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Menge aller affinen Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 Di 09.02.2016
Autor: Audin

Aufgabe
Seien [mm] $\IF_2$ [/mm] der Körper mit $2$ Elementen, $X$ der $3$-dimensionale affine Raum [mm] $\IF_{2}^3$ [/mm] und [mm] $V_X$ [/mm] der $3$-dimensionale Vektorraum [mm] $\IF_{2}^3$. [/mm] Sei ferner [mm] $U\subset V_X$ [/mm] der lineare Unterraum, welcher vom Vektor [mm] $(1,0,1)\in V_X$ [/mm] erzeugt wird. Geben Sie alle affinen Unterräume [mm] $Y\subset [/mm] X$ vollständig als Menge an, für die [mm] $V_Y=U$ [/mm] gilt.

Okay iregndwie bin ich mir nicht ganz sicher was die Aufgabe ist.

Also [mm] $\IF_{2}^3$ [/mm]  besteht aus:

[mm] $\IF_{2}^3=\left\{ \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1\\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1\\ 1} \right\}$ [/mm]

[mm] $U=\left\langle \vektor{1 \\ 0 \\1} \right\rangle [/mm] $.


Wenn ich das richtig verstehe ist [mm] U:=\left\{\vektor{0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1} \right\} [/mm]


Ich soll nun alle [mm] $Y_i$ [/mm] angeben für die [mm] $V_{Y_i}=U$: [/mm]

Also wäre:

[mm] $Y_1:=\left\{\vektor{1 \\ 0 \\ 1} + U \right\}$ [/mm]

Hingegen wäre

$T:= [mm] \left\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0} + U \right\} [/mm] = [mm] \left\{\vektor{0 \\ 0 \\ 1} +{1 \\ 0 \\ } \right\} [/mm] $ kein Affiner Unterraum
oder wie?

Wir hatten auch mal in der Vorlesung, dass der Faktorraum die Menge aller Affiner Unterräume ist.


        
Bezug
Menge aller affinen Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:45 Mi 10.02.2016
Autor: hippias


> Seien [mm]\IF_2[/mm] der Körper mit [mm]2[/mm] Elementen, [mm]X[/mm] der
> [mm]3[/mm]-dimensionale affine Raum [mm]\IF_{2}^3[/mm] und [mm]V_X[/mm] der
> [mm]3[/mm]-dimensionale Vektorraum [mm]\IF_{2}^3[/mm]. Sei ferner [mm]U\subset V_X[/mm]
> der lineare Unterraum, welcher vom Vektor [mm](1,0,1)\in V_X[/mm]
> erzeugt wird. Geben Sie alle affinen Unterräume [mm]Y\subset X[/mm]
> vollständig als Menge an, für die [mm]V_Y=U[/mm] gilt.
>  Okay iregndwie bin ich mir nicht ganz sicher was die
> Aufgabe ist.
>  
> Also [mm]\IF_{2}^3[/mm]  besteht aus:
>  
> [mm]$\IF_{2}^3=\left\{ \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1\\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1\\ 1} \right\}$[/mm]

Richtig.

>  
> [mm]U=\left\langle \vektor{1 \\ 0 \\1} \right\rangle [/mm].
>  
>
> Wenn ich das richtig verstehe ist [mm]U:=\left\{\vektor{0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1} \right\}[/mm]
>  

Richtig, aber offenbar bist Du unsicher. Daher wiederhole, was diese eckigen Klammern bedeuten. Du hast das Symbol $:=$ falsch benutzt, da es eine Definition bedeutet, aber $U$ bereits festgelegt war. Daher wäre [mm] $U=\ldots$ [/mm] angemessener.

>
> Ich soll nun alle [mm]Y_i[/mm] angeben für die [mm]V_{Y_i}=U[/mm]:
>  
> Also wäre:
>  
> [mm]Y_1:=\left\{\vektor{1 \\ 0 \\ 1} + U \right\}[/mm]
>  

Richtig. Nur der Vollständigkeit halber: 1. Zeige, dass [mm] $Y_{1}$ [/mm] ein affiner Teilraum ist; 2. Zeige, dass [mm] $V_{Y_{1}}= [/mm] U$ gilt.

Beides dürfte trivial sein, aber es schadet nicht.

Noch eine wichtige Bemerkung: Es muss heissen [mm] $Y_1:=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + U$.


