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| Aufgabe | Sei (M,d) metrischer Raum, A [mm] \subseteq [/mm] M
Zeige A abgeschlossen => Falls x [mm] \in [/mm] M die Eigenschaft [mm] \forall \epsilon>0: U_\epsilon [/mm] (x) [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= \{\} [/mm] besitzt, dann gilt x [mm] \in [/mm] A |
A [mm] \subseteq [/mm] M ist abgeschlossen d.h. MohneA offen dh. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] MohneA [mm] \exists \epsilon: U_\epsilon [/mm] (x) [mm] \subseteq [/mm] MohneA
Ich komme da nicht weiter..
LG
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Hallo,
> Sei (M,d) metrischer Raum, A [mm]\subseteq[/mm] M
> Zeige A abgeschlossen => Falls x [mm]\in[/mm] M die Eigenschaft
> [mm]\forall \epsilon>0: U_\epsilon[/mm] (x) [mm]\cap[/mm] A [mm]\not= \{\}[/mm]
> besitzt, dann gilt x [mm]\in[/mm] A
> A [mm]\subseteq[/mm] M ist abgeschlossen d.h. MohneA offen dh.
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] MohneA [mm]\exists \epsilon: U_\epsilon[/mm] (x)
> [mm]\subseteq[/mm] MohneA
Das ist soweit alles richtig, aber das hat noch keinen roten Faden.
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Versuch' dir mal ein grundsätzliches Beweisvorgehen anzutrainieren.
Du kannst solche Beweise ganz alleine (und auch für dich selbst überzeugend) schaffen, wenn du stringent nach Plan vorgehst.
Der erste Punkt ist immer: Wie kann ich zeigen, was zu zeigen ist?
Hier sollst du zeigen: $x [mm] \in [/mm] A$.
Es ist schwierig zu zeigen, dass etwas in einer abgeschlossenen Menge liegt, weil meist $A$ abgeschlossen über [mm] $M\backslash [/mm] A$ offen definiert wird.
Deswegen wäre die Idee, den Beweis zu verlagern. Statt $x [mm] \in [/mm] A$ zeigen wir (das wegen [mm] $x\in [/mm] M$ äquivalente) $x [mm] \not\in M\backslash [/mm] A$. Das ist leichter, weil wir wissen wann $x [mm] \in M\backslash [/mm] A$ ist (offene Menge).
Also: Widerspruchsbeweis.
Angenommen, $x [mm] \in M\backslash [/mm] A$. Dann gäbe es [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ sodass [mm] $U_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] M [mm] \backslash [/mm] A$.
Das würde bedeuten: [mm] $U_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] A = ...$.
Kann das sein?
Viele Grüße,
Stefan
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Danke.. Hab den Beweis nun hinbekommen.
Ich hab noch eine ähnliche Aufgabe:
Zeige: Falls x [mm] \in [/mm] M die Eigenschaft [mm] \forall \epsilon>0: U_\epsilo [/mm] (x) [mm] \cup [/mm] A [mm] \not= \{\} [/mm] besitzt, dann gilt x [mm] \in [/mm] A => Ist x [mm] \in [/mm] M und [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in A mit [mm] x_n [/mm] -> x dann gilt x [mm] \in [/mm] A.
Bew.:
Sei [mm] x_n [/mm] eine Folge in A mit [mm] x_n->x [/mm] d.h. [mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] x_n \in U_\epsilon [/mm] (x)
ZuZeigen x erfüllt die Eigenschaft von der ersten Bedingung.
Ang [mm] \exists \epsilon>0 [/mm] : [mm] U_\epsilon [/mm] (x) [mm] \cap [/mm] A = [mm] \{\} [/mm] dass würde [mm] x_n [/mm] -> x widersprechen. Da [mm] x_n \in [/mm] A und für alle [mm] \epsilon: x_n \in U_\epsilon [/mm] (x)
ok?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 So 10.03.2013 | | Autor: | theresetom |
ich hab morgen Abgabe. Vlt findet sich noch wer der kurz drüber schauen kann?=
Liebe Grüße
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Hallo,
> Danke.. Hab den Beweis nun hinbekommen.
>
> Ich hab noch eine ähnliche Aufgabe:
> Zeige: Ist x [mm]\in[/mm] M und [mm](x_n)[/mm] eine Folge in A mit [mm]x_n[/mm] -> x dann gilt x [mm]\in[/mm] A.
>
> Bew.:
> Sei [mm]x_n[/mm] eine Folge in A mit [mm]x_n->x[/mm] d.h. [mm]\forall \epsilon>0 \exists[/mm]
> N [mm]\in \IN \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N : [mm]x_n \in U_\epsilon[/mm] (x)
> ZuZeigen: x erfüllt die Eigenschaft von der ersten
> Bedingung.
Ja, denn dann folgt [mm] $x\in [/mm] A$.
> Ang [mm]\exists \epsilon>0[/mm] : [mm]U_\epsilon[/mm] (x) [mm]\cap[/mm] A = [mm]\{\}[/mm] dass
> würde [mm]x_n[/mm] -> x widersprechen. Da [mm]x_n \in[/mm] A und für alle
> [mm]\epsilon: x_n \in U_\epsilon[/mm] (x)
> ok?
Ja, ist OK. Du kannst auch einen direkten Beweis machen:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig. Wegen [mm] $x_n \to [/mm] x$ ex. $N [mm] \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] x_n \in U_{\varepsilon}(x)$. [/mm] Da [mm] $(x_n)$ [/mm] Folge in A, gilt [mm] $x_n \in [/mm] A$ und somit
[mm] $x_n \in [/mm] A [mm] \cap U_{\varepsilon}(x)$,
[/mm]
also
$A [mm] \cap U_{\varepsilon}(x) \not= \emptyset.$
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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