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Menge aller Punkte (411013): Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:58 Di 08.07.2008
Autor: tuxor

Aufgabe
In ein spitzwinkliges Dreieck ABC werden Rechtecke PQRS einbeschrieben, sodass P und Q auf der Seite AB liegen, R auf der Seite BC liegt und S auf der Seite AC liegt.
Bestimmen Sie die Menge aller Punkte M, die Umkreismittelpunkte eines solchen Rechtecks sind.

Hallihallo,

es ist mir schon fast peinlich aber ich komme mit dieser Aufgabe für die erste Runde der 10. Klasse nicht zurecht. Schon allein die Tatsache, dass hier nach einer Menge gefragt wird, bringt mich aus dem Konzept...
Mit Geogebra habe ich die beschriebene Figur gezeichnet und habe einfach mal drei Punkte ABC auf konstant gesetzt, P hin- und hergeschoben und mir die Spur von M angeguckt. Das ist eine Gerade und ich vermute mal, dass ich die zugehörige Geradengleichung benötige, um die Aufgabe erfüllen zu können: Liege ich da richtig? Ich habe nämlich die Vermutung, dass es noch viel leichter geht und ich nur nicht darauf komme.

(Ich habe mir jedenfalls die Sache im Koordinatensystem vorgenommen und für jeden Punkt Koordinaten ausgerechnet. Diese Koordinaten sind immer abhängig von den konstanten Punkten ABC und vom Punkt P. Dabei habe ich zum Beispiel auch die Geradengleichung der Strecken BC und CA gebraucht und kam am Ende auf völlig unübersichtliche Terme und habe mich zu allem Überfluss auch noch verrechnet, sodass mein Endergebnis völliger Schwachsinn war.)

Meine Frage ist vor allem: Kann man das auch irgendwie geometrisch lösen? Da müsste man erstmal beweisen, dass die Punkte M immer auf einer Geraden liegen und dann müsste man zum Beispiel den Winkel ausrechnen, mit dem diese Gerade die Seite AB schneidet. Aber wie macht man sowas - ich steh da scheinbar hoffnungslos auf dem Schlauch?

Viele Grüße,
tuxor

        
Bezug
Menge aller Punkte (411013): Lösungsvorschlag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:34 Di 08.07.2008
Autor: tuxor

Ich habe jetzt mit meiner Koordinatenrechnung erstmal festgestellt, dass M immer die Koordinaten [mm](\bruch{x_P+x_Q}{2}|\bruch{y_C*x_P}{2x_C})[/mm] hat. Das war natürlich ziemlich einfach, und das Wollte ich eigentlich ursprünglich gar nicht haben. Aber weiß jemand, ob sowas auch als Lösung gelten kann?

Bezug
                
Bezug
Menge aller Punkte (411013): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:23 Mi 09.07.2008
Autor: Teufel

Hi!

Ich denke nicht. Ich glaube sie wollen eher sowas wie "M liegt auf einem Kreis/einer Hyperbel/einer Geraden (Strecke)... (die da und da durch geht)".

Ich bevorzuge stehts Lösungen im Koordinatensystem und bin ran gegangen wie du. M bekommen ich auch so raus. Ich nehme mal an, dass du auch A in den Ursprung gelegt hast, B auf die x-Achse und C allgemein gewählt hast ;) wäre auch das naheliegendste meiner Meinung nach.

Gut, weiter im Text: Die ganzen Punktkoordinaten sind ja Konstanten, bis auf [mm] x_P [/mm] und [mm] x_Q. [/mm] Wenn du nur noch eine von beiden, also [mm] x_P [/mm] oder [mm] x_Q [/mm] übrig hättest, könntest du aus der Mittelpunktschar eine Ortskurve machen. Ich weiß nicht, in wie weit du damit vertraut bist, aber ich setze einfach mal fort: Du musst also z.B. [mm] x_Q [/mm] durch [mm] x_P [/mm] ausdrücken, was ja auch nicht so schwer sein sollte.