> Hingegen wäre
>
> [mm]T:= \left\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0} + U \right\} = \left\{\vektor{0 \\ 0 \\ 1} +{1 \\ 0 \\ } \right\}[/mm]
> kein Affiner Unterraum

Wieso sagst Du, dies sei kein affiner Teilraum? Welche Bedingung aus der Definition ist nicht erfüllt?

>  oder wie?
>  
> Wir hatten auch mal in der Vorlesung, dass der Faktorraum
> die Menge aller Affiner Unterräume ist.

Das ist falsch. Mit Halbwissen hat man keine Fortune bei Mathe. Schlag den Satz nocheinmal nach.

>  


Bezug
                
Bezug
Menge aller affinen Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:07 Mi 10.02.2016
Autor: Audin


>  
> >
> > Ich soll nun alle [mm]Y_i[/mm] angeben für die [mm]V_{Y_i}=U[/mm]:
>  >  
> > Also wäre:
>  >  
> > [mm]Y_1:=\left\{\vektor{1 \\ 0 \\ 1} + U \right\}[/mm]
>  >  
> Richtig. Nur der Vollständigkeit halber: 1. Zeige, dass
> [mm]Y_{1}[/mm] ein affiner Teilraum ist; 2. Zeige, dass [mm]V_{Y_{1}}= U[/mm]
> gilt.
>
> Beides dürfte trivial sein, aber es schadet nicht.

Sei $X$ ein affiner Raum.Eine [mm] $Y\subseteq [/mm] X$ heißt affiner Unterraum von $X$, wenn gilt [mm] $Y=\emptyset$ [/mm] oder [mm] $U:=\Phi_A(Y)$ [/mm] ist ein [mm] $\IK$-Unterraum [/mm] von [mm] $V_X$ [/mm] für ein ein [mm] $A\in [/mm] Y$ mit zugrundeliegendem Vektorraum [mm] $V_Y:=U$ [/mm] .

So steht es erstmal in der Definition.

Ich muss also zeigen, dass [mm] $\Phi_{A}(Y)$ [/mm] ein [mm] $\IK$- [/mm] Unterraum ist. Dabei haben wir [mm] $\Phi_A(B):=\overrightarrow{AB}$ [/mm]
Sei [mm] $A=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}$ [/mm]

Dann ist wegen [mm] $\overrightarrow{\vektor{1 \\ 0 \\ 1}\vektor{1 \\ 0 \\ 1}}=0\in _{Y_{1}}$ [/mm]

Nun muss ich zeigen, für alle [mm] $v,v'\in \Phi_{A}(Y)$ [/mm] gilt: [mm] $v+v'\in\Phi_{A}(Y)$ [/mm]

Das könnte ich jetzt nur indem ich alle Elemente meiner Menge durchgehe:

[mm] $\overrightarrow{\vektor{1 \\ 0 \\ 1} \vektor{1 \\ 0 \\ 1} } [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}-\vektor{1 \\ 0 \\ 1}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}\in V__{Y_{1}}$ [/mm]
[mm] $\overrightarrow{\vektor{1 \\ 0 \\ 1} \vektor{0 \\ 0 \\ 0} }=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}\in V__{Y_{1}}$ [/mm]

Also ist [mm] $\Phi_{A}(Y)=\left\{\vektor{0 \\ 0 \\ 0}; \vektor{1 \\ 0 \\ 1} \right\}$ [/mm]

Es gilt [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+\vektor{1 \\ 0 \\ 1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}\in V__{Y_{1}}$ [/mm]

und

[mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+\vektor{0 \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}\in V__{Y_{1}}$ [/mm]

Desweiteren ist für [mm] $v\in V_Y_1$ [/mm] und [mm] $\lambda\in \{0,1\}$ [/mm]

[mm] $0\cdot v=0\in V__{Y_{1}}$ [/mm]
[mm] $1\cdot v=v\in V_{Y_{1}}$ [/mm]

Also ist [mm] $V_Y_1$ [/mm] ein [mm] $\IK$-Unterraum [/mm] von [mm] $V_X$ \Rightarrow [/mm] $Y$ ist ein Affiner-Unterraum von $X$

Es gilt ja [mm] $U=V_{Y_{1}}$ [/mm] , da ich ja nur die beiden Vektorren erzeugen kann.

> Noch eine wichtige Bemerkung: Es muss heissen
> [mm]Y_1:=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} + U[/mm].
>  
>
> > Hingegen wäre
> >
> > [mm]T:= \vektor{1 \\ 0 \\ 0} + U [/mm]
> > kein Affiner Unterraum
>  Wieso sagst Du, dies sei kein affiner Teilraum? Welche
> Bedingung aus der Definition ist nicht erfüllt?

