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Hallo Zusammen,
Ich hätte eine Frage zur Definition eines Randes.
Im Folgenden Sei [mm](X,d)\![/mm] mit [mm]M\subset X[/mm] ein metrischer Raum.
Menge der Berührpunkte:
[mm]\overline{M}:=\left\{x\in X:\forall\epsilon > 0:U_{\epsilon}(x)\cap M\ne\emptyset\right\}.[/mm]
der Rand:
[mm]\partial M := \overline{M}\cap\overline{X\setminus M}.[/mm]
Angenommen der blaue Kasten sei die Menge [mm]X\![/mm] und [mm]M\![/mm] sei der grüne Kreis:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann wäre doch die nachfolgende grüne Fläche [mm]\overline{M}[/mm], richtig?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und die nachfolgende blaue Fläche wäre [mm]\overline{X\setminus M}[/mm], stimmt das so?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn ja, müßte das Folgende [mm]\partial M[/mm] sein.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wieso definiert man dann eigentlich nicht [mm]\partial M := \overline{M}\cap M[/mm]?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank für eure Hilfe!
Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 5 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hi,
> Hallo Zusammen,
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> Ich hätte eine Frage zur Definition eines Randes.
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> Im Folgenden Sei [mm](X,d)\![/mm] mit [mm]M\subset X[/mm] ein metrischer
> Raum.
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> Menge der Berührpunkte:
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> [mm]\overline{M}:=\left\{x\in X:\forall\epsilon > 0:U_{\epsilon}(x)\cap M\ne\emptyset\right\}.[/mm]
>
oder auch abschluss der menge genannt...
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> der Rand:
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> [mm]\partial M := \overline{M}\cap\overline{X\setminus M}.[/mm]
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> Angenommen der blaue Kasten sei die Menge [mm]X\![/mm] und [mm]M\![/mm] sei
> der grüne Kreis:
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Dann wäre doch die nachfolgende grüne Fläche [mm]\overline{M}[/mm],
> richtig?
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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kannst du uns sagen, wie du darauf kommst?? der abschluss der menge sollte im wesentlichen so aussehen wie die menge selbst, nur inklusive des randes...
gruss
matthias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:04 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Karl,
> Hallo Zusammen,
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> Ich hätte eine Frage zur Definition eines Randes.
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> Im Folgenden Sei [mm](X,d)\![/mm] mit [mm]M\subset X[/mm] ein metrischer
> Raum.
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> Menge der Berührpunkte:
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> [mm]\overline{M}:=\left\{x\in X:\forall\epsilon > 0:U_{\epsilon}(x)\cap M\ne\emptyset\right\}.[/mm]
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>
> der Rand:
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> [mm]\partial M := \overline{M}\cap\overline{X\setminus M}.[/mm]
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> Angenommen der blaue Kasten sei die Menge [mm]X\![/mm] und [mm]M\![/mm] sei
> der grüne Kreis:
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Dann wäre doch die nachfolgende grüne Fläche [mm]\overline{M}[/mm],
> richtig?
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Und die nachfolgende blaue Fläche wäre [mm]\overline{X\setminus M}[/mm],
> stimmt das so?
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Wenn ja, müßte das Folgende [mm]\partial M[/mm] sein.
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Wieso definiert man dann eigentlich nicht [mm]\partial M := \overline{M}\cap M[/mm]?
Ich hoffe mal, Du meinst
(I) [mm] $\partial M:=\overline{M} \setminus M^o$? [/mm] Denn bei "Deiner Definition" hat man ja schon das Problem, dass
[mm] $M^o \subset \overline{M} \cap [/mm] M$ gilt...
Die erste obenstehende Definition macht man meist in topologischen Räumen so. Die Version (I) kann man aber auch hernehmen:
Das ganze ist dann mehr oder weniger Geschmackssache, da die beiden Definitionen für den Rand möglich sind, sprich, sie sind äquivalent.
(Das sollte man aber beweisen, denn das ist keineswegs banal. Der Beweis dazu ist aber nun auch nicht besonders schwer...)
Jedenfalls sind beide Definitionen möglich, da äquivalent (in metrischen Räumen mit Sicherheit, in topologischen Räumen sollte das auch korrekt sein. Das kann man sicher auf maximal einer halben Seite beweisen).
