Menge-Bijektion < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | Sei M eine Menge. Zeigen sie, dass folgende Abbildung eine Bijektion ist:
f: [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] -> [mm] \mathcal{P}(M) [/mm]
A [mm] \mapsto [/mm] M"ohne"A |
Hallo, ich habe diese Aufgabe bearbeitet und wollte diese vor der Abgabe noch von euch checken lassen.
zz. f surjektiv&injektiv => bijektiv
wir wählen A,B [mm] \in \mathcal{P}(M)
[/mm]
und setzen f(x) = M"ohne"A
Injektiv: Def. [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] => A = B für alle A,B [mm] \in \mathcal{P}(M)
[/mm]
Beweis durch WS: Annahme [mm] "\neg [/mm] injektiv"
nun folgt aus [mm] \neg [/mm] [ [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] => A = B ] <=> f(A) = f(B) [mm] \wedge [/mm] A [mm] \not= [/mm] B
=> Wiederspruch
fehlt da nicht noch was?
Surjektiv:
Sei A [mm] \in \mathcal{P}(M) [/mm] , dann ist A Teilmenge von M
Nach de Morgan gilt:
A = (M "ohne" [mm] A)^{c}= [/mm] M"ohne"(M"ohne"A) = f(M"ohne"A) = [mm] f(A^{c}) [/mm] (I)
M.a.W.
Es gilt [mm] A^{c} [/mm] = [mm] M\A [/mm] ist Teilmenge von M, woraus folgt:
[mm] A^{c} \subset \mathcal{P}(M) [/mm] , der Definitionsmenge von f und es ist f( [mm] A^{c} [/mm] ) = A für alle A [mm] \subset \mathcal{P}(M) [/mm] (siehe (I))
daher gibt es X:= [mm] A^{c} [/mm] := "M"ohne"A" [mm] \in \mathcal{P}(M) [/mm] mit f(X) = A
=> Surjektiv
===> bijektiv
[mm] \Box
[/mm]
Ist das so richtig?
wie kann man besser das surjektive zeigen? habe an wiederspruch gedacht, aber wie ?
die def. von surj lautet ja f(x)=y (jedes y wird wenigstens 1mal getroffen)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Mi 09.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei M eine Menge. Zeigen sie, dass folgende Abbildung eine
> Bijektion ist:
>
> f: [mm]\mathcal{P}(M)[/mm] -> [mm]\mathcal{P}(M)[/mm]
> A [mm]\mapsto[/mm] M"ohne"A
> Hallo, ich habe diese Aufgabe bearbeitet und wollte diese
> vor der Abgabe noch von euch checken lassen.
>
>
> zz. f surjektiv&injektiv => bijektiv
>
> wir wählen A,B [mm]\in \mathcal{P}(M)[/mm]
> und setzen f(x) =
> M"ohne"A
Unten hast Du ja schon die Menge M \ A mit [mm] A^c [/mm] bezeichnet. Dann leistet f folgendes:
[mm] f(A)=A^c
[/mm]
>
> Injektiv: Def. [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2})[/mm] => A = B für alle A,B
> [mm]\in \mathcal{P}(M)[/mm]
>
> Beweis durch WS: Annahme [mm]"\neg[/mm] injektiv"
>
> nun folgt aus [mm]\neg[/mm] [ [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2})[/mm] => A = B ] <=>
> f(A) = f(B) [mm]\wedge[/mm] A [mm]\not=[/mm] B
Oh je, oh je. Da wird einem ja schwindlig. Einmal x, dann A , dann [mm] x_1, [/mm] dann B, dann [mm] x_2 [/mm] , ....
>
> => Wiederspruch
Werf das erste e aus obigem Wort !
> fehlt da nicht noch was?
Mach es so: sei f(A)=f(B), dann ist [mm] A^c=B^c, [/mm] also [mm] A=(A^c)^c=(B^c)^c=B.
[/mm]
Fertig.
>
>
> Surjektiv:
>
> Sei A [mm]\in \mathcal{P}(M)[/mm] , dann ist A Teilmenge von M
>
> Nach de Morgan gilt:
> A = (M "ohne" [mm]A)^{c}=[/mm] M"ohne"(M"ohne"A) = f(M"ohne"A) =
> [mm]f(A^{c})[/mm] (I)
>
> M.a.W.