Ich wollte damit garnicht sagen, dass es kein Affiner Unterraum ist. Ich meinte damit, dass es kein Affiner Unterraum bezüglich U ist.

Denn [mm] $\overrightarrow{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \vektor{1 \\ 0 \\ 1}} [/mm] =  [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \not\in [/mm] U$


> >  oder wie?

>  >  
> > Wir hatten auch mal in der Vorlesung, dass der Faktorraum
> > die Menge aller Affiner Unterräume ist.
> Das ist falsch. Mit Halbwissen hat man keine Fortune bei
> Mathe. Schlag den Satz nocheinmal nach.
>  
> >  

>  

Also was Faktorräume angeht bin ich auch sehr Unbeholfen. Wir hatten leider nie Faktorräume besprochen.
Bei mir steht folgendes:

Sei V ein [mm] \IK-Vektorraum [/mm] und X=V der affine Raum mit [mm] \Phi(u,v)=v-u [/mm] für [mm] u,v\in [/mm] X. Sei [mm] U\subseteq [/mm] V ein [mm] \IK-Unterraum [/mm] von V.
Dann ist der Faktorraum V/U die Menge aller affiner Unterräume von X mit zugrundeliegendem Vektorraum U.

mfg. Audin

Bezug
                        
Bezug
Menge aller affinen Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Do 11.02.2016
Autor: hippias


> >  

> > >
> > > Ich soll nun alle [mm]Y_i[/mm] angeben für die [mm]V_{Y_i}=U[/mm]:
>  >  >  
> > > Also wäre:
>  >  >  
> > > [mm]Y_1:=\left\{\vektor{1 \\ 0 \\ 1} + U \right\}[/mm]
>  >  >  
> > Richtig. Nur der Vollständigkeit halber: 1. Zeige, dass
> > [mm]Y_{1}[/mm] ein affiner Teilraum ist; 2. Zeige, dass [mm]V_{Y_{1}}= U[/mm]
> > gilt.
> >
> > Beides dürfte trivial sein, aber es schadet nicht.
>  
> Sei [mm]X[/mm] ein affiner Raum.Eine [mm]Y\subseteq X[/mm] heißt affiner
> Unterraum von [mm]X[/mm], wenn gilt [mm]Y=\emptyset[/mm] oder [mm]U:=\Phi_A(Y)[/mm]
> ist ein [mm]\IK[/mm]-Unterraum von [mm]V_X[/mm] für ein ein [mm]A\in Y[/mm] mit
> zugrundeliegendem Vektorraum [mm]V_Y:=U[/mm] .
>  
> So steht es erstmal in der Definition.
>  
> Ich muss also zeigen, dass [mm]\Phi_{A}(Y)[/mm] ein [mm]\IK[/mm]- Unterraum
> ist. Dabei haben wir [mm]\Phi_A(B):=\overrightarrow{AB}[/mm]
>  Sei [mm]A=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>  
> Dann ist wegen [mm]\overrightarrow{\vektor{1 \\ 0 \\ 1}\vektor{1 \\ 0 \\ 1}}=0\in _{Y_{1}}[/mm]
>  
> Nun muss ich zeigen, für alle [mm]v,v'\in \Phi_{A}(Y)[/mm] gilt:
> [mm]v+v'\in\Phi_{A}(Y)[/mm]
>  
> Das könnte ich jetzt nur indem ich alle Elemente meiner
> Menge durchgehe:
>  
> [mm]\overrightarrow{\vektor{1 \\ 0 \\ 1} \vektor{1 \\ 0 \\ 1} } = \vektor{1 \\ 0 \\ 1}-\vektor{1 \\ 0 \\ 1}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}\in V__{Y_{1}}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{\vektor{1 \\ 0 \\ 1} \vektor{0 \\ 0 \\ 0} }=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}\in V__{Y_{1}}[/mm]
>  
> Also ist [mm]\Phi_{A}(Y)=\left\{\vektor{0 \\ 0 \\ 0}; \vektor{1 \\ 0 \\ 1} \right\}[/mm]
>  
> Es gilt [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+\vektor{1 \\ 0 \\ 1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}\in V__{Y_{1}}[/mm]
>  
> und
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+\vektor{0 \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}\in V__{Y_{1}}[/mm]
>  
> Desweiteren ist für [mm]v\in V_Y_1[/mm] und [mm]\lambda\in \{0,1\}[/mm]
>  
> [mm]0\cdot v=0\in V__{Y_{1}}[/mm]
>  [mm]1\cdot v=v\in V_{Y_{1}}[/mm]
>  
> Also ist [mm]V_Y_1[/mm] ein [mm]\IK[/mm]-Unterraum von [mm]V_X[/mm]  [mm]\Rightarrow[/mm]  [mm]Y[/mm]
> ist ein Affiner-Unterraum von [mm]X[/mm]
>
> Es gilt ja [mm]U=V_{Y_{1}}[/mm] , da ich ja nur die beiden Vektorren
> erzeugen kann.

