Menge aller endlichen Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Boastii |
| Aufgabe | | Beweisen Sie bitte, dass die Menge [mm] M [/mm] aller abbrechenden Folgen [mm] (a_n)_{n\in \mathbb N} [/mm] aus Nullen und Einsen eine abzählbare Menge ist. |
Hallo liebe Community,
also ich habe folgende Idee.
Wenn ich ausrechnen könnte, welche Mächtigkeit die die Menge [mm] M [/mm] hat, könnte ich auch jedes Element darin einfach beziffern und somit eine Abbildung von [mm] \mathbb N [/mm] auf die Menge [mm] M [/mm] bekommen.
Nun was ich schon habe:
Es sei [mm] M [/mm] eine Menge aller abbrechenden Zahlenfolgen [mm] (a_n)_{n\in \mathbb N} [/mm] deren Glieder aus Nullen und einsehen bestehen.
So kann man die Mächtigkeit von [mm] M [/mm] wie folgt konstruieren:
Bsp: [mm] (a_n)_{n\in \mathbb N}[/mm] hat 5 Glieder.
So kann man alle Möglichkeiten diese Folge hat wie folgt aufschreiben:
Möglichkeiten mit einer 1 jeweils:
00001
00010
00100
01000
10000
Wo es genau 5 Möglichkeiten gibt. Vermutung: [mm]\vektor{5 \\ 1} [/mm]
Möglichkeiten mit jeweils 2 mal die 1
00011
00101
01001
10001
00110
01010
10010
01100
10100
11000
10 Möglichkeiten, also wieder genau [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm].
So nun habe ich das Verallgemeinert und daraus geschlossen, dass wenn k= die Anzahl von der 1 ist und n die Anzahl der Glieder. Man die Mächtigkeit aller abbrechenden Folgen aus Nullen und Einsen wie folgt schreiben kann:
[mm]
|M|= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}
[/mm] für jedes [mm] n>=2[/mm] mit [mm] n,k \in \mathbb N [/mm]
[mm]
|M|= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} = \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} 1^{n-k}*1^n= (1+1)^n = 2^n
[/mm]
Also habe ich die Mächtigkeit von M : [mm] |M|=2^n [/mm]. Jetzt weiß ich das in [mm] M [/mm] genau [mm] 2^n [/mm] Elemente sind, die ich jeweils aufzählen kann von 1 bis [mm]2^n [/mm].
Das ist doch dann die gewünschte Abbildung und ich kann sagen, dass ich bewiesen habe, dass die Menge aus einer abbrechenden Folge aus Nullen und Einsen eine abzählbar Menge ist?
MfG Boastii :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Boasti,
> Beweisen Sie bitte, dass die Menge [mm]M[/mm] aller abbrechenden
> Folgen [mm](a_n)_{n\in \mathbb N}[/mm] aus Nullen und Einsen eine
> abzählbare Menge ist.
> Hallo liebe Community,
>
> also ich habe folgende Idee.
> Wenn ich ausrechnen könnte, welche Mächtigkeit die die
> Menge [mm]M[/mm] hat, könnte ich auch jedes Element darin einfach
> beziffern und somit eine Abbildung von [mm]\mathbb N[/mm] auf die
> Menge [mm]M[/mm] bekommen.
>
> Nun was ich schon habe:
> Es sei [mm]M[/mm] eine Menge aller abbrechenden Zahlenfolgen
> [mm](a_n)_{n\in \mathbb N}[/mm] deren Glieder aus Nullen und
> einsehen bestehen.
> So kann man die Mächtigkeit von [mm]M[/mm] wie folgt konstruieren:
> Bsp: [mm](a_n)_{n\in \mathbb N}[/mm] hat 5 Glieder.
> So kann man alle Möglichkeiten diese Folge hat wie folgt
> aufschreiben:
>
> Möglichkeiten mit einer 1 jeweils:
> 00001
> 00010
> 00100
> 01000
> 10000
> Wo es genau 5 Möglichkeiten gibt. Vermutung: [mm]\vektor{5 \\ 1}[/mm]
>
> Möglichkeiten mit jeweils 2 mal die 1
> 00011
> 00101
> 01001
> 10001
> 00110
> 01010
> 10010
> 01100
> 10100
> 11000
>
> 10 Möglichkeiten, also wieder genau [mm]\vektor{5 \\ 2} [/mm].
