Menge mit Vektoren ergänzen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] E_{5} [/mm] = [mm] \{\vec{e}_{1},...,\vec{e}_{5}\} [/mm] die kanonische Basis des [mm] \IR^{5} [/mm] und
[mm] \vec{b}_{1} [/mm] = [mm] \vec{e}_{2}, [/mm]
[mm] \vec{b}_{2} [/mm] = [mm] \vec{e}_{1} [/mm] + [mm] \vec{e}_{5}, [/mm]
[mm] \vec{b}_{3} [/mm] = [mm] \vec{e}_{1} [/mm] + [mm] \vec{e}_{2} [/mm] + [mm] \vec{e}_{3}.
[/mm]
Ergänzen Sie $B = [mm] \{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\}$ [/mm] mit Vektoren aus [mm] E_{5} [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^{5} [/mm] und begründen Sie Ihren Vorschlag. |
Hallo ich brauche wieder mal eure Hilfe.
Und zwar weiß ich nicht genau was ich machen soll. Ich soll die Menge B mit Vektoren ergänzen, was ist damit gemeint? Ich könnte diese Menge doch theoretisch mit den Vektoren [mm] \vec{e}_{1}, \vec{e}_{3}, \vec{e}_{4} [/mm] und [mm] \vec{e}_{5} [/mm] ergänzen da diese in [mm] E_{5} [/mm] enthalten sind oder?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Mi 09.03.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Es sei [mm]E_{5}[/mm] = [mm]\{\vec{e}_{1},...,\vec{e}_{5}\}[/mm] die
> kanonische Basis des [mm]\IR^{5}[/mm] und
> [mm]\vec{b}_{1}[/mm] = [mm]\vec{e}_{2},[/mm]
> [mm]\vec{b}_{2}[/mm] = [mm]\vec{e}_{1}[/mm] + [mm]\vec{e}_{5},[/mm]
> [mm]\vec{b}_{3}[/mm] = [mm]\vec{e}_{1}[/mm] + [mm]\vec{e}_{2}[/mm] + [mm]\vec{e}_{3}.[/mm]
>
> Ergänzen Sie [mm]B = \{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\}[/mm]
> mit Vektoren aus [mm]E_{5}[/mm] zu einer Basis des [mm]\IR^{5}[/mm] und
> begründen Sie Ihren Vorschlag.
> Hallo ich brauche wieder mal eure Hilfe.
>
> Und zwar weiß ich nicht genau was ich machen soll. Ich
> soll die Menge B mit Vektoren ergänzen, was ist damit
> gemeint?
weißt du denn schon, wie die oben genannten Vektoren aussehen?
[mm] E_5 [/mm] sei die kanonische Basis des [mm] \IR^5. [/mm] D.h.:
[mm] e_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\\ 0}, e_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\\ 0}, ...,e_5=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\\ 1}
[/mm]
Wie siehen dann [mm] b_1,b_2 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] aus?
Jetzt sollst du B ergänzen mit Vektoren aus [mm] E_5, [/mm] sodass B auch eine Basis des [mm] \IR^5 [/mm] ist.
Du musst dann zwei Vektoren aus [mm] E_5 [/mm] finden, sodass diese 2 Vektoren, [mm] b_1,b_2 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] paarweise linear unabhängig sind.
> Ich könnte diese Menge doch theoretisch mit den
> Vektoren [mm]\vec{e}_{1}, \vec{e}_{3}, \vec{e}_{4}[/mm] und
> [mm]\vec{e}_{5}[/mm] ergänzen da diese in [mm]E_{5}[/mm] enthalten sind
> oder?
Du hast schon richtig erkannt, dass es [mm] e_2 [/mm] nicht sein kann. Du musst jetzt aus diesen verbleibenden Vektoren 2 finden, die B zu einer Basis von [mm] \IR^5 [/mm] ergänzen. B mit allen 4 zu ergänzen geht nicht, weil dies dann keine Basis mehr ist!
Gruß
barsch
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Danke für deine Antwort.
Also die drei Vektoren sehen so aus:
$ [mm] \vec{b}_1=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\\ 0}, \vec{b}_2=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\\ 1}, \vec{b}_3=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\\ 0} [/mm] $
Im Moment hat B die Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] oder?
Kann es sein, dass ich B mit [mm] e_4 [/mm] und mit [mm] (e_1 [/mm] ODER [mm] e_3 [/mm] ODER [mm] e_5) [/mm] ergänzen muss um lineare Unabhängigkeit zu erzielen?
Wieso müssen die Vektoren eigentlich linear unabhängig sein?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Danke für deine Antwort.
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> Also die drei Vektoren sehen so aus:
> [mm]\vec{b}_1=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\\ 0}, \vec{b}_2=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\\ 1}, \vec{b}_3=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\\ 0}[/mm]
>
> Im Moment hat B die Basis des [mm]\IR^{3}[/mm] oder?
>
> Kann es sein, dass ich B mit [mm]e_4[/mm] und mit [mm](e_1[/mm] ODER [mm]e_3[/mm] ODER
> [mm]e_5)[/mm] ergänzen muss um lineare Unabhängigkeit zu
> erzielen?
Ja, das ist so.
>
> Wieso müssen die Vektoren eigentlich linear unabhängig
> sein?
Damit aus den Vektoren eine Basis gebildet werden kann.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Klasse, danke!
Ich möchte nochmal sicher gehn.
Ich muss [mm] e_4 [/mm] als Vektor dazunehmen und kann entweder [mm] e_1, e_3 [/mm] oder [mm] e_5 [/mm] auch noch dazunehmen, wobei bei den letzteren egal ist, welchen davon ich nehme?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Klasse, danke!
>
> Ich möchte nochmal sicher gehn.
>
> Ich muss [mm]e_4[/mm] als Vektor dazunehmen und kann entweder [mm]e_1, e_3[/mm]
> oder [mm]e_5[/mm] auch noch dazunehmen, wobei bei den letzteren egal
> ist, welchen davon ich nehme?
Ja.
Setzt Du den letzten Vektor an mit
[mm]b_{5}=\alpha*e_{1}+\beta*e_{2}+\gamma*e_{3}+\delta*e_{4}+\epsilon*e_{5}[/mm]
[mm]b_{4}[/mm] ist gleich [mm]e_{4}[/mm]
Bildest Du dann die Determinante von
[mm]\left(b_{1}, \ b_{2}, \ b_{3}, \ b_{4}, \ b_{5}\right)[/mm]
So kommst Du zwangsläufig auf die Bedingung
[mm]\alpha-\gamma-\epsilon \not=0[/mm]
Somit kannst Du jeden Vektor nehmen, der diese Bedingung erfüllt.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Nun ist alles klar, Danke!!
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