O.K., damit hast Du gezeigt, dass [mm] $Y_{1}$ [/mm] tatsächlich affiner Teilraum ist. Das ist aber unheimlich kompliziert durchgeführt. Mache Dir für die Zukunft klar, dass für einen linearen Unterraum [mm] $U\leq V_{X}$ [/mm] und einen Punkt $A$ stets $Y:= A+U$ ein affiner Teilraum von $X$ mit [mm] $V_{Y}= [/mm] U$ ist. Mir hätte eine Bemerkung dieser Art genügt.

Ist Dir eigentlich klar, dass sogar [mm] $Y_{1}= [/mm] U$ ist?

>  
> > Noch eine wichtige Bemerkung: Es muss heissen
> > [mm]Y_1:=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} + U[/mm].
>  >  
> >
> > > Hingegen wäre
> > >
> > > [mm]T:= \vektor{1 \\ 0 \\ 0} + U [/mm]
> > > kein Affiner Unterraum
>  >  Wieso sagst Du, dies sei kein affiner Teilraum? Welche
> > Bedingung aus der Definition ist nicht erfüllt?
>  
> Ich wollte damit garnicht sagen, dass es kein Affiner
> Unterraum ist. Ich meinte damit, dass es kein Affiner
> Unterraum bezüglich U ist.
>  
> Denn [mm]\overrightarrow{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \vektor{1 \\ 0 \\ 1}} = \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \not\in U[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  

Die Rechnung ist zwar richtig, die Schlussfolgerung ist aber trotzdem nicht richtig, denn $\vektor{1 \\ 0 \\ 1}}$ gehört nicht zu $T$ (sondern zu $U$). Tatsächlich ist $T$ ein affiner Teilraum parallel zu $U$, so wie jede der Mengen $A+U$, $A\in X$, ein affiner Teilraum parallel zu $U$ ist. Siehe auch obige Bemerkung und die nachfolgende zu Faktorräumen.

>
> > >  oder wie?

>  >  >  
> > > Wir hatten auch mal in der Vorlesung, dass der Faktorraum
> > > die Menge aller Affiner Unterräume ist.
> > Das ist falsch. Mit Halbwissen hat man keine Fortune bei
> > Mathe. Schlag den Satz nocheinmal nach.
>  >  
> > >  

> >  

>
> Also was Faktorräume angeht bin ich auch sehr Unbeholfen.
> Wir hatten leider nie Faktorräume besprochen.
> Bei mir steht folgendes:
>  
> Sei V ein [mm]\IK-Vektorraum[/mm] und X=V der affine Raum mit
> [mm]\Phi(u,v)=v-u[/mm] für [mm]u,v\in[/mm] X. Sei [mm]U\subseteq[/mm] V ein
> [mm]\IK-Unterraum[/mm] von V.
>  Dann ist der Faktorraum V/U die Menge aller affiner
> Unterräume von X mit zugrundeliegendem Vektorraum U.

Eben: nicht alle affine Unterräume, sondern diejenigen, welche zu $U$ gehören. Dieser Satz hilft Dir zwar nicht unbedingt, um die affinen Teilräume zu bestimmen, weil Du vermutlich keine speziellen Informationen über den Faktorraum hast, aber man kann sich z.B. damit überlegen wieviele affine Teilräume es zu $U$ gibt: es ist die Anzahl der Elemente in [mm] $V_{X}/U$. $V_{X}/U$ [/mm] ist $2$-dimensionaler Raum über einen Körper mit $2$ Elementen, sodass die Elementezahl von [mm] $V_{X}/U$ [/mm] gleich [mm] $2^{2}= [/mm] 4$ ist.

Damit fehlen noch $2$ weitere Teilräume und sie sind alle von der Gestalt $A+U$, [mm] $A\in [/mm] X$.

