})$ [/mm]

und muss die Gleichheit zeigen? Aber was ist hier $k$?
Verstehe das Ganze noch nicht so recht.


Wie komme ich weiter? Oder ist das alles totaler Murks?

Vielen Dank schonmal!
chesn

        
Bezug
Mehrschrittverfahren: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:48 Mi 20.11.2013
Autor: chesn

Hallo! Wäre nett, wenn noch jemand was dazu sagen könnte.

Neue Idee:

Startwert: [mm] y(t_0)=y_0 [/mm]

Taylor-Entwicklung $y(t)$ um [mm] t_{0+j} [/mm] (mit y'(t)=f(t)) :

$ [mm] y(t_{0+j})=y_0+j\Delta{t}\cdot{}f(t_0)+\bruch{(j\Delta{t})^2}{2}\cdot{}f'(t_0)+...+\bruch{(j\Delta{t})^p}{p!}\cdot{}f^{(p-1)}(t_0) [/mm] $ (1)

Fehler des Mehrschrittverfahrens:

[mm] $T_{\Delta{t}}(t_{0+j})=\bruch{1}{\Delta{t}}\sum_{j=0}^{m}a_{j} \, y(t_{0+j}) [/mm] - [mm] \sum_{j=0}^m b_{j} \, f(t_{0+j})$. [/mm] (2)

Das Taylor-Polynom (1) hat den Grad $p-1$. Ein Fehlerterm [mm] \mathcal{O}(\Delta{t}^p) [/mm] wäre ja wegen $grad(f) = p-1$ sinnlos, oder?

So bleibt in [mm] $T_{\Delta{t}}(t_{0+j})$ [/mm] kein Fehlerterm übrig, was bedeutet, dass das Verfahren in diesem Fall die exakte Lösung liefert.

Oder liege ich daneben?

Vielen Dank schonmal!
chesn




Bezug
                
Bezug
Mehrschrittverfahren: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Fr 22.11.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Mehrschrittverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Mi 20.11.2013
Autor: leduart

Hallo
wenn f(t) ein Polynom ist kannst du es doch exakt integrieren? damit würde ich mein Mehrschrittverfahren vergleichen. oder auch nur, dass [mm] x^{p-1} [/mm] exakt integriert wird.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Mehrschrittverfahren: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:34 Mi 20.11.2013
Autor: chesn

Danke! Der Tipp mit dem Integrieren hat geholfen! :)

Wenn ich exakt über jedes Zeitintervall integriere, erhalte ich:

[mm] y_{i+1}=\integral_{t_i}^{t_{i+1}}f(t)dt=F(t_{i+1})-F(t_i)=\Delta{t}*\bruch{F(t_{i+1})-F(t_i)}{\Delta{t}}=\Delta{t}f(t_i) [/mm]

wie im Mehrschrittverfahren

[mm] a_0y_0+...+a_py_p=b_0*\Delta{t}f(t_0)+b_1*\Delta{t}f(t_1)+...+b_p*\Delta{t}f(t_p) [/mm]

Was mich aber noch stört sind die [mm] a_i [/mm] bzw. [mm] b_i [/mm] . Ich kann ja nicht annehmen, dass [mm] $a_i=b_i [/mm] \ \ [mm] \forall [/mm] i=1,...,p$ gilt, oder?
Bekomme ich die noch irgendwie weg oder reicht das so?

Danke & lieben Gruß
chesn


Bezug
                        
Bezug
Mehrschrittverfahren: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Fr 22.11.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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