Menge aller Basen bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Mi 24.11.2010 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Basen [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] mit [mm] v_1, v_2 [/mm] sind Lösungen der Gleichung x+y-2z=0 und [mm] v_1 [/mm] ist zusätzlich Lösung von 2x-y=0. |
Hi,
das ist eine Übungsaufgabe.
Aus den beiden für [mm] v_1 [/mm] gültigen Gleichungen ergibt sich [mm] v_1=\lambda\vektor{2 \\ 4 \\3} [/mm] wegen [mm] x=\frac{2}{3}z=\frac{4}{3}y. [/mm]
[mm] v_2 [/mm] muss die Form [mm] \vektor{x\\y\\ \frac{x+y}{2}} [/mm] haben und linear unabhängig von [mm] v_1 [/mm] sein, damit daraus eine Basis wird. D.h. in diesem Fall: Es gilt nicht 2x-y=0 für [mm] v_2. [/mm] Eine Möglichkeit ist also z.B. [mm] v_2=\vektor{0\\2\\1}.
[/mm]
[mm] v_3=\vektor{a\\b\\c} [/mm] muss nun die Vektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] zur vollständigen Basis ergänzen. Dafür darf [mm] \pmat{ 2 & x & a\\ 4 & y & b\\3 &\frac{x+y}{2}&c }\pmat{ \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3}=\pmat{ 0\\0\\0} [/mm] mit den Skalaren [mm] \lambda_i [/mm] (i=1,2,3) nur die triviale Lösung [mm] \lambda_i=0 [/mm] haben. Insbesondere darf sich [mm] v_3 [/mm] also nicht als Linearkombination von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] darstellen lassen.
Diese Überlegungen reichen noch nicht aus, um die Menge aller Basen ordentlich zu beschreiben. Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, was ich zur besseren Beschreibung der Menge aller Basen noch tun kann? Wäre sehr erfreut darüber!
Grüße pyw
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
PPS: edit: Sorry, hatte bei der Matrix Zeilen und Spalten vertauscht
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Hallo pyw, ein spätes ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hi,
> das ist eine Übungsaufgabe.
>
> Aus den beiden für [mm]v_1[/mm] gültigen Gleichungen ergibt sich
> [mm]v_1=\lambda\vektor{2 \\
4 \\
3}[/mm] wegen
> [mm]x=\frac{2}{3}z=\frac{4}{3}y.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist der 1. Teil der Lösung.
> [mm]v_2[/mm] muss die Form [mm]\vektor{x\\
y\\
\frac{x+y}{2}}[/mm] haben und
> linear unabhängig von [mm]v_1[/mm] sein, damit daraus eine Basis
> wird. D.h. in diesem Fall: Es gilt nicht 2x-y=0 für [mm]v_2.[/mm]
Das ist der 2. Teil der Lösung.
> Eine Möglichkeit ist also z.B. [mm]v_2=\vektor{0\\
2\\
1}.[/mm]
Beispiele dienen der Illustration, sind aber für die Lösung nicht erheblich. Ich würde sogar sagen, an dieser Stelle stört ein Beispiel, weil man nicht so recht weiß, was es eigentlich illustrieren soll. Immerhin sollst Du alle Basen bestimmen, die die Bedingungen erfüllen, und da sind ja noch unendlich viele andere [mm] \vec{v}_2 [/mm] möglich.
> [mm]v_3=\vektor{a\\
b\\
c}[/mm] muss nun die Vektoren [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] zur
> vollständigen Basis ergänzen. Dafür darf [mm]\pmat{ 2 & x & a\\
4 & y & b\\
3 &\frac{x+y}{2}&c }\pmat{ \lambda_1 \\
\lambda_2 \\
\lambda_3}=\pmat{ 0\\
0\\
0}[/mm]
> mit den Skalaren [mm]\lambda_i[/mm] (i=1,2,3) nur die triviale
> Lösung [mm]\lambda_i=0[/mm] haben. Insbesondere darf sich [mm]v_3[/mm] also
> nicht als Linearkombination von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] darstellen
> lassen.
Das ist der 3. Teil der Lösung, und damit wäre sie vollständig. Allerdings empfiehlt sich hier noch eine Operationalisierung: Wie muss die Matrix denn beschaffen sein, damit das System nur die triviale Lösung hat? Gibt es irgendetwas einfacheres, das über die Matrix zu sagen wäre?
> Diese Überlegungen reichen noch nicht aus, um die Menge
> aller Basen ordentlich zu beschreiben.
Doch, das tun sie. Ich bin aber sicher, dass für den 3. Teil (s.o.) eine andere Formulierung erwartet wird.
> Kann mir bitte
> jemand einen Tipp geben, was ich zur besseren Beschreibung
> der Menge aller Basen noch tun kann? Wäre sehr erfreut
> darüber!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mi 24.11.2010 | | Autor: | pyw |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort :)
> Das ist der 3. Teil der Lösung, und damit wäre sie
> vollständig. Allerdings empfiehlt sich hier noch eine
> Operationalisierung: Wie muss die Matrix denn beschaffen
> sein, damit das System nur die triviale Lösung hat? Gibt
> es irgendetwas einfacheres, das über die Matrix zu sagen
> wäre?
Eben genau daran komme ich mit meinen Überlegungen leider nicht weiter. Hast Du/ jemand anderes eine Idee?
Grüße pyw
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Hallo nochmal,
sagt Dir der Begriff ![[]](/images/popup.gif) Determinante etwas?
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Mi 24.11.2010 | | Autor: | pyw |
Alles klar, danke.
Die Determinante darf nicht 0 sein, man muss also die Determinante mit den Parametern nur noch ausrechnen.
Gruß
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