>  
> mfg. Audin


Bezug
                                
Bezug
Menge aller affinen Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Do 11.02.2016
Autor: Audin


>  O.K., damit hast Du gezeigt, dass [mm]Y_{1}[/mm] tatsächlich
> affiner Teilraum ist. Das ist aber unheimlich kompliziert
> durchgeführt. Mache Dir für die Zukunft klar, dass für
> einen linearen Unterraum [mm]U\leq V_{X}[/mm] und einen Punkt [mm]A[/mm]
> stets [mm]Y:= A+U[/mm] ein affiner Teilraum von [mm]X[/mm] mit [mm]V_{Y}= U[/mm] ist.
> Mir hätte eine Bemerkung dieser Art genügt.

Ok.

> Ist Dir eigentlich klar, dass sogar [mm]Y_{1}= U[/mm] ist?

Ich denke schon. In [mm] $Y_{1}$ [/mm] liegen ja nur Punkte, zu denen es auch Vekotren aus $U$ gibt.
Sprich ist [mm] $\overrightarrow{AC}\in [/mm] U [mm] \Rightarrow C\in Y_{1}$ [/mm] ist.
Also zu jedem Punkt gibt es nen Vekotor und zu jedem Vektor nen Punkt, da ja die paritielle Abbildung eines Affinen Raums bijektiv ist.


> > > > Hingegen wäre
> > > >
> > > > [mm]T:= \vektor{1 \\ 0 \\ 0} + U[/mm]
> > > > kein Affiner Unterraum
>  >  >  Wieso sagst Du, dies sei kein affiner Teilraum?
> Welche
> > > Bedingung aus der Definition ist nicht erfüllt?
>  >  
> > Ich wollte damit garnicht sagen, dass es kein Affiner
> > Unterraum ist. Ich meinte damit, dass es kein Affiner
> > Unterraum bezüglich U ist.
>  >  
> > Denn [mm]\overrightarrow{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \vektor{1 \\ 0 \\ 1}} = \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \not\in U[/mm]
>  
> >  

> Die Rechnung ist zwar richtig, die Schlussfolgerung ist
> aber trotzdem nicht richtig, denn [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}}[/mm]
> gehört nicht zu [mm]T[/mm] (sondern zu [mm]U[/mm]). Tatsächlich ist [mm]T[/mm] ein
> affiner Teilraum parallel zu [mm]U[/mm], so wie jede der Mengen [mm]A+U[/mm],
> [mm]A\in X[/mm], ein affiner Teilraum parallel zu [mm]U[/mm] ist. Siehe auch
> obige Bemerkung und die nachfolgende zu Faktorräumen.




> > Sei V ein [mm]\IK-Vektorraum[/mm] und X=V der affine Raum mit
> > [mm]\Phi(u,v)=v-u[/mm] für [mm]u,v\in[/mm] X. Sei [mm]U\subseteq[/mm] V ein
> > [mm]\IK-Unterraum[/mm] von V.
>  >  Dann ist der Faktorraum V/U die Menge aller affiner
> > Unterräume von X mit zugrundeliegendem Vektorraum U.
>  Eben: nicht alle affine Unterräume, sondern diejenigen,
> welche zu [mm]U[/mm] gehören. Dieser Satz hilft Dir zwar nicht
> unbedingt, um die affinen Teilräume zu bestimmen, weil Du
> vermutlich keine speziellen Informationen über den
> Faktorraum hast, aber man kann sich z.B. damit überlegen
> wieviele affine Teilräume es zu [mm]U[/mm] gibt: es ist die Anzahl
> der Elemente in [mm]V_{X}/U[/mm]. [mm]V_{X}/U[/mm] ist [mm]2[/mm]-dimensionaler Raum
> über einen Körper mit [mm]2[/mm] Elementen, sodass die
> Elementezahl von [mm]V_{X}/U[/mm] gleich [mm]2^{2}= 4[/mm] ist.

Also verstehe ich das richtig, dass der Faktorraum 4-Elemente hat (das ganze konnte ich jetzt noch nicht so nachvollziehen, warum den so ist), da dort aber auch quasi nur der lineare Teil enthalten ist (Ursprung) bleiben für das Affine 3 übrig?


> Damit fehlen noch [mm]2[/mm] weitere Teilräume und sie sind alle
> von der Gestalt [mm]A+U[/mm], [mm]A\in X[/mm].

Okay ich habe nun folgende Räume:

$ [mm] Y_1:=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + U $.

$ [mm] Y_2:=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + U $.

$ [mm] Y_3:=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + U $.