Dann hast du M(...irgendwas mit [mm] x_P [/mm] (nur mit [mm] x_P, x_Q [/mm] sollte verschwunden [mm] sein!)|\bruch{y_C*x_P}{2x_C}) [/mm]

Damit gilt für den Mittelpunkt:

x=...irgendwas mit [mm] x_P [/mm]
[mm] y=\bruch{y_C*x_P}{2x_C} [/mm]

Dann kannst (einfachheitshalber) die 2. Gleichung nach [mm] x_P [/mm] umstellen und das in die 1. Gleichung einsetzen. Nach etwas Umsortiererei kannst du die Funktion, die dabei entsteht (die Ortskurve der Mittelpunkte) in der Form y=mx+n darstellen (die Mittelpunkte liegen also wirklich auf einer Geraden).

Aber natürlich stellen nicht alle Geradenpunkte Mittelpunkte dar. Nur die, deren x-Werte zwischen dem Mittelpunkt von AB und dem x-Wert von C liegen (da, wo die Höhe ist!).

Aus all den Erkenntnissen kann man dann schließen, dass die Mittelpunkte auf der Strecke [mm] m_{AB}m_{CF} [/mm] liegen, wobei das die Mitten der Strecken AB und CF sind (F ist der Fußpunkt, also liegt [mm] m_{CF} [/mm] in der Mitte der Höhe). Das muss man nur noch ordentlich begründen und dann geht das schon :)

Genauer könnte man das dann nicht angeben, denke ich mal.

[anon] Teufel

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Menge aller Punkte (411013): Rechnen überflüssig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:07 Mi 09.07.2008
Autor: Al-Chwarizmi

hallo tuxor, hallo Teufel,

nachdem ich mir eine Skizze gemacht und mir überlegt
habe, wie sich gewisse Punkte der Figur bewegen würden,
wenn man es in Geogebra animieren würde, denke ich
mir, dass es fast schade wäre, bei dieser geometrischen
Aufgabe überhaupt Koordinaten einzuführen und zu
rechnen - es geht wirklich ganz ohne Rechnung.

Nur ein Tipp:   Auf welcher Linie bewegt sich der Mittel-
punkt der Seite [mm] \overline{RS}, [/mm] wenn man S der Seite [mm] \overline{AC} [/mm]
entlang zieht ?

al-Chw.

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Bezug
Menge aller Punkte (411013): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:24 Mi 09.07.2008
Autor: Teufel

Hi!

Die müssten dann alle auf [mm] s_c [/mm] liegen. Man kann ja auch sofort 2 Punkte angeben, nämlich den Mittelpunkt, wenn S gegen A geht und den, wenn S gegen C geht. Aber ich weiß nicht, wie man damit zeigen kann, dass da wirklich eine Strecke im Endeffekt rauskommt.

Die Strecke, auf der die Mittelpunkte der anderen Seite (QR) liegen, kann man auch schon bestimmen, das ist die Strecke, die von B ausgeht, [mm] h_c [/mm] enthält und bei b endet.

Und die Mittelpunkte liegen demnach immer "unter" [mm] s_c [/mm] und "links von" der anderen Strecke. Aber na ja, mehr kann ich gerade nicht sagen.

[anon] Teufel

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Menge aller Punkte (411013): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:38 Mi 09.07.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Hi!
>  
> Die müssten dann alle auf [mm]s_c[/mm] liegen.       [ok]

> Man kann ja auch
> sofort 2 Punkte angeben, nämlich den Mittelpunkt

         (der Grundseite AB)

> wenn S gegen A geht und den, wenn S gegen C geht.

          (Punkt C selbst)

Man könnte zwar sagen, zu diesen beiden Punkten gehören
gar keine "echten", sondern ausgeartete Rechtecke. Deshalb
würde ich diese Endpunkte in der gesuchten Punktmenge
ausschliessen !

> Aber ich weiß
> nicht, wie man damit zeigen kann, dass da wirklich eine
> Strecke im Endeffekt rauskommt.
>  
> Die Strecke, auf der die Mittelpunkte der anderen Seite
> (QR) liegen, kann man auch schon bestimmen, das ist die
> Strecke, die von B ausgeht,      

         [ok]

> [mm]h_c[/mm] enthält

         ???     [kopfschuettel]

> und bei b endet.

