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Forum "VK 60: Analysis" - Menge B beschreiben
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Menge B beschreiben: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Mo 17.11.2014
Autor: Exel84

Aufgabe
Aufgabe:

B ⊂ 3 sei der Kreiszylinder mit Höhe h und Radius R um die z-Achse, an dessen Boden- und Deckelfläche noch je eine Halbkugel mit Radius R angesetzt ist. Die Bodenfläche des Zylinders liege in der x-y-Ebene.

a) Beschreiben Sie die Menge B in Zylinderkoordinaten.

b) Schreiben Sie [mm] \integral_{\partial B}{A(x) dx} [/mm] (dx in äußere Normalenrichtung) für

A(x)= [mm] \vektor{ xz \\ -yz \\ z \wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm]

als Volumenintegral und berechnen Sie es.


Vg Exel84


Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Hallo,

ich habe das so verstanden, dass es ein Zylinder mit der Höhe h hat um die z-Achse mit jeweils oben und unten Halbkugeln.

Damit habe ich B jetzt so beschrieben:

Zylinder: B={(x,y,z) [mm] \in \IR^{3}, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] R, 0 [mm] \le \phi \le [/mm] 2pi, 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] h}

Halbkugel: B={(x,y,z) [mm] \in \IR^{3}, \wurzel{R^{2}- r^{2}}, [/mm] 0 [mm] \le \phi \le [/mm] 2pi, 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] R, h [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] -h }

Stimmt das so? Ich habe ehrlich gesagt das noch nie gemacht. Deshalb bin ich mir da nicht so sicher.

Vg Exel84


        
Bezug
Menge B beschreiben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:42 Di 18.11.2014
Autor: meili

Hallo Exel84,

> Aufgabe:
>  
> B ⊂ 3 sei der Kreiszylinder mit Höhe h und Radius R um
> die z-Achse, an dessen Boden- und Deckelfläche noch je
> eine Halbkugel mit Radius R angesetzt ist. Die Bodenfläche
> des Zylinders liege in der x-y-Ebene.

Es soll wohl $ B [mm] \subset \IR^3$ [/mm] heißen.

>  
> a) Beschreiben Sie die Menge B in Zylinderkoordinaten.
>  
> b) Schreiben Sie [mm]\integral_{\partial B}{A(x) dx}[/mm] (dx in
> äußere Normalenrichtung) für
>
> A(x)= [mm]\vektor{ xz \\ -yz \\ z \wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm]
>  
> als Volumenintegral und berechnen Sie es.
>  
>
> Vg Exel84
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  Hallo,
>  
> ich habe das so verstanden, dass es ein Zylinder mit der
> Höhe h hat um die z-Achse mit jeweils oben und unten
> Halbkugeln.

[ok]

>
> Damit habe ich B jetzt so beschrieben:
>  
> Zylinder: B=[mm]\{(x,y,z) \in \IR^{3}, 0 \le r \le R, 0 \le \phi \le 2\pi, 0 \le z \le h\} [/mm]

Der Zylinder ist schon recht gut beschrieben, bis auf einige formale Feinheiten:

Zylinder: Z = [mm] $\{(r,\phi,z) \in \IR^3 | \quad 0 \le r \le R, \quad 0 \le \phi \le 2\pi, \quad 0 \le z \le h \}$ [/mm]

>  
> Halbkugel: B= [mm]\{(x,y,z) \in \IR^{3}, \wurzel{R^{2}- r^{2}}, 0 > \le \phi \le 2pi, 0 \le r \le R, h \le z \le -h \}[/mm]

Es müssen zwei Halbkugeln beschrieben werden, eine oben und eine unten.

untere Halbkugel: [mm] $H_u [/mm] = [mm] \{(r,\phi,z) \in \IR^3 | \quad 0 \le r \le R, \quad 0 \le \phi \le 2\pi, \quad -\wurzel{R^2-r^2} \le z \le 0 \}$ [/mm]

obere Halbkugel: [mm] $H_o [/mm] = [mm] \{(r,\phi,z) \in \IR^3 | \quad 0 \le r \le R, \quad 0 \le \phi \le 2\pi, \quad h \le z \le h+\wurzel{R^2-r^2}\}$ [/mm]

Die Menge B ist dann:
B = Z [mm] $\cup [/mm] \ [mm] H_o \cup H_u$ [/mm]

>  
> Stimmt das so? Ich habe ehrlich gesagt das noch nie
> gemacht. Deshalb bin ich mir da nicht so sicher.
>  
> Vg Exel84
>  

Gruß
meili

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Bezug
Menge B beschreiben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:29 Do 20.11.2014
Autor: Exel84

vielen Dank für die schnelle Antwort.