Bezug
                                        
Bezug
Menge aller affinen Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:38 Fr 12.02.2016
Autor: hippias


> >  O.K., damit hast Du gezeigt, dass [mm]Y_{1}[/mm] tatsächlich

> > affiner Teilraum ist. Das ist aber unheimlich kompliziert
> > durchgeführt. Mache Dir für die Zukunft klar, dass für
> > einen linearen Unterraum [mm]U\leq V_{X}[/mm] und einen Punkt [mm]A[/mm]
> > stets [mm]Y:= A+U[/mm] ein affiner Teilraum von [mm]X[/mm] mit [mm]V_{Y}= U[/mm] ist.
> > Mir hätte eine Bemerkung dieser Art genügt.
>  
> Ok.
>  
> > Ist Dir eigentlich klar, dass sogar [mm]Y_{1}= U[/mm] ist?
>  
> Ich denke schon. In [mm]Y_{1}[/mm] liegen ja nur Punkte, zu denen es
> auch Vekotren aus [mm]U[/mm] gibt.
>  Sprich ist [mm]\overrightarrow{AC}\in U \Rightarrow C\in Y_{1}[/mm]
> ist.
>  Also zu jedem Punkt gibt es nen Vekotor und zu jedem
> Vektor nen Punkt, da ja die paritielle Abbildung eines
> Affinen Raums bijektiv ist.

Verstehe ich nicht. Zwei Mengen sind gleich, wenn jede Teilmenge der anderen ist. D.h. es wäre [mm] $U\subseteq Y_{1}$ [/mm] und [mm] $Y_{1}\subseteq [/mm] U$ zu zeigen.

>  
>
> > > > > Hingegen wäre
> > > > >
> > > > > [mm]T:= \vektor{1 \\ 0 \\ 0} + U[/mm]
> > > > > kein Affiner Unterraum
>  >  >  >  Wieso sagst Du, dies sei kein affiner Teilraum?
> > Welche
> > > > Bedingung aus der Definition ist nicht erfüllt?
>  >  >  
> > > Ich wollte damit garnicht sagen, dass es kein Affiner
> > > Unterraum ist. Ich meinte damit, dass es kein Affiner
> > > Unterraum bezüglich U ist.
>  >  >  
> > > Denn [mm]\overrightarrow{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \vektor{1 \\ 0 \\ 1}} = \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \not\in U[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > Die Rechnung ist zwar richtig, die Schlussfolgerung ist
> > aber trotzdem nicht richtig, denn [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}}[/mm]
> > gehört nicht zu [mm]T[/mm] (sondern zu [mm]U[/mm]). Tatsächlich ist [mm]T[/mm] ein
> > affiner Teilraum parallel zu [mm]U[/mm], so wie jede der Mengen [mm]A+U[/mm],
> > [mm]A\in X[/mm], ein affiner Teilraum parallel zu [mm]U[/mm] ist. Siehe auch
> > obige Bemerkung und die nachfolgende zu Faktorräumen.
>  
>
>
>
> > > Sei V ein [mm]\IK-Vektorraum[/mm] und X=V der affine Raum mit
> > > [mm]\Phi(u,v)=v-u[/mm] für [mm]u,v\in[/mm] X. Sei [mm]U\subseteq[/mm] V ein
> > > [mm]\IK-Unterraum[/mm] von V.
>  >  >  Dann ist der Faktorraum V/U die Menge aller affiner
> > > Unterräume von X mit zugrundeliegendem Vektorraum U.
>  >  Eben: nicht alle affine Unterräume, sondern
> diejenigen,
> > welche zu [mm]U[/mm] gehören. Dieser Satz hilft Dir zwar nicht
> > unbedingt, um die affinen Teilräume zu bestimmen, weil Du
> > vermutlich keine speziellen Informationen über den
> > Faktorraum hast, aber man kann sich z.B. damit überlegen
> > wieviele affine Teilräume es zu [mm]U[/mm] gibt: es ist die Anzahl
> > der Elemente in [mm]V_{X}/U[/mm]. [mm]V_{X}/U[/mm] ist [mm]2[/mm]-dimensionaler Raum
> > über einen Körper mit [mm]2[/mm] Elementen, sodass die
> > Elementezahl von [mm]V_{X}/U[/mm] gleich [mm]2^{2}= 4[/mm] ist.
>  
> Also verstehe ich das richtig, dass der Faktorraum
> 4-Elemente hat (das ganze konnte ich jetzt noch nicht so
> nachvollziehen, warum den so ist)

Nach dem Dimensionssatz gilt [mm] $\dim [/mm] V/U= [mm] \dim V-\dim [/mm] U$...