Deinen Bildern kann ich übrigens auch nicht folgen. Wir können aber mal den offenen Einheitskreis im [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der von der euklidischen Norm herkommenden Metrik betrachten, also
[mm] $U_1((0,0)):=U:=\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2} < 1\}$
[/mm]
Hier ist einfach [mm] $\partial U=\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2}=1\}$
[/mm]
(Kannst Du das einmal beweisen mit:
1.) [mm] $\partial U=\overline{U} \setminus U^o$? [/mm] (Kurz, also einfach nur mit Angabe von [mm] $\overline{U}$ [/mm] und [mm] $U^o$)
[/mm]
2.) [mm] $\partial [/mm] U [mm] =\overline{U}\cap\overline{\IR^2\setminus U}$. [/mm] Hier brauchst Du also nur mal angeben, was [mm] $\overline{\IR^2\setminus U}$ [/mm] ist.)
Und jetzt vergleiche das mal mit Deinen Bildern.
Wenn Du übrigens irgendeine Teilmenge von [mm] $\partial [/mm] U$ oben zu $U$ hinzunimmst, nennen wir diese neue Menge mal $U'$, und berechnest dann von dieser neuen Menge den Rand, so kommt auch [mm] $\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2}=1\}$ [/mm] heraus, also dann ist [mm] $\partial U'=\partial [/mm] U$
Du kannst auch hier mal in Kapitel 9 (insbesondere Definition 9.9) ein wenig rumstöbern:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
P.S.:
Sorry für die vielen Edits, ist schon zu spät, und irgendwie habe ich da dauernd etwas anderes gelesen, als das, was da wirklich steht. Z.B. irgendwo mal ein Komplement, was gar nicht da steht... Ist wohl schon zu spät, hoffe, jetzt steht kein Unsinn meinerseits mehr da 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Do 24.04.2008 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Marcel und Matthias,
Sorry, daß ich mich so spät melde! ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
> (Kannst Du das einmal beweisen mit:
> 1.) [mm]\partial U=\overline{U} \setminus U^o[/mm]? (Kurz, also
> einfach nur mit Angabe von [mm]\overline{U}[/mm] und [mm]U^o[/mm])
[mm]\overline{U} = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\forall\epsilon > 0:U_{\epsilon}((x,y))\cap U\ne\emptyset\right\}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\sqrt{x^2+y^2}\le 1\right\}[/mm]
[mm]U^{\circ} = U[/mm]
[mm]\Rightarrow \overline{U}\setminus U = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\sqrt{x^2+y^2}=1\right\}[/mm]
> 2.) [mm]\partial U =\overline{U}\cap\overline{\IR^2\setminus U}[/mm].
> Hier brauchst Du also nur mal angeben, was
> [mm]\overline{\IR^2\setminus U}[/mm] ist.)
[mm]\overline{\mathbb{R}^2\setminus U}=\mathbb{R}^2\setminus U[/mm]
> Und jetzt vergleiche das mal mit Deinen Bildern.
Ja, ich sehe ein, die Bilder waren wohl nicht so toll. Ich habe bei den Bildern das Schnittzeichen '[mm]\cap[/mm]' nicht beachtet.
Liebe Grüße
Karl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:34 Do 24.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Karl,
> Hallo Marcel und Matthias,
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> Sorry, daß ich mich so spät melde!
das finde ich nicht schlimm, im Internet spielt ja Zeit keine Rolle (es sei denn, jemand braucht etwas dringend, aber Du brauchtest ja eine Antwort, nicht ich ).
> > (Kannst Du das einmal beweisen mit:
> > 1.) [mm]\partial U=\overline{U} \setminus U^o[/mm]? (Kurz, also
> > einfach nur mit Angabe von [mm]\overline{U}[/mm] und [mm]U^o[/mm])
>
>
> [mm]\overline{U} = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\forall\epsilon > 0:U_{\epsilon}((x,y))\cap U\ne\emptyset\right\}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\sqrt{x^2+y^2}\le 1\right\}[/mm]
>
> [mm]U^{\circ} = U[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \overline{U}\setminus U = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\sqrt{x^2+y^2}=1\right\}[/mm]
>
>
> > 2.) [mm]\partial U =\overline{U}\cap\overline{\IR^2\setminus U}[/mm].
> > Hier brauchst Du also nur mal angeben, was
> > [mm]\overline{\IR^2\setminus U}[/mm] ist.)
>
>
> [mm]\overline{\mathbb{R}^2\setminus U}=\mathbb{R}^2\setminus U[/mm]
>
>
> > Und jetzt vergleiche das mal mit Deinen Bildern.
>
>
> Ja, ich sehe ein, die Bilder waren wohl nicht so toll. Ich
> habe bei den Bildern das Schnittzeichen '[mm]\cap[/mm]' nicht
> beachtet.
Okay. Abgesehen von den Bildchen sieht's gut aus
Gruß,
Marcel
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