> Es gilt [mm]A^{c}[/mm] = [mm]M\A[/mm] ist Teilmenge von M, woraus folgt:
> [mm]A^{c} \subset \mathcal{P}(M)[/mm] , der Definitionsmenge von f
> und es ist f( [mm]A^{c}[/mm] ) = A für alle A [mm]\subset \mathcal{P}(M)[/mm]
> (siehe (I))
> daher gibt es X:= [mm]A^{c}[/mm] := "M"ohne"A" [mm]\in \mathcal{P}(M)[/mm]
> mit f(X) = A
> => Surjektiv
Dein Idee ist richtig, aber kraus aufgeschrieben !
Sei A [mm]\in \mathcal{P}(M)[/mm]. Dann ist [mm] f(A^c)=A.
[/mm]
Fertig.
FRED
>
> ===> bijektiv
>
>
> [mm]\Box[/mm]
>
>
> Ist das so richtig?
> wie kann man besser das surjektive zeigen? habe an
> wiederspruch gedacht, aber wie ?
> die def. von surj lautet ja f(x)=y (jedes y wird
> wenigstens 1mal getroffen)
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Sei M eine Menge. Zeigen sie, dass folgende Abbildung eine
> > Bijektion ist:
> >
> > f: [mm]\mathcal{P}(M)[/mm] -> [mm]\mathcal{P}(M)[/mm]
> > A [mm]\mapsto[/mm] M"ohne"A
> > Hallo, ich habe diese Aufgabe bearbeitet und wollte
> diese
> > vor der Abgabe noch von euch checken lassen.
> >
> >
> > zz. f surjektiv&injektiv => bijektiv
> >
> > wir wählen A,B [mm]\in \mathcal{P}(M)[/mm]
> > und setzen f(x) =
> > M"ohne"A
>
>
> Unten hast Du ja schon die Menge M \ A mit [mm]A^c[/mm] bezeichnet.
> Dann leistet f folgendes:
>
> [mm]f(A)=A^c[/mm]
> >
> > Injektiv: Def. [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2})[/mm] => A = B für alle A,B
> > [mm]\in \mathcal{P}(M)[/mm]
> >
> > Beweis durch WS: Annahme [mm]"\neg[/mm] injektiv"
> >
> > nun folgt aus [mm]\neg[/mm] [ [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2})[/mm] => A = B ] <=>
> > f(A) = f(B) [mm]\wedge[/mm] A [mm]\not=[/mm] B
>
> Oh je, oh je. Da wird einem ja schwindlig. Einmal x, dann A
> , dann [mm]x_1,[/mm] dann B, dann [mm]x_2[/mm] , ....
> >
> > => Wiederspruch
>
>
> Werf das erste e aus obigem Wort !
> > fehlt da nicht noch was?
>
> Mach es so: sei f(A)=f(B), dann ist [mm]A^c=B^c,[/mm] also
> [mm]A=(A^c)^c=(B^c)^c=B.[/mm]
>
> Fertig.
>
>
> >
> >
> > Surjektiv:
> >
> > Sei A [mm]\in \mathcal{P}(M)[/mm] , dann ist A Teilmenge von M
> >
> > Nach de Morgan gilt:
> > A = (M "ohne" [mm]A)^{c}=[/mm] M"ohne"(M"ohne"A) = f(M"ohne"A) =
> > [mm]f(A^{c})[/mm] (I)
> >
> > M.a.W.
> > Es gilt [mm]A^{c}[/mm] = [mm]M\A[/mm] ist Teilmenge von M, woraus folgt:
> > [mm]A^{c} \subset \mathcal{P}(M)[/mm] , der Definitionsmenge
> von f
> > und es ist f( [mm]A^{c}[/mm] ) = A für alle A [mm]\subset \mathcal{P}(M)[/mm]
> > (siehe (I))
> > daher gibt es X:= [mm]A^{c}[/mm] := "M"ohne"A" [mm]\in \mathcal{P}(M)[/mm]
> > mit f(X) = A
> > => Surjektiv
>
> Dein Idee ist richtig, aber kraus aufgeschrieben !
>
> Sei A [mm]\in \mathcal{P}(M)[/mm]. Dann ist [mm]f(A^c)=A.[/mm]
er sollte (da Studienanfänger) das minimal "länger" aufschreiben:
... . Dann ist [mm] $f(A^c)\blue{=(A^c)^c=}A\,.$
[/mm]
(Es ist eine Minimalität, aber ich finde sie erwähnenswert...)
