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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:06 So 29.04.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Zeige, dass [mm] GL_n (\IR) [/mm] dicht in [mm] M_{n \times n} (\IR) [/mm] = [mm] \IR^n^2 [/mm] liegt
Betrachte dazu die Familie von Matrizen A-t, [mm] t\in \IR, [/mm] und zeige, dass es beliebig kleine t gibt für die A-t invertierbar ist |
[mm] GL_n (\IR) [/mm] = [mm] \{ A \in M{n \times n} (\IR) | det(A) \not= 0 \}
[/mm]
Determinante ist ein Polynom in [mm] n^2 [/mm] Unbekannten.
[mm] GL_n (\IR) [/mm] dicht in [mm] M_{n \times n} (\IR) [/mm] heißt: In jeder Umgebung einer Matrix A [mm] \in M_{n\times n} (\IK) [/mm] gibt es invertierbare Matrizen.
[mm] \forall \epsilon>0 [/mm] und A [mm] \in [/mm] M{n [mm] \times [/mm] n} und B [mm] \in GL_n (\IR) [/mm] mit |A-B| < [mm] \epsilon
[/mm]
über betrag von matrizen weiß ich noch nichts!!
??Mit dem Hinweis kann ich nicht viel anfangen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 So 29.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass [mm]GL_n (\IR)[/mm] dicht in [mm]M_{n \times n} (\IR)[/mm] =
> [mm]\IR^n^2[/mm] liegt
> Betrachte dazu die Familie von Matrizen A-t, [mm]t\in \IR,[/mm] und
> zeige, dass es beliebig kleine t gibt für die A-t
> invertierbar ist
> [mm]GL_n (\IR)[/mm] = [mm]\{ A \in M{n \times n} (\IR) | det(A) \not= 0 \}[/mm]
>
> Determinante ist ein Polynom in [mm]n^2[/mm] Unbekannten.
>
> [mm]GL_n (\IR)[/mm] dicht in [mm]M_{n \times n} (\IR)[/mm] heißt: In jeder
> Umgebung einer Matrix A [mm]\in M_{n\times n} (\IK)[/mm] gibt es
> invertierbare Matrizen.
Genau.
Ist A invertierbar, so bist Du fertig.
Sei also A nicht invertierbar. Da A nur endlich viele Eigenwerte hat, ist A-tE ivertierbar für t [mm] \ne [/mm] 0 und |t| hinreichend klein.
> [mm]\forall \epsilon>0[/mm] und A [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M{n [mm]\times[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n} und B [mm]\in GL_n (\IR)[/mm]
> mit |A-B| < [mm]\epsilon[/mm]
> über betrag von matrizen weiß ich noch nichts!!
Für B=A-tE ist |A-B|=|t|
FRED
>
> ??Mit dem Hinweis kann ich nicht viel anfangen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:03 So 29.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Danke ist erledigt ;))
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 01.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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