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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | i) Zeigen Sie, dass das Polynom x² + x +1 in [mm] \IZ_{2} [/mm] keine Nullstellen hat
ii) j sei definiert als die Lösung des Polynoms j² + j + 1 = 0. Erweitern Sie den Körper [mm] \IZ_{2} [/mm] zu einem Körper K durch Hinzunahme von j. K habe hierbei die minimale Anzahl an Elementen.
Hinweise: K hat nur vier Elemente |
Hi erstmal.
i) ist recht einfach:
x² + x = -1
x(x + 1) = -1
Da x aus [mm] \IZ_{2} [/mm] sein muss, kann nur gelten, dass x = 1 [mm] \wedge [/mm] x+1 = -1
=> x = 1 [mm] \wedge [/mm] x = -2 ist => x [mm] \not= [/mm] x (unwahr)
oder x = -1 [mm] \wedge [/mm] x+1 = 1 => x = -1 [mm] \wedge [/mm] x = 0 => x [mm] \not= [/mm] x (unwahr)
zu ii)
[mm] \IZ_{2} [/mm] = {-1,0,1} da bei a mod 2 nie ein anderer Rest herauskommt. Somit fehlt nur noch ein Element für K.
Dieses Element muss die obige Gleichung lösen, also muss für es gelten: j + 1 = 1 [mm] \wedge [/mm] j + 1 = -1 oder nicht?
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> i) Zeigen Sie, dass das Polynom x² + x +1 in [mm]\IZ_{2}[/mm] keine
> Nullstellen hat
> ii) j sei definiert als die Lösung des Polynoms j² + j + 1
> = 0. Erweitern Sie den Körper [mm]\IZ_{2}[/mm] zu einem Körper K
> durch Hinzunahme von j. K habe hierbei die minimale Anzahl
> an Elementen.
>
> Hinweise: K hat nur vier Elemente
> Hi erstmal.
>
> i) ist recht einfach:
> x² + x = -1
> x(x + 1) = -1
> Da x aus [mm]\IZ_{2}[/mm] sein muss, kann nur gelten, dass x = 1
> [mm]\wedge[/mm] x+1 = -1
Hallo,
warum ist das so? Ich kann dem Schluß nicht folgen.
Ich würde das übrigens lösen, indem ich einfach mal alle Elemente von [mm] \IZ_2 [/mm] einsetze und gucke, was herauskommt. Die Angelegenheit ist ja übersichtlich.
> zu ii)
> [mm]\IZ_{2}[/mm] = {-1,0,1}
Was ist denn das Inverse von 1 bzgl der Addition, also -1?
Ich glaube, Du vermutest mehr Elemente in [mm] \IZ_2 [/mm] als tatsächlich drin sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Pille456 |
i) besagt, dass ich die Nullstellen berechnen soll, also dachte ich mir das so:
x² + x +1 = 0 | -1 [mm] \Rightarrow [/mm] x² + x = -1
und dann Ausklammern etc. wie beschrieben.
[mm] \IZ [/mm] sind alle ganzen Zahlen, damit ich nun bei einer Multiplikation x(x+1) = -1 die "-1" korrekt herausbekomme, muss eine Seite -1 sein und die anderen 1, andere Kombinationen(wie z.b. -2 * 0.5) die die Gleichung lösen würden, sind ja schon per Definition ausgeschlossen.
Kann es sein, dass [mm] \IZ_{2} [/mm] = {0,1} ist?
Wobei ich dann nicht wüsste warum
Ich hatte mir das so gedacht:
-1 mod 2 = -1, denn 0*2 + R(-1)
1 mod 2 = 1, denn 0*2 +R 1
2 mod 2 = 0, denn 2*1 + R 0
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> i) besagt, dass ich die Nullstellen berechnen soll, also
> dachte ich mir das so:
> x² + x +1 = 0 | -1 [mm]\Rightarrow[/mm] x² + x = -1
> und dann Ausklammern etc. wie beschrieben.
> [mm]\IZ[/mm] sind alle ganzen Zahlen, damit ich nun bei einer
> Multiplikation x(x+1) = -1 die "-1" korrekt herausbekomme,
> muss eine Seite -1 sein und die anderen 1,
Hallo,
ich verstehe jetzt schon, was Du damit meinst, aber ich finde, daß Du Dir mit den Überlegungen in [mm] \IZ [/mm] das Leben unnötig schwer machst, mit Widerspruch und Trallala, wo die zu betrachtende Menge doch so winzig ist.
>
> Kann es sein, dass [mm]\IZ_{2}[/mm] = {0,1} ist?
Ja.
> Wobei ich dann nicht wüsste warum
> Ich hatte mir das so gedacht:
> -1 mod 2 = -1, denn 0*2 + R(-1)
-1= (-1)*2 + 1.
In [mm] \IZ_2 [/mm] ist 1 selbstinvers, also -1=1.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Pille456 |
ahh okay, danke!
Naja leider habe ich immernoch keine Idee für ii)
- ich brauche 2 weitere Elemente für K
- die Elemente müsse j² + j + 1 = 0 korrekt auflösen
müsste ich dann nicht definieren, dass j² = -(j+1) ist? [mm] \Rightarrow [/mm] j = - [mm] \wurzel{j} [/mm] - 1 bzw. j = [mm] \wurzel{j} [/mm] + 1
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> ahh okay, danke!
> Naja leider habe ich immernoch keine Idee für ii)
> - ich brauche 2 weitere Elemente für K
> - die Elemente müsse j² + j + 1 = 0 korrekt auflösen
Hallo,
es wird einfach vorausgesetzt, das j so beschaffen ist, daß j² + j + 1 = 0 gilt.
> müsste ich dann nicht definieren, dass j² = -(j+1) ist?
Das müßte gelten. Wenn Du da das Inverse von j+1 benötigst, wäre es ja mal einen Versuch wert, einen Versuchsballon mit dem Viertelement j+1 zu starten.
Stell doch mal die beiden Verknüpfungstafeln auf.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Pille456 |
Mit welchen Elementen soll ich die Verknüpfungstafel aufstellen? Für K = [mm] \{0,1,-\wurzel{j}-1,\wurzel{j}+1\} [/mm] ?
Bevor ich die Verknüpfungstafel aufstellen kann muss ich ja erstmal wissen welche Elemente ich benutzen soll (Frage ii) )
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> Mit welchen Elementen soll ich die Verknüpfungstafel
> aufstellen? Für K = [mm]\{0,1,-\wurzel{j}-1,\wurzel{j}+1\}[/mm] ?
Hallo,
das wäre doch ein Flop.
In der Menge kommt j ja gar nicht vor!
> Bevor ich die Verknüpfungstafel aufstellen kann muss ich
> ja erstmal wissen welche Elemente ich benutzen soll (Frage
> ii) )
Auf jeden Fall doch 0,1,j.
Stell mal die Vernüpfungstafel für + auf, den 4. Platz kannst Du ja erstmal frei lassen.
Du wirst schnell sehen, daß j+1 weder j noch 0 noch 1 sein kann. Also muß es ein neues Element sein. Nenn es einfach j+1.
Dann hattest Du selbst gesagt, daß [mm] j^2= [/mm] -(j+1)
Was ist das inverse Element von j+1 bzgl. + ? Das, was man zu j+1 addieren muß, damit 0 herauskommt. Das kannst Du dann in der Additionstafel ablesen.
Gruß v. Angela
P.S.: Trag vielleicht mal was in Dein Profil ein, das ist für die Antwort oft nicht ganz unerheblich, denn man kann besser abschätzen, was man erwarten kann und was verlangt wird.
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