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| Aufgabe | | Ist die Menge [mm] $\{x \in \IR: x^2 \in \IQ \}$ [/mm] abzählbar? |
Weiß jemand, ob die Menge abzählbar ist oder nicht und wie man das beweist?
Danke :)
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Jop, weiß garantiert jemand hier.
Und was hilft dir das jetzt weiter?
Tip: Forenregeln lesen.
MFG,
Gono.
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Ich finde den Matheraum ja echt super und bin froh, dass es Leute gibt, die sich hier so engagieren. Aber auf so Antworten wie deine kann ich auch verzichten...
Das war eine Aufgabe aus einer Klausur, deren Lösung ich nicht weiß und die mich aber interessiert.
Vielleicht hätte ich statt "Weiß jemand ob die Menge abzählbar ist?" fragen sollen "Kann mir jemand erklären, weshalb die Menge abzählbar bzw. nicht abzählbar ist?"
Entspricht die Frage dann eher den Forenregeln?
Also ich wäre froh, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte... und vielen Dank im Voraus schonmal.
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Hallo,
naja, wann ist eine Menge denn abzählbar? Viele Aufgaben sind halb gelöst, wenn man nur die Definition und den richtigen Umgang mit ihnen kennt.
Also: ![[]](/images/popup.gif) Abzählbarkeit
Das hilft dir um zumindest erste Ideen und/oder Zweifel zu entwickeln.
Wenn noch was unklar ist, raus damit.
Grüße
ChopSuey
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> Ich finde den Matheraum ja echt super und bin froh, dass es
> Leute gibt, die sich hier so engagieren.
Danke 
> Aber auf so Antworten wie deine kann ich auch verzichten...
Die Antwort hat durchaus einen Sinn. Es steht nicht umsonst in den Regeln eigene Ansätze zu posten und dazu gehört zumindest sich mal die Begriffe zusammenzusuchen, die in der Aufgabe vorkommen und hingehören, denn damit ist die Aufgabe schon halb gelöst.
> Das war eine Aufgabe aus einer Klausur, deren Lösung ich
> nicht weiß und die mich aber interessiert.
Manchmal ist ein bisschen Background-Story auch sinnvoll, schon allein um zu verstehen, warum du hier postest und nicht "Hier habt ihr, macht mal."
> Vielleicht hätte ich statt "Weiß jemand ob die Menge
> abzählbar ist?" fragen sollen "Kann mir jemand erklären,
> weshalb die Menge abzählbar bzw. nicht abzählbar ist?"
> Entspricht die Frage dann eher den Forenregeln?
Ja, das klingt doch gleich viel freundlicher
> Also ich wäre froh, wenn mir da jemand weiterhelfen
> könnte... und vielen Dank im Voraus schonmal.
Wurde ja schon halb getan.
Als Tip noch: [mm] \IQ [/mm] ist abzählbar und nun überleg dir mal, wieso du obige Menge als Vereinigung abzählbarer Mengen darstellen kannst (Tip: [mm] $x^2 [/mm] = y [mm] \in \IQ$ [/mm] hat mehrere Lösungen und nun überleg dir mal, wie du die Menge darüber darstellen kannst)
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Sa 24.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist die Menge [mm]\{x \in \IR: x^2 \in \IQ \}[/mm] abzählbar?
> Weiß jemand, ob die Menge abzählbar ist oder nicht und
> wie man das beweist?
>
> Danke :)
ja, denn die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar, und
[mm] $$\{x \in \IR: x^2 \in \IQ \} \subseteq \big(\{\sqrt{|q|}: q \in \IQ\} \cup \{-\sqrt{|p|}: p \in \IQ\}\big)\,.$$
[/mm]
Warum gilt die letzte Teilmengenbeziehung? Warum ist jede der beiden Mengen rechts abzählbar? Gilt vielleicht sogar Gleichheit (auch, wenn man das zur Beantwortung der Ausgangsfrage nicht braucht)?
P.S.:
Man kann die Frage auch durch die Kenntniss
"Jedes Polynom vom Grad $n [mm] \ge 1\,$ [/mm] hat in [mm] $\IR$ [/mm] höchstens [mm] $n\,$ [/mm] Nullstellen"
oder
"Jedes Polynom vom Grad $n [mm] \ge 1\,$ [/mm] hat in [mm] $\IC$ [/mm] genau [mm] $n\,$ [/mm] Nullstellen"
beantworten.
Allgemeiner kann man damit sagen:
Sei [mm] $p(t)=\sum_{k=0}^n a_k t^k$ [/mm] ein Polynom [mm] $n\,$-ten [/mm] Grades und nicht konstant eine rationale Zahl. Dann ist die Menge
[mm] $$\{x \in \IR: p(x) \in \IQ\}$$
[/mm]
abzählbar.
Denn beachte:
Für jedes $q [mm] \in \IQ$ [/mm] ist
[mm] $$p^{-1}(\{q\})$$
[/mm]
sogar endlich, und damit insbesondere abzählbar.
(Es gilt zudem:
$$p(t)=q [mm] \gdw [/mm] t [mm] \in p^{-1}(\{q\})$$
[/mm]
und
$$p(t)=q [mm] \gdw [/mm] p(t)-q=0 [mm] \gdw [/mm] t [mm] \in (p(\cdot)-q)^{-1}(\{0\})\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $p(\cdot)-q$ [/mm] durch [mm] $p(t)-q=\sum_{k=0}^n a_k t^k-q=(a_0-q)+\sum_{k=1}^n a_k t^k$ [/mm] definiert ist.)
Beste Grüße,
Marcel
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