         [notok]     sie endet auch im selben Punkt der
                Höhe  [mm] h_c [/mm]  wie die erste Linie

>  
> Und die Mittelpunkte liegen demnach immer "unter" [mm]s_c[/mm] und
> "links von" der anderen Strecke. Aber na ja, mehr kann ich
> gerade nicht sagen.

Vielleicht wäre jetzt doch noch ein Koordinatensystem nützlich,
am besten mit Ursprung in [mm] M_{AB}. [/mm] Die Gerade [mm] s_c [/mm] hat dann
eine Gleichung der Form  y=mx. Welche Gleichung erfüllen die
Koordinaten der Rechtecksmittelpunkte ?

Gruß      al-Chw.

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Menge aller Punkte (411013): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:52 Mi 09.07.2008
Autor: Teufel

Hi nochmal!

Ja, war etwas falsch formuliert um die Uhrzeit ;)

Aber wenn S gegen C geht, geht der Mittelpunkt doch nicht gegen C! Der geht doch dann auf die halbe Höhe auf c zu, da die Höhe [mm] h_c [/mm] ja auch so eine Grenzfigur ist, die man dann auch ausschließen sollte, wie du schon gesagt hast.

Und nun, um meine schlechte Formulierung aus der Welt zu räumen:
Ich meine die Strecke, die von B ausgeht und beim Mittelpunkt von [mm] h_c [/mm] endet.


Und zum Koordinatensystem: Meinst du jetzt wieder die Mittelpunkte der Seiten?
Dann würde [mm] s_c [/mm] auf der Trägergeraden [mm] y=\bruch{y_c}{x_c}x [/mm] und die andere Gerade auf [mm] y=\bruch{-\bruch{y_c}{2}}{b-x_c}(x-b), [/mm] aber ich glaube, dass du darauf nicht hinaus wolltest, da das ja fast wie meine 1. Variante endet ;)

[anon] Teufel

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Menge aller Punkte (411013): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 Mi 09.07.2008
Autor: tuxor

Kann man denn nun eigentlich diese Sache nicht auch ohne Koordinatensystem beweisen? Nachdem ihr jetzt durch räumliche Vorstellungskraft die gesuchte Gerade erkannt habt, könnte man doch einfach den Beweis führen, dass M immer auf der Strecke zwischen dem Mittelpunkt der Seite AB und dem Mittelpunkt von [mm]h_c[/mm] liegt. Für meine Ohren hört sich das nicht unmöglich an, aber ich weiß nicht, wie man das machen könnte. Hat jemand eine Idee dazu?

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Menge aller Punkte (411013): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Mi 09.07.2008
Autor: leduart

Hallo
Die Mittelpunkte liegen eigentlich nie auf [mm] h_c [/mm]  bzw. nur ein Punk, es sei denn das Dreieck ist gleichschenklig und [mm] h_c=s_c; [/mm]  s =Seitenhalbierende.
Natürlich kann man das immer im Koordinatensystem lösen, aber das ist doch langweilig.
Alles, was man mit Schnitten von Geraden im KOOS zeigen kann muss auch mit Strahlensätzen oder ähnlichem gehen!
Gruss leduart

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Menge aller Punkte (411013): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:53 Mi 09.07.2008
Autor: leduart

Hallo
Noch ein paar Hinweise.
a)für die beiden entarteten Rechtecke :AB und [mm] h_c [/mm] liegt M auf jeweils der Mitte.
b) wenn man R oder S auf einer Seite entlangschiebt, verändert sich M linear. Also müssen alle M auf der Berbindungsstrecke  von [mm] h_c/2nach [/mm]  AB/2 liegen.
d)damit hat man die nötigen [mm] Hilfslinien:s_c [/mm] auf ihr liegen alle Seitenmittelpunkte der zu AB parallelen Rechteckseite. M liegt auf halber Höhe zu AB senkrecht unter diesem Punkt. damit auf obiger Strecke.
(der Winkel bei c muss dazu nicht spitz sein!)
Gruss leduart

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Menge aller Punkte (411013): mit Strahlensatz
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:14 Do 10.07.2008
Autor: statler

Hi allerseits!

Es sei wie bisher ABC das Dreieck und PQRS das einbeschriebene Rechteck. Zusätzlich sei H der Mittelpunkt der Höhe durch C und G die Mitte von AB. Ich will zeigen, daß HG die gesuchte Ortslinie ist. Dazu muß ich zeigen, daß daß HG PR teilt.