>
> So nun habe ich das Verallgemeinert und daraus geschlossen,
> dass wenn k= die Anzahl von der 1 ist und n die Anzahl der
> Glieder. Man die Mächtigkeit aller abbrechenden Folgen aus
> Nullen und Einsen wie folgt schreiben kann:
>
> [mm]
|M|= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}
[/mm] für jedes [mm]n>=2[/mm] mit
> [mm]n,k \in \mathbb N[/mm]
>
> [mm]
|M|= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} = \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} 1^{n-k}*1^n= (1+1)^n = 2^n
[/mm]
>
> Also habe ich die Mächtigkeit von M : [mm]|M|=2^n [/mm]. Jetzt
> weiß ich das in [mm]M [/mm] genau [mm]2^n[/mm] Elemente sind, die ich
> jeweils aufzählen kann von 1 bis [mm]2^n [/mm].
>
> Das ist doch dann die gewünschte Abbildung und ich kann
> sagen, dass ich bewiesen habe, dass die Menge aus einer
> abbrechenden Folge aus Nullen und Einsen eine abzählbar
> Menge ist?
ich sehe nicht, wie Du damit die Abzählbarkeit von [mm] $M\,$ [/mm] bewiesen hast. Da
fehlt noch etwas - aber man kann schon etwas von Deinen Überlegungen
gebrauchen. Ich würde das so machen:
Sei
[mm] $A_k:=\{f:\;\,\text{ es ist } f \colon \IN \to \{0,1\} \text{ mit }f(m)=0 \text{ für alle }m \;>\; k\}\,,$
[/mm]
d.h. eine Folge $f [mm] \in A_k$ [/mm] nimmt nur an den ersten [mm] $k\,$ [/mm] Stellen die Werte [mm] $0\,$ [/mm]
oder [mm] $1\,$ [/mm] an und ist ansonsten durchweg [mm] $0\,.$
[/mm]
Mit Deinen Argumenten kannst Du dann leicht zeigen:
[mm] $|A_k|=2^k$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN\,,$
[/mm]
(das kann man übrigens auch leicht kombinatorisch zeigen: Für $f [mm] \in A_k$ [/mm] gibt
es für [mm] $f(1)\,$ [/mm] zwei Möglichkeiten, für [mm] $f(2)\,$ [/mm] dannn wieder zwei... bis man zu
[mm] $f(k)\,$ [/mm] gelangt, wofür wir auch zwei Möglichkeiten haben... und danach kommen
ja nur noch lauter Nullen...)
insbesondere ist jede Menge [mm] $A_k$ [/mm] als endliche Menge abzählbar.
Weil eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar
ist (ich hoffe, ihr habt das bewiesen!), ist damit
[mm] $\bigcup_{k \in \IN}A_k$
[/mm]
abzählbar. Jetzt die Frage an Dich:
Was hat
[mm] $\bigcup_{k \in \IN}A_k$
[/mm]
mit [mm] $M\,$ [/mm] zu tun? (Es würde übrigens sogar reichen
$M [mm] \;\subseteq\;\bigcup_{k \in \IN}A_k$
[/mm]
zu begründen: Warum?)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Boastii |
Hey Marcel, danke erst mal für dein Mühe.
Also ich hatte gedacht, dass ich durch die Nummerierung meiner Folgen eine bijektive Abbildung bekomme.
Also:
[mm]
f: \begin{cases} \mathbb N \rightarrow M \\ n \rightarrow a_{2^n} \end{cases}
[/mm]
Meiner Meinung nach gibt es dadurch für jedes [mm] n \in \mathbb N [/mm] genau eine bestimmte Folge und für jede Folge genau ein [mm] n \in \mathbb N[/mm].
Also ich hatte mal gelesen das eine Menge abzählbar ist wenn es eine bijektive Abbildung von den natürlichen Zahlen auf die Menge gibt.