Ich bin jetzt bei der b) dran und habe schon das Volumen des Zylinders mit dem Satz von Gauss berechnet. Das stimmt soweit auch. Nun habe ich aber Probleme mit den zwei Halbkugeln. Da weiss ich nicht wie ich rechnen soll.

Mein Ansatz wäre:

div A= [mm] \vektor{z \\ -z \\\wurzel{x^{2}+y^{2}}}. [/mm]

Wenn ich die Zylinderkoordinaten einsetze dann kommt der Vektor:

= [mm] \vektor{z \\ -z \\r} [/mm]

= [mm] \integral_{V}{r dV} [/mm]  (dV= r dr [mm] d\phi [/mm] dz)

dann:

= [mm] \integral_{z=h}^{h+\wurzel{R^{2}-r^{2}}}{dz} \integral_{\phi=0}^{2\pi}{d\phi}\integral_{r=0}^{R}r^{2} [/mm] dr

= [mm] \bruch{2}{3}\pi*R^{3}*(h+\wurzel{R^{2}-r^{2}}) [/mm]

für den unteren Halbkreis:

= = [mm] \integral_{z=-\wurzel{R^{2}-r^{2}}}^{0}{dz} \integral_{\phi=0}^{2\pi}{d\phi}\integral_{r=0}^{R}r^{2} [/mm] dr

= [mm] \bruch{2}{3}\pi*R^{3}*\wurzel{R^{2}-r^{2}} [/mm]

Das ist falsch, da ich am Ende das Ergebnis

= [mm] \bruch{1}{16}\pi*R^{4}h [/mm]

für die Halbkreise herauskriegen muss

Kann mir da bitte jemand weiterhelfen was ich da falsch gerechnet habe??

Vg Exel84


Bezug
                
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Menge B beschreiben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:33 Do 20.11.2014
Autor: Exel84

sorry, bei dem Endergebnis ist das h am Ende falsch, also das gehört da gar nicht mehr hin:

so ist das Endergebnis richtig: [mm] \bruch{1}{16}*\pi*R^{4} [/mm]

Vg Exel84

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Bezug
Menge B beschreiben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:11 Do 20.11.2014
Autor: andyv

Hallo

> vielen Dank für die schnelle Antwort.
>  
> Ich bin jetzt bei der b) dran und habe schon das Volumen
> des Zylinders mit dem Satz von Gauss berechnet. Das stimmt
> soweit auch. Nun habe ich aber Probleme mit den zwei
> Halbkugeln. Da weiss ich nicht wie ich rechnen soll.
>  
> Mein Ansatz wäre:
>  
> div A= [mm]\vektor{z \\ -z \\\wurzel{x^{2}+y^{2}}}.[/mm]

Die Divergenz ist ein Skalarfeld!

>  
> Wenn ich die Zylinderkoordinaten einsetze dann kommt der
> Vektor:
>  
> = [mm]\vektor{z \\ -z \\r}[/mm]
>  
> = [mm]\integral_{V}{r dV}[/mm]  (dV= r dr [mm]d\phi[/mm] dz)
>  

Das ist wieder richtig.

> dann:
>  
> = [mm]\integral_{z=h}^{h+\wurzel{R^{2}-r^{2}}}{dz} \integral_{\phi=0}^{2\pi}{d\phi}\integral_{r=0}^{R}r^{2}[/mm]
> dr

z ist von 0 bis h zu integrieren.

> = [mm]\bruch{2}{3}\pi*R^{3}*(h+\wurzel{R^{2}-r^{2}})[/mm]
>  
> für den unteren Halbkreis:
>  
> = = [mm]\integral_{z=-\wurzel{R^{2}-r^{2}}}^{0}{dz} \integral_{\phi=0}^{2\pi}{d\phi}\integral_{r=0}^{R}r^{2}[/mm]
> dr
>
> = [mm]\bruch{2}{3}\pi*R^{3}*\wurzel{R^{2}-r^{2}}[/mm]
>  
> Das ist falsch, da ich am Ende das Ergebnis
>  
> = [mm]\bruch{1}{16}\pi*R^{4}h[/mm]
>  
> für die Halbkreise herauskriegen muss
>  
> Kann mir da bitte jemand weiterhelfen was ich da falsch
> gerechnet habe??

Integriere erst über z, dann über r.

Liebe Grüße

>  
> Vg Exel84
>  


Bezug
                        
Bezug
Menge B beschreiben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:49 Do 20.11.2014
Autor: Exel84

Wenn ich bei z von 0 bis h integrieren muss wie muss ich denn dann das r integrieren? Ist das dann von 0 bis [mm] \wurzel{R^{2}-r^{2}}? [/mm]
Stimmen denn die Grenzen für den unteren Halbkreis, der nicht verschoben ist?
Ich glaub man muss beim oberen Halbkreis bei den Grenzen von r substituieren, oder?

