Menge aller Funktionen < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Sa 01.10.2011 | | Autor: | Mija |
| Aufgabe | Zeige, dass aus dem Extensionalitätsprinzip, den Mengenexistenzprinzipien
und den zusätzichen Mengenaxiomen folgt, dass für beliebige Mengen $R$ und $S$ auch [mm] $S^R$ [/mm] eine Menge ist. |
Hallo,
also es ist ja [mm] $S^R [/mm] := [mm] \{ f | f: R \to S\}$ [/mm] die Menge aller Funktionen von R nach S.
Brauche ich hier nur das Collection priciple anwenden mit $A=R$ und $B=S$ und bin dann schon fertig?
Das Collection principle besagt: Falls $A$ eine Menge ist und [mm] $\phi(x,y)$ [/mm] eine Eigenschaft, und falls [mm] $(\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A) [mm] \exists [/mm] y [mm] \phi(x,y)$, [/mm] dann existiert eine Menge B, so dass [mm] $(\forall [/mm] x [mm] \in A)(\exists [/mm] y [mm] \in [/mm] B) [mm] \phi(x,y)$
[/mm]
Irgendwas fehlt doch da noch?!
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 So 02.10.2011 | | Autor: | hippias |
> Zeige, dass aus dem Extensionalitätsprinzip, den
> Mengenexistenzprinzipien
> und den zusätzichen Mengenaxiomen folgt, dass für
> beliebige Mengen [mm]R[/mm] und [mm]S[/mm] auch [mm]S^R[/mm] eine Menge ist.
> Hallo,
>
> also es ist ja [mm]S^R := \{ f | f: R \to S\}[/mm] die Menge aller
> Funktionen von R nach S.
>
> Brauche ich hier nur das Collection priciple anwenden mit
> [mm]A=R[/mm] und [mm]B=S[/mm] und bin dann schon fertig?
>
> Das Collection principle besagt: Falls [mm]A[/mm] eine Menge ist und
> [mm]\phi(x,y)[/mm] eine Eigenschaft, und falls [mm](\forall x \in A) \exists y \phi(x,y)[/mm],
> dann existiert eine Menge B, so dass [mm](\forall x \in A)(\exists y \in B) \phi(x,y)[/mm]
>
> Irgendwas fehlt doch da noch?!
>
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen
> könnte!
>
Ich wuerde Dur gerne helfen, wuerde aber gerne wissen, wie ihr Funktionen definiert habt: Als Menge von Kuratowski-Paaren? Dein Existenzbeweis scheint in der Tat nicht richtig zu sein, denn Du hast "nur" die Existenz einer Menge, deren Elemente "irgendwie" mittels [mm] $\phi$ [/mm] in einer Beziehung zu denen aus $A$ stehen. Habt ihr schon bewiesen, dass [mm] $A\times [/mm] B$ eine Menge ist, falls $A,B$ Mengen sind?
Ich wuerde ungefaehr so vorgehen: [mm] $F:=\{f: f\in P(R\times S)\wedge \forall x,y,y'((x,y), (x,y')\in f\rightarrow y= y')\wedge \forall r\exists s\/ (r\in R\vee s\in S\wedge (r,s)\in f)\}$, [/mm] wobei [mm] $P(R\times [/mm] S)$ die Potenzmenge von [mm] $R\times [/mm] S$ sein soll. $F$ ist nun die Menge aller Funktionen [mm] $:R\to [/mm] S$ und nach dem Aussonderungsprinzip ist $F$ eine Menge; schlicht gesagt [mm] $S^{R}$ [/mm] ist als Teilmenge von [mm] $P(R\times [/mm] S)$ eine Menge.
Reicht Dir das? Wenn nicht, koenntest Du mir vielleicht die Axiome, die in der Aufgabenstellung genannt wurden, kurz mitteilen.
|
|
|
|