>, da dort aber auch quasi

> nur der lineare Teil enthalten ist (Ursprung) bleiben für
> das Affine 3 übrig?

Das ist mir komplett unverständlich.

>  
>
> > Damit fehlen noch [mm]2[/mm] weitere Teilräume und sie sind alle
> > von der Gestalt [mm]A+U[/mm], [mm]A\in X[/mm].
>  
> Okay ich habe nun folgende Räume:
>  
> [mm]Y_1:=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} + U [/mm].
>
> [mm]Y_2:=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} + U [/mm].
>
> [mm]Y_3:=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} + U [/mm].
>

O.K. Wie könnte man jetzt noch zeigen, dass diese affinen alle verschieden sind? Denn wie wir bei [mm] $Y_{1}$ [/mm] gesehen haben, kann der gleiche affine Teilraum unterschiedlich dargestellt werden.

Im übrigen habe ich von $4$ Teilräumen gesprochen: $T$ gehört auch dazu.

>
>  


Bezug
                                                
Bezug
Menge aller affinen Unterräume: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:29 Fr 12.02.2016
Autor: Audin


> > > Ist Dir eigentlich klar, dass sogar [mm]Y_{1}= U[/mm] ist?
>  >  
> > Ich denke schon. In [mm]Y_{1}[/mm] liegen ja nur Punkte, zu denen es
> > auch Vekotren aus [mm]U[/mm] gibt.
>  >  Sprich ist [mm]\overrightarrow{AC}\in U \Rightarrow C\in Y_{1}[/mm]
> > ist.
>  >  Also zu jedem Punkt gibt es nen Vekotor und zu jedem
> > Vektor nen Punkt, da ja die paritielle Abbildung eines
> > Affinen Raums bijektiv ist.
>  Verstehe ich nicht. Zwei Mengen sind gleich, wenn jede
> Teilmenge der anderen ist. D.h. es wäre [mm]U\subseteq Y_{1}[/mm]
> und [mm]Y_{1}\subseteq U[/mm] zu zeigen.

Also eine Möglichkeit wäre natürlich wieder alle Punkte durchzugehen. Aber das ist denke ich zu umständlich.
Ich probier es mal anders. Ich glaube das geht so, aber ich lieg öfters mal daneben. Etwas zu zeigen fällt mir manchmal schwer.

"z.Z. [mm] $U\subseteq Y_{1}$" [/mm]

[mm] $Y_{1}=A+U$ [/mm]

Sei [mm] $u\in [/mm] U$ beliebig  und [mm] $A\in Y_{1}$. [/mm] Dann gibt es ein [mm] $B\in [/mm] X: [mm] \overrightarrow{AB}=u$ [/mm] (Da [mm] $\Phi_{A}(X)$ [/mm] bijektiv ist).

[mm] $\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow [/mm] B-A=u [mm] \Leftrightarrow B=A+u\in Y_{1}$ [/mm]


"z.Z. [mm] $Y_{1}\subseteq [/mm] U$"

Sei [mm] $A,B\in Y_{1} \Rightarrow [/mm] B=A+u$ mit [mm] $u\in [/mm] U [mm] \Leftrightarrow [/mm] B-A=u [mm] \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] u\in [/mm] U$

[mm] $\Rightarrow Y_{1}=U$ [/mm]



> > Also verstehe ich das richtig, dass der Faktorraum
> > 4-Elemente hat (das ganze konnte ich jetzt noch nicht so
> > nachvollziehen, warum den so ist)
>  Nach dem Dimensionssatz gilt [mm]\dim V/U= \dim V-\dim U[/mm]...

Achso stimmt. Dann ist [mm] $\dim [/mm] V/U = 2$ und für jede Komponente hab ich zwei möglichkeiten, also insgesamt [mm] 2^2=4? [/mm]
Wir hatten dafür mal so eine Formel, dort wurde gesagt:



> >, da dort aber auch quasi
> > nur der lineare Teil enthalten ist (Ursprung) bleiben für
> > das Affine 3 übrig?
>  Das ist mir komplett unverständlich.

Da hab ich auch falsch gedacht. Ich hab gedacht, dass evtl. die Menge [mm] Z=\left\{\vektor{0\\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\0\\ 1} \right\} [/mm] kein affiner Unterraum wäre, weil dort der Ursprung enthalten ist. Das steht aber auch niergendo in der Definition es war auch nur so eine anschauliche Sache, dass eben der Affine Raum immer ein aus dem Ursprung verschobener Unterraum ist.