Vg Exel84




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Bezug
Menge B beschreiben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Do 20.11.2014
Autor: meili

Hallo Exel84,

> Wenn ich bei z von 0 bis h integrieren muss wie muss ich

Nein, beim Zylinder sind die Integrationsgrenzen von z 0 und h.

Bei der unteren Halbkugel wird z von [mm] $-\wurzel{R^2-r^2}$ [/mm] bis 0,
und bei der oberen Halbkugel wird z von h bis [mm] h+$\wurzel{R^2-r^2}$ [/mm]
integriert.
Weil aber in den Integrationsgrenzen von z r vorkommt, müssen die Integrale
so ineinandergeschachtelt werden, dass z weiter innen steht wie r.

> denn dann das r integrieren? Ist das dann von 0 bis
> [mm]\wurzel{R^{2}-r^{2}}?[/mm]

r ist von 0 bis R zu integrieren.

Durch die Grenzen von z kommt [mm] $\wurzel{R^2-r^2}$ [/mm] in den Integranden,
was etwas unangenehm wird.

>  Stimmen denn die Grenzen für den unteren Halbkreis, der
> nicht verschoben ist?
>  Ich glaub man muss beim oberen Halbkreis bei den Grenzen
> von r substituieren, oder?

Für jede Halbkugel muss das selbe Volumen herauskommen: [mm] $\bruch{2}{3}\pi R^3$ [/mm]

>  
> Vg Exel84
>  
>
>  

Gruß
meili


Bezug
        
Bezug
Menge B beschreiben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:58 Do 20.11.2014
Autor: Exel84

ich habe das jetzt so gerechnet:

[mm] \integral_{0}^{R}{r^{2}* \wurzel{R^{2}-r^{2}} dr} [/mm]

Sub: [mm] u=R^{2}-r^{2} [/mm]

[mm] \bruch{du}{dr}=-2r [/mm]

[mm] dr=\bruch{-du}{2r} [/mm]

Neue Grenzen:

[mm] u(0)=R^{2} [/mm] und u(R)=0

[mm] \integral_{0}^{R}{r^{2}* \wurzel{R^{2}-r^{2}} dr} [/mm]

= [mm] \bruch{-1}{2} \integral_{R^{2}}^{0}{r* \wurzel{u} du} [/mm]

= [mm] \bruch{-1}{2}*\bruch{2}{3}r (-\wurzel{(R^{2})^{3}} [/mm]

= [mm] \bruch{2}{3}\pi*r*R^{3} [/mm]

Das war jetzt für die obere Halbkugel. Aber ich habe den Übungsleiter nach der Lösung gefragt und er sagte, dass am Ende für beide Halbkugeln das rauskommen soll:

[mm] \bruch{1}{16}\pi*R^{4} [/mm]

Und dieses Ergebnis kommt ja nicht raus wenn ich am Ende beide Halbkugeln berechnet habe.

Kann mir da jemand vielleicht zeigen was ich da falsch mache?

Vg Exel84




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Bezug
Menge B beschreiben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:26 Do 20.11.2014
Autor: andyv


> ich habe das jetzt so gerechnet:
>  
> [mm]\integral_{0}^{R}{r^{2}* \wurzel{R^{2}-r^{2}} dr}[/mm]
>  
> Sub: [mm]u=R^{2}-r^{2}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{du}{dr}=-2r[/mm]
>  
> [mm]dr=\bruch{-du}{2r}[/mm]
>  
> Neue Grenzen:
>  
> [mm]u(0)=R^{2}[/mm] und u(R)=0
>  
> [mm]\integral_{0}^{R}{r^{2}* \wurzel{R^{2}-r^{2}} dr}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{-1}{2} \integral_{R^{2}}^{0}{r* \wurzel{u} du}[/mm]

Das geht doch so nicht. Du solltest konsequent substituieren. r ist hier auch durch eine Funktion von u zu ersetzen.
Im Uebrigen schlage ich die Substitution [mm] $r=R\cos [/mm] s$ vor.