Das gibt es doch oben? Ist der Gedanke komplett falsch?
So nun zu deinem:
Also ich verstehe deine Definition von [mm] A_k [/mm] nicht ganz. Ich glaube [mm] A_k [/mm] ist eine Menge aus bestimmten folgen.Folgen, die alle Element von M sind. Also ist doch [mm] A_k \subseteq M [/mm].
Das die Union aus abzählbaren Mengen wieder abzählbar ist haben wir bereits in der Vorlesung bewiesen, also ist mir das klar :).
Ich denk das: [mm] \bigcup_{k\in \mathbb N}A_k = M [/mm] ist.
Des Weiteren reicht das aus, weil die Gleichheit von Mengen ja bedeutet, das die eine Menge Teilmenge der anderen Menge ist und umgekehrt auch. Hinzu kommt, dass wir auch schon beweisen mussten, dass jede Teilmenge einer abzählbaren Menge auch abzählbar ist.
Habe ich das alles richtig verstanden?
Noch eine Frage:
> insbesondere ist jede Menge [mm]A_k[/mm] als endliche Menge
> abzählbar.
Wenn ich doch die Mächtigkeit von M durch Permutation explizit angegeben kann, dann weiß ich doch das sie endlich ist und somit auch abzählbar, oder? :)
Gruß Boastii
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Di 12.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Boasti,
> Hey Marcel, danke erst mal für dein Mühe.
> Also ich hatte gedacht, dass ich durch die Nummerierung
> meiner Folgen eine bijektive Abbildung bekomme.
>
> Also:
> [mm]
f: \begin{cases} \mathbb N \rightarrow M \\ n \rightarrow a_{2^n} \end{cases}
[/mm]
erkläre mir mal Deine Funktion [mm] $f\,.$ [/mm] Ich verstehe sie nicht!
>
> Meiner Meinung nach gibt es dadurch für jedes [mm]n \in \mathbb N[/mm]
> genau eine bestimmte Folge und für jede Folge genau ein [mm]n \in \mathbb N[/mm].
Ja, Du kannst hier auch mit einer Bijektion arbeiten - aber das wird schon
"mühseliger" als das, was ich getan habe. So grob:
Ich schreibe ein Element aus [mm] $M\,$ [/mm] als "unendlich langen Zeilenvektor mit abzählbar
unendlich vielen Komponenten":
Die Bijektion
$g [mm] \colon \IN \to [/mm] M$
definieren wir mit
[mm] $g(1):=f_1$ [/mm] mit [mm] $f_1=(0,0,0,...)$
[/mm]
[mm] $g(2):=f_2$ [/mm] mit [mm] $f_2=(1,0,0,...)$
[/mm]
[mm] $g(3):=f_3$ [/mm] mit [mm] $f_3=(0,1,0,...)$
[/mm]
[mm] $g(4):=f_4$ [/mm] mit [mm] $f_4=(1,1,0,...)$
[/mm]
[mm] $g(5):=f_5$ [/mm] mit [mm] $f_5=(0,0,1,...)$
[/mm]
.
.
.