Jetzt kommt mehrfach der Strahlensatz:
AH schneidet PS in der Mitte H', ebenso schneidet BH RQ in der Mitte H''. Damit halbieren sich PR und H'H'' gegenseitig. Aber HG halbiert ebenfalls H'H'', also auch PR.

Leider habe ich keinen Scanner zur Hand, aber mit einem Bild ist es völlig durchsichtig.

Gruß aus HH-Eimsbüttel
Dieter

Bezug
                                                                
Bezug
Menge aller Punkte (411013): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 Do 10.07.2008
Autor: tuxor

Nach welchem Strahlensatz schneidet die Strecke HG die Strecke H'H'' in der Mitte?
[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Menge aller Punkte (411013): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Do 10.07.2008
Autor: Teufel

Hi!

Interessante Lösung von statler auf alle Fälle :)

Weiß nicht, wie die Strahlensätze nummeriert sind, aber einer lautet:

[mm] \bruch{\overline{H'M}}{\overline{MH''}}=\bruch{\overline{AG}}{\overline{GB}} [/mm]

[anon] Teufel

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Menge aller Punkte (411013): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:11 Do 10.07.2008
Autor: tuxor

Ah genau, den habe ich nicht gesehen. Danke sehr. Also ich finde diese Lösung wirklich ideal und es ist eigentlich auch das, was ich von anfang an erhofft hatte :)

Bezug
                                                                                        
Bezug
Menge aller Punkte (411013): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:21 Do 10.07.2008
Autor: Teufel

Hm, da braucht man wohl einen Blick für. Bin nicht so der Geometrietyp, ich frage mich immer, wie man auf solche Lösungen kommt ;)
Immer sehe ich dann irgendwelche Strecken, die ich gar nicht beachtet habe.

Vielleicht sollte ich einfach immer alles verbinden, was geht :/

Auf alle Fälle danke für die Aufgabe, tuxor, freue mich auf weitere ;)

[anon] Teufel

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Bezug
Menge aller Punkte (411013): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:46 Mi 09.07.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Aber wenn S gegen C geht, geht der Mittelpunkt doch nicht
> gegen C!

da hast du wohl etwas missverstanden
wir haben da nicht vom Mittelpunkt des Umkreises, sondern
vom Mittelpunkt der Seite RS des Rechtecks gesprochen

Bezug
                                                
Bezug
Menge aller Punkte (411013): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:10 Mi 09.07.2008
Autor: Teufel

Achso :) na ja, ich meinte die Umkreismittelpunkte vorhin.

[anon] Teufel

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Bezug
Menge aller Punkte (411013): Applet
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Mi 09.07.2008
Autor: Al-Chwarizmi

sorry,

leider hat beim Übertragen nicht alles geklappt ...

Bezug
                                
Bezug
Menge aller Punkte (411013): Ein Ergebnis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:45 Mi 09.07.2008
Autor: tuxor

Ich habe nun also nochmal mit Koordinaten jongliert. Meine Punkte A und B liegen so auf der x-Achse, dass der Koordinatenursprung genau in der Mitte zwischen beiden liegt. C ist irgendwo über der Strecke AB.
Mein Ergebnis ist, dass alle Mittelpunkte M der Vierecke PQRS auf einer Geraden mit der Gleichung [mm]y = \bruch{y_c}{2x_c}*x[/mm] liegen. Warum da die Koordinaten von A und B keine Rolle spielen, habt ihr ja selber schon sehr gut begründet ;)
Die Definitionsmenge ist aber auch sehr wichtig und die lautet [mm]D=(x_c;0)[/mm] Dabei frage ich mich, ob diese Intervallschreibweise überhaupt gültig ist: [mm]x_c[/mm] kann sowohl negativ als auch positiv sein!

Bezug
                                        
Bezug
Menge aller Punkte (411013): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:04 Mi 09.07.2008
Autor: Teufel

Hi!

Na ja, geh einfach davor aus, dass C links von der Mitte von AB liegt. Liegt es auf der rechten Seite, ist es eh nur ein gespiegeltes Dreieck.

[anon] Teufel

Bezug
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