matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionalanalysisMenge relativ kompakt
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Funktionalanalysis" - Menge relativ kompakt
Menge relativ kompakt < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Menge relativ kompakt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Mi 09.05.2018
Autor: Noya

Aufgabe
Ist die Menge [mm] \{sin(nx) : n \in \IN\}\subseteq C([-\pi,\pi]) [/mm] relativ kompakt bezüglich der Supremumsnorm?

Hallo ihr Lieben :-)
vorab unsere Defintionen/Sätze, die hier meiner Meinung nach hilfreich sein könnten.

Satz Arzela-Ascoli (allgemeine Version):
Sei (K,d) ein kompakter metrischer Raum und sei (X,d) ein vollständiger metrischer Raum. Weiter sei A [mm] \subset [/mm] C(K,X). Dann ist A genau dann relativ kompakt, wenn gilt
(i) Für alle k [mm] \in [/mm] K ist A(k) [mm] :=\{f(k)|f \in A\} [/mm] relativ kompakt in X.
(ii) A ist gleichgradig stetig auf A, [mm] d.h.\forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 :|f(x)-f(y)|< [mm] \epsilon [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] K mit d(x,y) < [mm] \delta [/mm] für alle f [mm] \in [/mm] A.


Definition:
Sei (M,d) ein metrischer Raum.
(i) A $ [mm] \subset [/mm] $ M heißt kompakt, wenn jedes System offener Mengen, das A überdeckt, eine endliche Teilüberdeckung enthält.
(ii) $ [mm] A\subset [/mm] $ M heißt relativ kompakt, wenn $ [mm] \overline{A} [/mm] $ kompakt ist.
(iii)  $ [mm] A\subset [/mm] $ M heißt prkompakt, wenn es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 endlich viele offene Kugeln vom Radius [mm] \epsilon [/mm] gibt, die A überdecken.

Satz:
(M,d) vollständ. metr. Raum.  $ [mm] A\subset [/mm] $ M :
A rel. kompakt [mm] \gdw [/mm] A präkompakt


Wir wissen aus unserem Skript ebenfalls, dass [mm] C([a,b],\parallel \cdot \parallel_{\infty} [/mm] vollstädniger metrischer Raum ist.
und das das Intervall [a,b] kompakt ist:
Also in Anlehnung der Notation von Ascoli-Arzela :
[mm] A=\{sin(nx) : n \in \IN\}\subseteq C([-\pi,\pi]) [/mm]
jetzt muss ich überprüfen:
a) für alle x [mm] \in [-\pi,\pi] A(x)=\{f_n(x)=sin(nx) : n \in \IN \} [/mm] relativ kompakt in [mm] C([-\pi,\pi]) [/mm]
und
b) A ist gleichgradig stetig auf A, [mm] d.h.\forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 :|f(x)-f(y)|< [mm] \epsilon [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] K mit d(x,y) < [mm] \delta [/mm] für alle f [mm] \in [/mm] A.

oder sollte ich lieber auf die "klassische Version" von Ascoli-Arzela zurückgreifen? also auf:
Sei (K,d) ein kompakter metrischer Raum und sei [mm] A\subset [/mm] C(K), wobei C(K) wie üblich mit der Supremumsnorm versehen wird. Dann ist A genau dann relativ kompakt, wenn gilt
(i) A ist punktweise beschränkt, d.h.
für alle x [mm] \in [/mm] K [mm] \exists [/mm] c>0 : [mm] :|f(x)|\le [/mm] c füur alle f [mm] \in [/mm] A.
(ii) A ist gleichgradig stetig auf K, d.h.
[mm] \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 [/mm] :|f(x)-f(y)|< [mm] \epsilon [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] K mit d(x,y) < [mm] \delta [/mm] und alle f [mm] \in [/mm] A.