Die Idee wäre grob: Wenn wir den Zeilenvektor in Form
[mm] $(a_0,a_1,a_2,a_3,...)$
[/mm]
lesen, dann ist [mm] $g(n)\,$ [/mm] quasi "eine Art Binärdarstellung von [mm] $n-1\,,$" [/mm]
genauer:
Ist [mm] $n-1=\sum_{k=0}^\infty a_k(n-1)*2^k\,,$ [/mm] so schreiben wir
[mm] $g(n):=(a_0(n-1),a_1(n-1),a_2(n-1),a_3(n-1),...)$
[/mm]
Anders gesagt: Schreibst Du [mm] $g(n)\,$ [/mm] ohne Klammern und Kommata
zudem "spiegelverkehrt", so siehst Du (wenn Du die unendlich vielen
aufeinanderfolgenden Nullen wegläßt) die Binärdarstellung von [mm] $n-1\,.$
[/mm]
Beispiel:
Wir würden schreiben:
[mm] $g(11)=(0,1,0,1,\red{0,0,0,...})=(a_0(10),a_1(10),a_2(10),a_3(10),\red{a_4(10),a_5(10),...})$
[/mm]
Die Binärdarstellung von $10$ ist
[mm] ${1010}_2 \;\hat{=}\;a_3(10)\;a_2(10)\,a_1(10)\;a_0(10)\,.$
[/mm]
Sowas dürften wir so allerdings, mit Eurem Wissen an der Stelle, vermutlich
(noch) gar nicht sagen, denn man kann auch sagen, dass das eigentlich
nur eine Umformulierung der zu zeigenden Behauptung ist! Du könntest
aber hingehen und einen Algorithmus zur Berechnung der Binärdarstellung
einer natürlichen Zahl angeben etc. pp.. Wäre aber nicht so das Gelbe vom
Ei, zumal man dann noch sowas wie "Algorithmus terminiert", "Eindeutigkeit
der Darstellung" oder sowas vielleicht beweisen will/muss/sollte...
> Also ich hatte mal gelesen das eine Menge abzählbar ist
> wenn es eine bijektive Abbildung von den natürlichen
> Zahlen auf die Menge gibt.
Ja, das ist abzählbar sogar im Sinne von abzählbar unendlich (für mich ist
das egal, da ich abzählbar="endlich oder abzählbar unendlich" verwende;
und Du redest ja nicht von "genau dann abzählbar, wenn...", denn dann
müßten wir penibler werden und vor allem erstmal klären, was ihr unter
"abzählbar" versteht!).
Wenn es eine Surjektion von [mm] $\IN$ [/mm] auf eine Menge gibt, dann ist sie halt
entweder endlich oder abzählbar unendlich. (Wenn es eine Bijektion gibt,
dann muss die Menge auch unendlich sein, weil es dann eine Injektion
von [mm] $\IN$ [/mm] auf die Menge gibt.)
> Das gibt es doch oben? Ist der Gedanke komplett falsch?
Deine Bijektion habe ich nicht verstanden.
> So nun zu deinem:
>
> Also ich verstehe deine Definition von [mm]A_k[/mm] nicht ganz.
Naja, was ist denn eine Folge [mm] $a={(a_n)}_{n \in \IN}$ [/mm] (mit Werten in [mm] $A\,$)? [/mm] Das ist
doch einfach nur eine Abbildung
$a [mm] \in A^{\IN}=\{f: \text{ es ist }f \text{ eine Abbildung der Art }f \colon \IN \to A\}\,.$
[/mm]
Also:
$u [mm] \in A^{\IN}$ $\iff$ [/mm] $u [mm] \colon \IN \to [/mm] A$ ist eine Abbildung.
> Ich glaube [mm]A_k[/mm] ist eine Menge aus bestimmten folgen.Folgen, > die alle Element von M sind.
[mm] $A_k$ [/mm] ist nichts anderes als die Menge aller Folgen, die nur an den ersten
[mm] $k\,$ [/mm] Stellen Werte aus [mm] $\{0,1\}$ [/mm] haben dürfen und danach nur noch mit 0en
ausgestattet sind.
So ist (wenn ich eine Folge wieder nicht direkt als Funktion, sondern als
unendlich langen Zeilenvektor schreibe, aber nun in der Form [mm] $(a_1,a_2,a_3,...)$) [/mm] etwa
$(e,0,1,0,1,0,0,0,...) [mm] \notin A_6$ [/mm] - es gilt zwar [mm] $a_k=0$ [/mm] für alle $k > [mm] 6\,$ [/mm] (ich habe da
eine unwesentliche Kleinigkeit in der anderen Antwort korrigiert),
aber es ist [mm] $a_1=e \notin A=\{0,1\}\,.$
[/mm]
Allerdings ist etwa
$(0,1,0,1,0,0,0,...) [mm] \in A_4$ [/mm] (und auch [mm] $\in A_5$ [/mm] oder [mm] $\in A_6\,$ [/mm] etc. pp.),
wobei hier die ... andeuten, dass nur noch 0en folgen sollen.