> >
> > > Damit fehlen noch [mm]2[/mm] weitere Teilräume und sie sind alle
> > > von der Gestalt [mm]A+U[/mm], [mm]A\in X[/mm].
>  >  
> > Okay ich habe nun folgende Räume:
>  >  
> > [mm]Y_1:=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} + U [/mm].
> >
> > [mm]Y_2:=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} + U [/mm].
> >
> > [mm]Y_3:=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} + U [/mm].
> >
> O.K. Wie könnte man jetzt noch zeigen, dass diese affinen
> alle verschieden sind? Denn wie wir bei [mm]Y_{1}[/mm] gesehen
> haben, kann der gleiche affine Teilraum unterschiedlich
> dargestellt werden.

Mh das ist korrekt so wäre [mm] Y_4:=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + U= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] + U.
Aber der Aufpunkt A ist ja bereits verschieden.
Damit müssen [mm] Y_1,...,Y_4 [/mm] verschieden sein.

Angenommen [mm] Y_1=Y_2 [/mm]
[mm] \Rightarrow \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + U = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + U
[mm] \Leftrightarrow \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}. [/mm]

Das wäre aber ein Widerspruch.


Edit: Ich merke grade, dass ich mich hier selbst wiederspreche (siehe unten).


Aber ich muss schon sagen, dass ich es schwieig finde gleichwertige Affine Unterräume zu erkennen.
Also ich könnte durch bloßes hinschauen nicht sagen welcher andere Aufpunkt den gleichen Unterraum wie [mm] Y_3 [/mm] beschreibt. Dafür müsste ich mir die Menge

[mm] Y_3=\left\{\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1} \right\} [/mm]

immer einmal hinschreiben und dann würde ich halt sehen.
Okay [mm] Y_3=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] U=\vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + U.

> Im übrigen habe ich von [mm]4[/mm] Teilräumen gesprochen: [mm]T[/mm]
> gehört auch dazu.
>  
> >
> >  

>  

Das ist absolut korrekt.

[mm]Y_1:=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} + U [/mm].

[mm]Y_2:=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} + U [/mm].

[mm]Y_3:=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} + U [/mm].

[mm]Y_4:=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} + U [/mm]


Bezug
                                                        
Bezug
Menge aller affinen Unterräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:37 Fr 12.02.2016
Autor: hippias

Ich will gar nicht auf Deinen Text eingehen. Das soll aber nicht heissen, dass er nicht brauchbar wäre, sondern weil mir der Text zu lang ist und ich glaube, dass die folgende Mitteilung Dich in den Stand versetzt, manche Deiner Schwierigkeiten selbst aus den Weg zu räumen.

Hinsichtlich der Frage, wie man Gleichheit affiner Teilräume erkennt:
$A+U= [mm] B+U\iff \overrightarrow{AB}\in [/mm] U$.
Beweis: 1. Gelte $A+U= B+U$. Wegen [mm] $0\in [/mm] U$ ist dann insbesondere [mm] $A=A+0\in [/mm] A+U= B+U$, also [mm] $A\in [/mm] B+U$. D.h. es gibt [mm] $u\in [/mm] U$ mit [mm] $\overrightarrow{AB}=u$, [/mm] sodass also [mm] $\overrightarrow{AB}\in [/mm] U$.

2. Gelte $u:= [mm] \overrightarrow{AB}\in [/mm] U$. Dann ist also $A= B+u$. Nun zeige ich [mm] $A+U\subseteq [/mm] B+U$: Sei [mm] $x\in [/mm] A+U$, d.h. es gibt [mm] $w\in [/mm] U$ mit $x= A+w$. Es folgt mit obigem, dass $x= B+u+w$. Weil [mm] $u+w\in [/mm] U$ ist, folgt also [mm] $x\in [/mm] B+U$.

Nun zeige ich [mm] $B+U\subseteq [/mm] A+U$: Sei [mm] $x\in [/mm] B+U$, d.h. es gibt [mm] $w\in [/mm] U$ mit $x= B+w$. Es folgt mit obigem, dass $x= A-u+w$. Weil [mm] $-u+w\in [/mm] U$ ist, folgt also [mm] $x\in [/mm] A+U$.

Damit ist die Mengengleichheit gezeigt.

Dieses Kriterium dürfte Dir kaum unbekannt sein.


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Menge aller affinen Unterräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:07 So 14.02.2016
Autor: Audin

Vielen dank Hippias für deine Hilfe.
Ich hab nun alles verstanden :)



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Menge aller affinen Unterräume: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 So 14.02.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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