wobei [mm] K=[-\pi,\pi] [/mm] , [mm] C(K)=C([-\pi,\pi]) [/mm] und [mm] A=\{f_n(x)=sin(nx) : n \in \IN\}\subseteq C([-\pi,\pi]) [/mm]
dann ist ja klar, dass für alle x [mm] \in [/mm] K, c>0:  [mm] |f_n(x)|=|sin(nx)|\le [/mm] 1 ist für alle f [mm] \in [/mm] A.
und zweitens :
[mm] |f(x)-f(y)|=|sin(nx)-sin(ny)|\le sup_{x \in [-\pi,\pi]} [/mm] |f'x|[nx-ny| [mm] \le n^2|x-y| \le n^2 \delta [/mm]  
und jetzt müsste ich zeigen, dass [mm] n^2 \delta [/mm] < [mm] \epsilon. [/mm] aber da wüsste ich nicht weiter.
Wäre jemand so lieb und würde mir bei der Aufgabe behilflich sein?

Liebe grüße und vielen dank
Noya                                            


        
Bezug
Menge relativ kompakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 Mi 09.05.2018
Autor: fred97


> Ist die Menge [mm]\{sin(nx) : n \in \IN\}\subseteq C([-\pi,\pi])[/mm]
> relativ kompakt bezüglich der Supremumsnorm?
>  Hallo ihr Lieben :-)
>  vorab unsere Defintionen/Sätze, die hier meiner Meinung
> nach hilfreich sein könnten.
>  
> Satz Arzela-Ascoli (allgemeine Version):
> Sei (K,d) ein kompakter metrischer Raum und sei (X,d) ein
> vollständiger metrischer Raum. Weiter sei A [mm]\subset[/mm]
> C(K,X). Dann ist A genau dann relativ kompakt, wenn gilt
> (i) Für alle k [mm]\in[/mm] K ist A(k) [mm]:=\{f(k)|f \in A\}[/mm] relativ
> kompakt in X.
> (ii) A ist gleichgradig stetig auf A, [mm]d.h.\forall \epsilon[/mm]
> >0 [mm]\exists \delta[/mm] >0 :|f(x)-f(y)|< [mm]\epsilon[/mm] für alle x,y
> [mm]\in[/mm] K mit d(x,y) < [mm]\delta[/mm] für alle f [mm]\in[/mm] A.
>
>
> Definition:
> Sei (M,d) ein metrischer Raum.
> (i) A [mm]\subset[/mm] M heißt kompakt, wenn jedes System offener
> Mengen, das A überdeckt, eine endliche Teilüberdeckung
> enthält.
> (ii) [mm]A\subset[/mm] M heißt relativ kompakt, wenn [mm]\overline{A}[/mm]
> kompakt ist.
> (iii)  [mm]A\subset[/mm] M heißt prkompakt, wenn es zu jedem
> [mm]\epsilon[/mm] >0 endlich viele offene Kugeln vom Radius [mm]\epsilon[/mm]
> gibt, die A überdecken.
>
> Satz:
> (M,d) vollständ. metr. Raum.  [mm]A\subset[/mm] M :
> A rel. kompakt [mm]\gdw[/mm] A präkompakt
>  
> Wir wissen aus unserem Skript ebenfalls, dass
> [mm]C([a,b],\parallel \cdot \parallel_{\infty}[/mm] vollstädniger
> metrischer Raum ist.
>  und das das Intervall [a,b] kompakt ist:
>  Also in Anlehnung der Notation von Ascoli-Arzela :
>  [mm]A=\{sin(nx) : n \in \IN\}\subseteq C([-\pi,\pi])[/mm]
>  jetzt
> muss ich überprüfen:
>  a) für alle x [mm]\in [-\pi,\pi] A(x)=\{f_n(x)=sin(nx) : n \in \IN \}[/mm]
> relativ kompakt in [mm]C([-\pi,\pi])[/mm]
>  und
>  b) A ist gleichgradig stetig auf A, [mm]d.h.\forall \epsilon[/mm]
> >0 [mm]\exists \delta[/mm] >0 :|f(x)-f(y)|< [mm]\epsilon[/mm] für alle x,y
> [mm]\in[/mm] K mit d(x,y) < [mm]\delta[/mm] für alle f [mm]\in[/mm] A.
>  
> oder sollte ich lieber auf die "klassische Version" von
> Ascoli-Arzela zurückgreifen? also auf:
>  Sei (K,d) ein kompakter metrischer Raum und sei [mm]A\subset[/mm]
> C(K), wobei C(K) wie üblich mit der Supremumsnorm versehen
> wird. Dann ist A genau dann relativ kompakt, wenn gilt
> (i) A ist punktweise beschränkt, d.h.
> für alle x [mm]\in[/mm] K [mm]\exists[/mm] c>0 : [mm]:|f(x)|\le[/mm] c füur alle f
> [mm]\in[/mm] A.
> (ii) A ist gleichgradig stetig auf K, d.h.
>   [mm]\forall \epsilon>0 \exists \delta>0[/mm] :|f(x)-f(y)|<
> [mm]\epsilon[/mm] für alle x,y [mm]\in[/mm] K mit d(x,y) < [mm]\delta[/mm] und alle f
> [mm]\in[/mm] A.
>  
>
> wobei [mm]K=[-\pi,\pi][/mm] , [mm]C(K)=C([-\pi,\pi])[/mm] und
> [mm]A=\{f_n(x)=sin(nx) : n \in \IN\}\subseteq C([-\pi,\pi])[/mm]
> dann ist ja klar, dass für alle x [mm]\in[/mm] K, c>0:  
> [mm]|f_n(x)|=|sin(nx)|\le[/mm] 1 ist für alle f [mm]\in[/mm] A.
>  und zweitens :
>  [mm]|f(x)-f(y)|=|sin(nx)-sin(ny)|\le sup_{x \in [-\pi,\pi]}[/mm]
> |f'x|[nx-ny| [mm]\le n^2|x-y| \le n^2 \delta[/mm]  
> und jetzt müsste ich zeigen, dass [mm]n^2 \delta[/mm] < [mm]\epsilon.[/mm]
> aber da wüsste ich nicht weiter.