> Also ist doch [mm]A_k \subseteq M [/mm].
Genau: Für jedes natürliche [mm] $k\,$ [/mm] gilt
[mm] $A_k\;\subseteq\;M\,.$
[/mm]
>
> Das die Union aus abzählbaren Mengen wieder abzählbar ist
Nanana, das ist schon wichtig, dass das eine abzählbare Vereinigung ist.
Denke mal daran, dass
[mm] $\IR=\bigcup_{r \in \IR}\{r\}$
[/mm]
gilt - [mm] $\{r\}$ [/mm] ist dabei endlich. Aber das Ding dabei ist, dass [mm] $\bigcup_{\red{r \in \IR}}\{r\}$ [/mm] eben
KEINE abzählbare Vereinigung (aber durchaus von abzählbaren Mengen)
hier ist!
> haben wir bereits in der Vorlesung bewiesen, also ist mir
> das klar :).
>
> Ich denk das: [mm]\bigcup_{k\in \mathbb N}A_k = M[/mm] ist.
Dann beweise das doch. Einen Teil hast Du ja schon:
Aus [mm] $A_k \subseteq [/mm] M$ für jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] folgt ja sofort
[mm] $\bigcup_{k\in \mathbb N}A_k \;\subseteq\;M\,.$
[/mm]
Allerdings ist gerade die umgekehrte Inklusion hier die Wichtige, denn wir
wissen ja, dass die linke Seite abzählbar ist!
> Des Weiteren reicht das aus, weil die Gleichheit von Mengen
> ja bedeutet, das die eine Menge Teilmenge der anderen Menge
> ist und umgekehrt auch. Hinzu kommt, dass wir auch schon
> beweisen mussten, dass jede Teilmenge einer abzählbaren
> Menge auch abzählbar ist.
Eben deswegen würde es reichen, nur
$M [mm] \;\subseteq\; \bigcup_{k\in \mathbb N}A_k$
[/mm]
zu beweisen. 
> Habe ich das alles richtig verstanden?
Ich denke schon!
>
> Noch eine Frage:
>
> > insbesondere ist jede Menge [mm]A_k[/mm] als endliche Menge
> > abzählbar.
>
> Wenn ich doch die Mächtigkeit von M durch Permutation
> explizit angegeben kann, dann weiß ich doch das sie
> endlich ist und somit auch abzählbar, oder? :)
Eine Permutation ist eine Bijektion einer Menge in sich. So kannst Du
sofort eine Bijektion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] angeben, etwa $x [mm] \mapsto x-1\,.$ [/mm] Was bringt Dir
das? [mm] $\IR$ [/mm] bleibt dadurch weiterhin überabzählbar.
Was Du meinst:
Die abzählbare Vereinigung von endlichen Mengen ist abzählbar. Passt ja
auch, wie gesagt: Ich benutze "abzählbar" immer im Sinne von:
Eine Menge [mm] $M\,$ [/mm] heißt abzählbar, wenn [mm] $M=\varnothing$ [/mm] oder wenn es eine
Surjektion [mm] $\IN \to [/mm] M$ gibt. Letzteres ist (beachte $M [mm] \not=\varnothing$) [/mm] gleichwertig
damit, dass es eine Injektion $M [mm] \to \IN$ [/mm] gibt.
Kurzgesagt: Abzählbar hat bei mir die Bedeutung von "endlich oder abzählbar
unendlich"!
Gruß,
Marcel
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Hallo Boastii,
die Grundidee ist vollkommen richtig.
Du brauchst aber sicher keine Binomialkoeffizienten, um die Anzahl aller Folgen mit 5 Folgengliedern zu bestimmen. Dieser Zwischenschritt ist vollkommen unnötig.
Wenn es 5 Folgenglieder gibt und für jedes nur 2 Möglichkeiten bestehen (0 oder 1), dann sind es offensichtlich genau [mm] 2^5 [/mm] mögliche "5-stellige" Folgen.
Den Umweg über [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}=2^n [/mm] brauchst Du also gar nicht.