(P.S. Seine Überlegungen, dass man [mm] $f(A^c)$ [/mm] überhaupt hinschreiben darf
wegen [mm] $A^c \subseteq \mathcal{P}(M)$ [/mm] finde ich übrigens schon sinnvoll. Aber Du hast Recht:
Man könnte es schöner aufschreiben. Vielleicht schreibt er einfach
einen Satz der Art: "Für alle $A [mm] \subseteq [/mm] M$ gilt [mm] $A^c=M \setminus [/mm] A [mm] \subseteq M\,,$ [/mm]
d.h. für alle $A [mm] \in \mathcal{P}(M)$ [/mm] gilt auch [mm] $A^c \in \mathcal{P}(M)$..."
[/mm]
oder ähnlich... (Dass dieser Satz darauf abzielt, zu begründen, dass
[mm] $f(A^c)$ [/mm] überhaupt 'hingeschrieben werden darf', halte ich wiederum für
selbstverständlich, weil ja danach [mm] $f(A^c)$ [/mm] hingeschrieben wird...))
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Aguero |
Ja, es stimmt, bin erst im erstem Semester.
also sollte ich am besten die Aufgabe so verfassen?
Für alle A [mm] \subseteq [/mm] M gilt auch, dass [mm] A^{c} [/mm] = M \ A [mm] \subseteq [/mm] M
d.h. für alle A [mm] \in \mathcal{P}(M) [/mm] gilt auch [mm] A^{c} \in \mathcal{P}(M)
[/mm]
nun zz. f ist bijektiv.
Es gilt surjektiv [mm] \wedge [/mm] injektiv => bijektiv
zeige injektiv:
Sei f(A) = f(B) , somit ist [mm] A^{c} [/mm] = [mm] B^{c} [/mm] für alle A,B [mm] \in \mathcal{P}(M)
[/mm]
daraus ergibt sich A = [mm] (A^{c})^{c} [/mm] = [mm] (B^{c})^{c} [/mm] = B
zeige surjektiv:
Sei A [mm] \in \mathcal{P}(M) [/mm] , dann [mm] f(A^{c}) [/mm] = [mm] (A^{c})^{c} [/mm] = A
==> bijektiv
[mm] \Box
[/mm]
und das reicht? müssen keine Definitionen oder so dazu geschrieben werden? reicht das, wenn ich die def. im Kopf habe, oder muss ich diese aufschreiben damit der Korrekteur es sieht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
es sind nur Lappalien (die auch keine Punktabzüge zur Folge haben
sollten, da es nur "Sprache" ist); alles andere wurde schon gesagt:
> Ja, es stimmt, bin erst im erstem Semester.
> also sollte ich am besten die Aufgabe so verfassen?
>
>
>
> Für alle A [mm]\subseteq[/mm] M gilt auch, dass [mm]A^{c}[/mm] = M \ A
> [mm]\subseteq[/mm] M
> d.h. für alle A [mm]\in \mathcal{P}(M)[/mm] gilt auch [mm]A^{c} \in \mathcal{P}(M)[/mm]
>
> nun zz. f ist bijektiv.
> Es gilt surjektiv [mm]\wedge[/mm] injektiv => bijektiv
>
> zeige injektiv:
Wir zeigen zunächst: $f$ ist injektiv! (schlechter Stil ist es, zu sagen: Ich zeige...)
>
> Sei
dazu
> f(A) = f(B) , somit ist [mm]A^{c}[/mm] = [mm]B^{c}[/mm] für alle
> A,B [mm]\in \mathcal{P}(M)[/mm]
> daraus ergibt sich A = [mm](A^{c})^{c}[/mm]
> = [mm](B^{c})^{c}[/mm] = B
>
> zeige surjektiv:
Wir zeigen nun: $f$ ist surjektiv!
> Sei A [mm]\in \mathcal{P}(M)[/mm] , dann [mm]f(A^{c})[/mm] = [mm](A^{c})^{c}[/mm] =
> A
>
>
> ==> bijektiv
[mm] $$\Rightarrow \;\;f\text{ ist }bijektiv. [/mm] $$
> [mm]\Box[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Aguero |
ich danke euch! :)
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