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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Do 08.12.2011 | | Autor: | aco92 |
| Aufgabe | Skizzieren Sie den durch die Ungleichung
[mm] |\bruch{z-8}{2z-1}| \le [/mm] 2 für z ∈ [mm] \IC [/mm] angegebenen
Bereich in der Gaußschen Zahlenebene |
Hi,
komme bei dieser Menge nicht weiter.
Habe versucht für z (x+iy) einzusetzen und das umzuformen:
[mm] |\bruch{x-8 + iy}{2x-1 + 2iy}| \le [/mm] 2
= [mm] \bruch{\wurzel{(x-8)^2+y^2}}{\wurzel{(2x-1)^2+(2y)^2}} \le [/mm] 2
= [mm] \bruch{(x-8)^2+y^2}{(2x-1)^2+(2y)^2} \le2
[/mm]
Das kleinergleichzeichen dreht sich nicht um, da der bruch ja durch die quadrate positiv sein muss?
= [mm] \bruch{x^2-16x+64+y^2}{4x^2-4x+1+4y^2} \le [/mm] 4
= [mm] x^2-16x+64+y^2 \le 4(4x^2-4x+1+4y^2)
[/mm]
= [mm] x^2-16x+64+y^2 \le 16x^2 [/mm] -16x + 4 [mm] +16y^2
[/mm]
= [mm] -15x^2 [/mm] + 60 [mm] \le 15y^2
[/mm]
= [mm] -x^2 [/mm] +4 [mm] \le y^2
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter, da ich die Wurzel ja nur für [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 und [mm] -2\le [/mm] x < 0 ziehen darf. Andernfalls wird der linke Term ja negativ.
Wie komme ich jetzt weiter? War mein vorgehen zum bestimmen der zu skizzierenden Menge grundsätzlich richtig?
mfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Do 08.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo aco92,
> Skizzieren Sie den durch die Ungleichung
> [mm] |\bruch{z-8}{2z-1}| \le[/mm] 2 für z ∈ [mm]\IC[/mm] angegebenen
> Bereich in der Gaußschen Zahlenebene
> Hi,
> komme bei dieser Menge nicht weiter.
> Habe versucht für z (x+iy) einzusetzen und das
> umzuformen:
>
> [mm]|\bruch{x-8 + iy}{2x-1 + 2iy}| \le[/mm] 2
>
> = [mm]\bruch{\wurzel{(x-8)^2+y^2}}{\wurzel{(2x-1)^2+(2y)^2}} \le[/mm]
> 2
>
> = [mm]\bruch{(x-8)^2+y^2}{(2x-1)^2+(2y)^2} \le2[/mm]
>
> Das kleinergleichzeichen dreht sich nicht um, da der bruch
> ja durch die quadrate positiv sein muss?
>
> = [mm]\bruch{x^2-16x+64+y^2}{4x^2-4x+1+4y^2} \le[/mm] 4
>
> = [mm]x^2-16x+64+y^2 \le 4(4x^2-4x+1+4y^2)[/mm]
>
> = [mm]x^2-16x+64+y^2 \le 16x^2[/mm] -16x + 4 [mm]+16y^2[/mm]
>
> = [mm]-15x^2[/mm] + 60 [mm]\le 15y^2[/mm]
>
> = [mm]-x^2[/mm] +4 [mm]\le y^2[/mm]
Soweit, so gut.
> Hier komme ich nicht weiter, da ich die Wurzel ja nur für
> [mm]0\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2 und [mm]-2\le[/mm] x < 0 ziehen darf. Andernfalls wird
> der linke Term ja negativ.
Du musst hier ja nicht unbedingt die Wurzel ziehen.
> Wie komme ich jetzt weiter? War mein vorgehen zum bestimmen
> der zu skizzierenden Menge grundsätzlich richtig?
Wenn du deine letzte Gleichung ein wenig umformst, steht da
[mm]x^2+y^2\ge 4[/mm]
und das sollte dir bekannt vorkommen!
Welche Punkte [mm](x|y)[/mm] erfüllen denn [mm]x^2+y^2=4=2^2[/mm]? Und welche Punkte erfüllen [mm]x^2+y^2\ge2^2[/mm]?
Du bist kurz vor'm Ziel!
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Do 08.12.2011 | | Autor: | aco92 |
Danke für die Antwort!
Jetzt seh ich's auch. Ist ja die Formel für den Kreis mit Radius 2 um den Ursprung. Also liegt die gesuchte Menge außerhalb der Kreisfläche.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Genau! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Du musst dir aber noch Gedanken machen, ob der Rand des Kreises dazugehört oder nicht)
Lieben Gruß,
Fulla
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