Ab da fehlt Dir nur eine kleine Idee, um zu einer Nummerierung Deiner Folgen zu kommen:
Spendiere jeder Folge für die Nummerierung noch eine zusätzliche 1 am Anfang (die natürlich nicht zur Folge gehört). Dann nimm die so entstandene Ziffernfolge als Binärzahl. So sind sie direkt durchnummeriert.
Das einzige Problem, bei dem man sich noch entscheiden muss, ist die "leere" Folge, die so die Nr. 1 wäre. Soll es die auch geben?
Wenn nein, musst Du Deine umgerechnete Binärzahl halt noch um 1 vermindern.
Die Folge 001011001 hat also die Nr. [mm] \blue{1}001011001_2=601_{10}, [/mm] wenn die "leere" Folge mitzählt, sonst die Nr. [mm] 600_{10}.
[/mm]
Fertig.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:33 Di 12.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Boastii,
>
> die Grundidee ist vollkommen richtig.
> Du brauchst aber sicher keine Binomialkoeffizienten, um die
> Anzahl aller Folgen mit 5 Folgengliedern zu bestimmen.
> Dieser Zwischenschritt ist vollkommen unnötig.
> Wenn es 5 Folgenglieder gibt und für jedes nur 2
> Möglichkeiten bestehen (0 oder 1), dann sind es
> offensichtlich genau [mm]2^5[/mm] mögliche "5-stellige" Folgen.
>
> Den Umweg über [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}=2^n[/mm] brauchst
> Du also gar nicht.
>
> Ab da fehlt Dir nur eine kleine Idee, um zu einer
> Nummerierung Deiner Folgen zu kommen:
> Spendiere jeder Folge für die Nummerierung noch eine
> zusätzliche 1 am Anfang (die natürlich nicht zur Folge
> gehört). Dann nimm die so entstandene Ziffernfolge als
> Binärzahl. So sind sie direkt durchnummeriert.
>
> Das einzige Problem, bei dem man sich noch entscheiden
> muss, ist die "leere" Folge, die so die Nr. 1 wäre.
was meinst Du mit "leere Folge"? Meinst Du
$000000...,$
also "Nullfolge"? Das "leer" liegt ja nur daran, dass man in Binärdarstellung
(und auch sonst) "unendlich viele aufeinanderfolgende voranstehende
0en" nicht hinschreibt.
> Soll
> es die auch geben?
> Wenn nein, musst Du Deine umgerechnete Binärzahl halt
> noch um 1 vermindern.
>
> Die Folge 001011001 hat also die Nr.
> [mm]\blue{1}001011001_2=601_{10},[/mm] wenn die "leere" Folge
> mitzählt, sonst die Nr. [mm]600_{10}.[/mm]
Dann habe ich
hier
mit der Angabe der Bijektion eigentlich das Gleiche gemacht - vielleicht 'ne
andere "Technik", aber inhaltlich, sagen wir mal: äquivalent. Oder?
Gruß,
marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:00 Di 12.11.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
> > Das einzige Problem, bei dem man sich noch entscheiden
> > muss, ist die "leere" Folge, die so die Nr. 1 wäre.
>
> was meinst Du mit "leere Folge"? Meinst Du
>
> [mm]000000...,[/mm]
>
> also "Nullfolge"? Das "leer" liegt ja nur daran, dass man
> in Binärdarstellung
> (und auch sonst) "unendlich viele aufeinanderfolgende
> voranstehende
> 0en" nicht hinschreibt.
Nein, die "leere" Folge hat die Länge 0, beinhaltet also kein Folgenglied. Das ist ja auch eine endliche Folgenlänge. Dagegen hat die Folge 0000 die Länge 4.
> > Soll
> > es die auch geben?
> > Wenn nein, musst Du Deine umgerechnete Binärzahl halt
> > noch um 1 vermindern.
> >
> > Die Folge 001011001 hat also die Nr.
