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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Di 19.11.2013 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass ein Mehrschrittverfahren der Ordnung $p$ die exakte Lösung des Anfangswertproblems
$y'(t)=f(t), \ \ \ \ [mm] y(t_0)=y_0, [/mm] \ \ \ \ [mm] f\in\Pi_{p-1} [/mm] $
liefert, wobei [mm] \Pi_{p-1} [/mm] den Polynomraum mit Maximalgrad $p-1$ bezeichnet. |
Hallo! Hänge hier leider etwas, daher würde ich mich über jeden Tipp sehr freuen...
Meine Idee bis jetzt ist, mit der Taylor-Entwicklung
[mm] $y(t_{k+j})=y(t_k+j\Delta{t})=y(t_k)+j\Delta{t}*y'(t_k)+\bruch{(j\Delta{t})^2}{2}*y''(t_k)+...+\bruch{(j\Delta{t})^p}{p!}*y^{(p)}(t_k)$
[/mm]
$y'(t)=f(t) \ \ => \ \ [mm] y(t_{k+j})=y(t_k)+j\Delta{t}*f(t_k)+\bruch{(j\Delta{t})^2}{2}*f'(t_k)+...+\bruch{(j\Delta{t})^p}{p!}*f^{(p-1)}(t_k)$ [/mm] (1)
und der Rekursionsformel für Mehrschrittverfahren
[mm] $\sum\limits_{j=0}^{p}a_j*y_{k+j}=\Delta{t}*\sum\limits_{j=0}^{p}b_j*f(t_{k+j},y_{k+j})$ [/mm] wobei hier: [mm] $=\Delta{t}*\sum\limits_{j=0}^{p}b_j*f(t_{k+j})$ [/mm] (2)
zu arbeiten. Wenn das Mehrschrittverfahren die exakte Lösung liefert, müssten doch beide gleich sein, oder sehe ich das falsch?
D.h. wenn ich (1) in (2) einsetze, erhalte ich
[mm] $\sum\limits_{j=0}^{p}a_j*y(t_{k+j})=\Delta{t}*\sum\limits_{j=0}^{p}b_j*f(t_{k+j})$ [/mm]
und muss die Gleichheit zeigen? Aber was ist hier $k$?
Verstehe das Ganze noch nicht so recht.
Wie komme ich weiter? Oder ist das alles totaler Murks?
Vielen Dank schonmal!
chesn
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:48 Mi 20.11.2013 | | Autor: | chesn |
Hallo! Wäre nett, wenn noch jemand was dazu sagen könnte.
Neue Idee:
Startwert: [mm] y(t_0)=y_0
[/mm]
Taylor-Entwicklung $y(t)$ um [mm] t_{0+j} [/mm] (mit y'(t)=f(t)) :
$ [mm] y(t_{0+j})=y_0+j\Delta{t}\cdot{}f(t_0)+\bruch{(j\Delta{t})^2}{2}\cdot{}f'(t_0)+...+\bruch{(j\Delta{t})^p}{p!}\cdot{}f^{(p-1)}(t_0) [/mm] $ (1)
Fehler des Mehrschrittverfahrens:
[mm] $T_{\Delta{t}}(t_{0+j})=\bruch{1}{\Delta{t}}\sum_{j=0}^{m}a_{j} \, y(t_{0+j}) [/mm] - [mm] \sum_{j=0}^m b_{j} \, f(t_{0+j})$. [/mm] (2)
Das Taylor-Polynom (1) hat den Grad $p-1$. Ein Fehlerterm [mm] \mathcal{O}(\Delta{t}^p) [/mm] wäre ja wegen $grad(f) = p-1$ sinnlos, oder?
So bleibt in [mm] $T_{\Delta{t}}(t_{0+j})$ [/mm] kein Fehlerterm übrig, was bedeutet, dass das Verfahren in diesem Fall die exakte Lösung liefert.
Oder liege ich daneben?
Vielen Dank schonmal!
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 22.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mi 20.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn f(t) ein Polynom ist kannst du es doch exakt integrieren? damit würde ich mein Mehrschrittverfahren vergleichen. oder auch nur, dass [mm] x^{p-1} [/mm] exakt integriert wird.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig | | Datum: | 18:34 Mi 20.11.2013 | | Autor: | chesn |
Danke! Der Tipp mit dem Integrieren hat geholfen! :)
Wenn ich exakt über jedes Zeitintervall integriere, erhalte ich:
[mm] y_{i+1}=\integral_{t_i}^{t_{i+1}}f(t)dt=F(t_{i+1})-F(t_i)=\Delta{t}*\bruch{F(t_{i+1})-F(t_i)}{\Delta{t}}=\Delta{t}f(t_i)
[/mm]
wie im Mehrschrittverfahren
[mm] a_0y_0+...+a_py_p=b_0*\Delta{t}f(t_0)+b_1*\Delta{t}f(t_1)+...+b_p*\Delta{t}f(t_p)
[/mm]
Was mich aber noch stört sind die [mm] a_i [/mm] bzw. [mm] b_i [/mm] . Ich kann ja nicht annehmen, dass [mm] $a_i=b_i [/mm] \ \ [mm] \forall [/mm] i=1,...,p$ gilt, oder?
Bekomme ich die noch irgendwie weg oder reicht das so?
Danke & lieben Gruß
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 22.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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