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Menge offen abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Do 24.01.2019
Autor: rubi

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage:
Betrachte die Menge M = [mm] \IR^{-} [/mm] aller negativen reellen Zahlen.
Scheinbar ist die Menge A = [-1 ; 0) bzgl. dieser Menge M abgeschlossen.

Begründung: Das Komplement M \ A = [mm] (-\infty [/mm] ; -1) ist offen.
Ist dies so richtig ?

Falls ja verstehe ich folgendes nicht:
Abgeschlossenheit von A bedeutet, dass eine Folge in A auch den Grenzwert in A besitzt.
Bei [mm] a_n [/mm] = -1/n wäre die Folge in A, aber der Grenzwert 0 nicht mehr.

Wie passt dieser Widerspruch zusammen ?

Danke für eure Antworten.

Viele Grüße
Rubi

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Menge offen abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Do 24.01.2019
Autor: Gonozal_IX

Hallo rubi,

vorweg: Schöne Frage und schönes Beispiel, wieso sauberes Aufschreiben so wichtig ist :-)

> ich habe eine Frage:
>  Betrachte die Menge M = [mm]\IR^{-}[/mm] aller negativen reellen
> Zahlen.
> Scheinbar ist die Menge A = [-1 ; 0) bzgl. dieser Menge M
> abgeschlossen.

Nicht nur scheinbar.

> Begründung: Das Komplement M \ A = [mm](-\infty[/mm] ; -1) ist
> offen.
>  Ist dies so richtig ?

Jap.


> Falls ja verstehe ich folgendes nicht:
> Abgeschlossenheit von A bedeutet, dass eine Folge in A auch
> den Grenzwert in A besitzt.

Und hier ist dein "Problem".
Bitte schreibe das mal nicht so lapidar hin, sondern formuliere den Satz bitte sauber aus.
z.B. muss es mindestens heißen: "dass eine konvergente Folge […]"

> Bei [mm]a_n[/mm] = -1/n wäre die Folge in A, aber der Grenzwert 0 nicht mehr.

Und dann wirst du sehen, dass dein Beispiel keines ist, deine Folge konvergiert nämlich gar nicht in [mm] $\IR^-$. [/mm] Warum nicht?

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Menge offen abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Do 24.01.2019
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>
> ich habe eine Frage:
>  Betrachte die Menge M = [mm]\IR^{-}[/mm] aller negativen reellen
> Zahlen.
> Scheinbar ist die Menge A = [-1 ; 0) bzgl. dieser Menge M
> abgeschlossen.
>
> Begründung: Das Komplement M \ A = [mm](-\infty[/mm] ; -1) ist
> offen.
>  Ist dies so richtig ?
>
> Falls ja verstehe ich folgendes nicht:
> Abgeschlossenheit von A bedeutet, dass eine Folge in A auch
> den Grenzwert in A besitzt.
> Bei [mm]a_n[/mm] = -1/n wäre die Folge in A, aber der Grenzwert 0
> nicht mehr.
>
> Wie passt dieser Widerspruch zusammen ?
>  
> Danke für eure Antworten.
>

A ist abgeschlossen bzgl. M, also in der Spurtopologie auf M.

A ist aber in [mm] \IR [/mm] nicht  abgeschlossen.


> Viele Grüße
>  Rubi
>  
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.  


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