> > [mm]\blue{1}001011001_2=601_{10},[/mm] wenn die "leere" Folge
> > mitzählt, sonst die Nr. [mm]600_{10}.[/mm]
>
> Dann habe ich
>
> hier
>
> mit der Angabe der Bijektion eigentlich das Gleiche gemacht
> - vielleicht 'ne
> andere "Technik", aber inhaltlich, sagen wir mal:
> äquivalent. Oder?
Hm. Jetzt wo ich das noch einmal gründlicher lese - ja, das ist genau das gleiche, nur anders ausgedrückt.
Das habe ich vorher wahrscheinlich nicht gründlich genug gelesen, sondern nur überflogen.
Die Frage ist ja (wie Du schon anmerkst), was hier überhaupt verwendet werden darf. Je nachdem, wieviel das ist, kann die Antwort ggf. entsprechend kurz ausfallen.
Je weniger schon zur Verfügung steht, desto länger wird die Antwort werden (müssen!).
Danke für den Hinweis. Ich habs mal wieder nicht so schnell durchblickt. 
Herzliche Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:17 Di 12.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Marcel,
>
> > > Das einzige Problem, bei dem man sich noch entscheiden
> > > muss, ist die "leere" Folge, die so die Nr. 1 wäre.
> >
> > was meinst Du mit "leere Folge"? Meinst Du
> >
> > [mm]000000...,[/mm]
> >
> > also "Nullfolge"? Das "leer" liegt ja nur daran, dass man
> > in Binärdarstellung
> > (und auch sonst) "unendlich viele aufeinanderfolgende
> > voranstehende
> > 0en" nicht hinschreibt.
>
> Nein, die "leere" Folge hat die Länge 0, beinhaltet also
> kein Folgenglied. Das ist ja auch eine endliche
> Folgenlänge. Dagegen hat die Folge 0000 die Länge 4.
>
> > > Soll
> > > es die auch geben?
> > > Wenn nein, musst Du Deine umgerechnete Binärzahl
> halt
> > > noch um 1 vermindern.
> > >
> > > Die Folge 001011001 hat also die Nr.
> > > [mm]\blue{1}001011001_2=601_{10},[/mm] wenn die "leere" Folge
> > > mitzählt, sonst die Nr. [mm]600_{10}.[/mm]
> >
> > Dann habe ich
> >
> > hier
> >
> > mit der Angabe der Bijektion eigentlich das Gleiche gemacht
> > - vielleicht 'ne
> > andere "Technik", aber inhaltlich, sagen wir mal:
> > äquivalent. Oder?
>
> Hm. Jetzt wo ich das noch einmal gründlicher lese - ja,
> das ist genau das gleiche, nur anders ausgedrückt.
> Das habe ich vorher wahrscheinlich nicht gründlich genug
> gelesen, sondern nur überflogen.
ne, wir haben parallel geantwortet (ich glaube, Du warst schon am Schreiben,
als ich mit der Antwort da anfing) - zu dem Zeitpunkt konntest Du das
vermutlich noch gar nicht lesen.
Ich wollte mich nur vergewissern, dass ich das Deinige hier richtig verstanden
habe und wir da eigentlich im Wesentlichen das Gleiche machen!
Allerdings stimmt: Ich habe die Menge aller endlichen Folgen ein wenig
anders aufgefasst, was erstmal künstlich ist:
Für mich ist eine endliche Folge nur eine, die nur an endlich vielen Stellen
Werte ungleich 0 annimmt; aber so eine Folge ist immer auf [mm] $\IN$ [/mm] definiert.
Manche definieren das auch tatsächlich so (glaube ich), aber es ist nicht
ganz so natürlich (auch, wenn man beweisen kann, dass das "im Wesentlichen"
keinen Unterschied zu der Deinigen Definition ausmacht)...
Das hat Boasti wahrscheinlich verwirrt, hatte ich ganz übersehen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Di 12.11.2013 | | Autor: | Boastii |
Hey Marcel und Reverend,
danke für Eure Mühe soweit.
Ich werde jetzt erst mal die surjektive, injektive und bijektive Abbildung im Skript und evt. im Buch wiederholen um Euch dann zu antworten. Ich denke ich habe es nicht ganz verstanden.
Liebe Grüße Boastii.
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