Ich auch nicht. Aber obiges deutet darauf hin, dass

[mm]A=\{sin(nx) : n \in \IN\}[/mm] nicht gleichgradig stetig ist. Das kannst Du so einsehen. Nimm an, A wäre gleichgradig stetig. Dann gibt es zu [mm] $\varepsilon=1/2$ [/mm] ein [mm] \delta [/mm] >0 mit


(*) $| [mm] \sin [/mm] (nx)- [mm] \sin [/mm] (ny)|< 1/2$  für alle $x,y [mm] \in [/mm] [- [mm] \pi, \pi]$ [/mm] mit |x-y|< [mm] \delta [/mm] und alle n [mm] \in \IN. [/mm]

Nun wähle $n [mm] \in \IN$ [/mm] so groß, dass [mm] \frac{\pi}{2n}< \delta [/mm] ausfällt.

Damit setze [mm] x=\frac{\pi}{2n} [/mm] und y=0.

Dann ist [mm] |x-y|=x=\frac{\pi}{2n}< \delta. [/mm] Nach (*) ist dann $| [mm] \sin [/mm] (nx)- [mm] \sin [/mm] (ny)|< 1/2$ .

Nun ist aber $| [mm] \sin [/mm] (nx)- [mm] \sin [/mm] (ny)|=1> 1/2$ .

Dieser Widerspruch zeigt das Gewünschte.


>  Wäre jemand so lieb und würde mir bei der Aufgabe
> behilflich sein?
>  
> Liebe grüße und vielen dank
>  Noya                                            
>  


Bezug
                
Bezug
Menge relativ kompakt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:00 Do 10.05.2018
Autor: Noya

Klar macht Sinn. Es muss ja schliesslich für alle [mm] \epsilon [/mm] >0 gelten.

Vielen Dank :-)


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 22m 4. chrisno
UAnaR1FunkInt/Bogenlänge einer Asteroide
Status vor 1h 07m 8. matux MR Agent
DiffGlGew/Loesung DGL
Status vor 3h 28m 1. katze44
UDiskrMath/Mengen und partielle Ordnungen
Status vor 5h 07m 2. matux MR Agent
ZahlTheo/multivariante Polynome Nullste
Status vor 1d 4h 07m 2. matux MR Agent
UWTheo/stationär/ergodisch
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]