>  
> = [mm]\bruch{-1}{2}*\bruch{2}{3}r (-\wurzel{(R^{2})^{3}}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{2}{3}\pi*r*R^{3}[/mm]
>  
> Das war jetzt für die obere Halbkugel. Aber ich habe den
> Übungsleiter nach der Lösung gefragt und er sagte, dass
> am Ende für beide Halbkugeln das rauskommen soll:
>  
> [mm]\bruch{1}{16}\pi*R^{4}[/mm]
>  
> Und dieses Ergebnis kommt ja nicht raus wenn ich am Ende
> beide Halbkugeln berechnet habe.
>  
> Kann mir da jemand vielleicht zeigen was ich da falsch
> mache?
>  
> Vg Exel84
>  
>
>  


Liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
Menge B beschreiben: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 08:12 Fr 21.11.2014
Autor: Exel84

Danke für die schnelle Antwort.

Ich habe noch nie substituiert, deshalb habe ich damit so große Probleme. Aber ich werds gleich mal versuchen.

Vg Exel84

Bezug
                                
Bezug
Menge B beschreiben: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:20 So 23.11.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Menge B beschreiben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:42 Fr 21.11.2014
Autor: meili

Hallo Exel84,

> ich habe das jetzt so gerechnet:
>  
> [mm]\integral_{0}^{R}{r^{2}* \wurzel{R^{2}-r^{2}} dr}[/mm]
>  
> Sub: [mm]u=R^{2}-r^{2}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{du}{dr}=-2r[/mm]
>  
> [mm]dr=\bruch{-du}{2r}[/mm]
>  
> Neue Grenzen:
>  
> [mm]u(0)=R^{2}[/mm] und u(R)=0
>  
> [mm]\integral_{0}^{R}{r^{2}* \wurzel{R^{2}-r^{2}} dr}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{-1}{2} \integral_{R^{2}}^{0}{r* \wurzel{u} du}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{-1}{2}*\bruch{2}{3}r (-\wurzel{(R^{2})^{3}}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{2}{3}\pi*r*R^{3}[/mm]
>  
> Das war jetzt für die obere Halbkugel. Aber ich habe den
> Übungsleiter nach der Lösung gefragt und er sagte, dass
> am Ende für beide Halbkugeln das rauskommen soll:
>  
> [mm]\bruch{1}{16}\pi*R^{4}[/mm]

Ich weis ja nicht, wo der Übungsleiter mit seinen Gedanken bei
dieser Antwort war, oder ob B doch durch andere Angaben, wie in
der Aufgabe beschrieben, bestimmt ist, aber 2 Halbkugeln mit dem
Radius R haben dasselbe Volumen wie eine Kugel mit Radius R und das ist
[mm] $\bruch{4}{3}\pi R^3$; $R^4$ [/mm] kann schon gar nicht darin vorkommen.

>  
> Und dieses Ergebnis kommt ja nicht raus wenn ich am Ende
> beide Halbkugeln berechnet habe.
>  
> Kann mir da jemand vielleicht zeigen was ich da falsch
> mache?
>  
> Vg Exel84
>  
>
>  

Gruß
meili

Bezug
        
Bezug
Menge B beschreiben: meine Antworte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Fr 21.11.2014
Autor: vhdl

bei Menge von B,habe ich so geschrieben:
[mm] {x\in IR^3|\nu\in[0,2pi],r\in[R*sin(\nu),R],x3\in[-R*sin(\nu),h+R*sin(\nu)]}> [/mm] Aufgabe:

>  
> B ⊂ 3 sei der Kreiszylinder mit Höhe h und Radius R um
> die z-Achse, an dessen Boden- und Deckelfläche noch je
> eine Halbkugel mit Radius R angesetzt ist. Die Bodenfläche
> des Zylinders liege in der x-y-Ebene.
>  
> a) Beschreiben Sie die Menge B in Zylinderkoordinaten.
>  
> b) Schreiben Sie [mm]\integral_{\partial B}{A(x) dx}[/mm] (dx in
> äußere Normalenrichtung) für
>
> A(x)= [mm]\vektor{ xz \\ -yz \\ z \wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> als Volumenintegral und berechnen Sie es.
>  
>
> Vg Exel84
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  Hallo,
>  
> ich habe das so verstanden, dass es ein Zylinder mit der
> Höhe h hat um die z-Achse mit jeweils oben und unten
> Halbkugeln.
>
> Damit habe ich B jetzt so beschrieben:
>  
> Zylinder: B={(x,y,z) [mm]\in \IR^{3},[/mm] 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] R, 0 [mm]\le \phi \le[/mm]
> 2pi, 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

h}

>  
> Halbkugel: B={(x,y,z) [mm]\in \IR^{3}, \wurzel{R^{2}- r^{2}},[/mm] 0
> [mm]\le \phi \le[/mm] 2pi, 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] R, h [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

-h }

>  
> Stimmt das so? Ich habe ehrlich gesagt das noch nie
> gemacht. Deshalb bin ich mir da nicht so sicher.
>  
> Vg Exel84
>  


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