Menge skizzieren < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Di 28.09.2010 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | Skizzieren Sie die Mengen, die durch folgende Gleichungen bzw. Ungleichungen definiert sind, in der komplexen Ebene:
b) |z - z0| [mm] \ge [/mm] |z - z1|, wobei z0 und z1 gegebene komplexe Zahlen sind.
c) [mm] \bruch{|z-1|}{|z+1+i|} [/mm] = 2 |
Also bei b) habe ich keine Ahnung wie ich vorgehen soll, wie muss ich mit den gegebenen Zahlen z0 und z1 umgehen?
bei c) habe ich wie folgt gerechnet:
zuerst einmal * |z+1+i| gerechnet, also:
|z-1| = 2 * |z+1+i|
[mm] \wurzel{x^2 + y^2 -1^2} [/mm] = 2* [mm] \wurzel{x^2 + y^2 -1^2 + 1^2}
[/mm]
dann quadriert:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 -1^2 [/mm] = 4 * [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 -1^2 [/mm] + [mm] 1^2)
[/mm]
gekürzt und ausgerechnet:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 1 = [mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2
[/mm]
...
1 = [mm] 3x^2 [/mm] + [mm] 3y^2 [/mm] dann habich mal 3 ausgeklammert:
1 = [mm] 3*(x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] dann / 3
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
Das ist ja dann eine Kreisgleichung mit Radius [mm] r=\wurzel{\bruch{1}{3}}
[/mm]
Aber irgendwie kann das nicht stimmen, denn laut unserem Assistenten soll die Lösung in der Form [mm] (x+a)^2 [/mm] + [mm] (x+b)^2 [/mm] = [mm] c^2 [/mm] sein. Wo liegt der Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Di 28.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Skizzieren Sie die Mengen, die durch folgende Gleichungen
> bzw. Ungleichungen definiert sind, in der komplexen Ebene:
>
> b) |z - z0| [mm]\ge[/mm] |z - z1|, wobei z0 und z1 gegebene komplexe
> Zahlen sind.
>
> c) [mm]\bruch{|z-1|}{|z+1+i|}[/mm] = 2
> Also bei b) habe ich keine Ahnung wie ich vorgehen soll,
> wie muss ich mit den gegebenen Zahlen z0 und z1 umgehen?
>
> bei c) habe ich wie folgt gerechnet:
> zuerst einmal * |z+1+i| gerechnet, also:
>
> |z-1| = 2 * |z+1+i|
>
> [mm]\wurzel{x^2 + y^2 -1^2}[/mm] = 2* [mm]\wurzel{x^2 + y^2 -1^2 + 1^2}[/mm]
Hallo,
der Realteil von z-1 ist (x-1) und der Imaginärteil ist y.
Also gilt [mm] |z|=\wurzel{(x-1)^2 + y^2 }=\wurzel{x^2-2x+1 + y^2 }.
[/mm]
Da du auch in der zweiten Wurzel die binomische Formel nicht beachtet hast, ist auch da ein Fehler.
Gruß Abakus
>
> dann quadriert:
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 -1^2[/mm] = 4 * [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2 -1^2[/mm] + [mm]1^2)[/mm]
>
> gekürzt und ausgerechnet:
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 1 = [mm]4x^2[/mm] + [mm]4y^2[/mm]
>
> ...
>
> 1 = [mm]3x^2[/mm] + [mm]3y^2[/mm] dann habich mal 3 ausgeklammert:
>
> 1 = [mm]3*(x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm] dann / 3
>
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm]
>
> Das ist ja dann eine Kreisgleichung mit Radius
> [mm]r=\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> Aber irgendwie kann das nicht stimmen, denn laut unserem
> Assistenten soll die Lösung in der Form [mm](x+a)^2[/mm] + [mm](x+b)^2[/mm]
> = [mm]c^2[/mm] sein. Wo liegt der Fehler?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Di 28.09.2010 | | Autor: | Marius6d |
Ok also dann rechne ich wie folgt:
[mm] \wurzel{(x-1)^2+y^2} [/mm] = 2* [mm] \wurzel{(x+1)^2+(y+1)^2}
[/mm]
dann quadriere ich wieder:
[mm] (x-1)^2+y^2 [/mm] = 4 * [mm] (x+1)^2+(y+1)^2 [/mm]
und jetzt wenn ich die binome auflöse:
[mm] x^2 [/mm] -2x +1 [mm] +y^2 [/mm] = [mm] 4*(x^2 [/mm] + 2x + 1 + [mm] y^2 [/mm] + 2y +1)
ausmultipliziert:
[mm] x^2 [/mm] - 2x +1 [mm] +y^2 [/mm] = [mm] 4x^2 [/mm] +8x +4 [mm] +4y^2 [/mm] +8y +4
dann ergibt das:
[mm] -3x^2 [/mm] -10x [mm] -3y^2 [/mm] +8y = 7
Und wie muss ich jetz weiterfahren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Di 28.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Ok also dann rechne ich wie folgt:
>
> [mm]\wurzel{(x-1)^2+y^2}[/mm] = 2* [mm]\wurzel{(x+1)^2+(y+1)^2}[/mm]
>
> dann quadriere ich wieder:
>
> [mm](x-1)^2+y^2[/mm] = 4 * [mm](x+1)^2+(y+1)^2[/mm]
>
> und jetzt wenn ich die binome auflöse:
>
> [mm]x^2[/mm] -2x +1 [mm]+y^2[/mm] = [mm]4*(x^2[/mm] + 2x + 1 + [mm]y^2[/mm] + 2y +1)
>
> ausmultipliziert:
>
> [mm]x^2[/mm] - 2x +1 [mm]+y^2[/mm] = [mm]4x^2[/mm] +8x +4 [mm]+4y^2[/mm] +8y +4
>
> dann ergibt das:
>
> [mm]-3x^2[/mm] -10x [mm]-3y^2[/mm] +8y = 7
>
> Und wie muss ich jetz weiterfahren?
Teile beide Seiten durch -3.
Mache dann sowohl für [mm] x^2 [/mm] und für [mm] y^2 [/mm] eine quadratische Ergänzung, um
[mm] (x+...)^2+(y-...)^2=...
[/mm]
zu erhalten.
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Hallo Marius6d,
> Skizzieren Sie die Mengen, die durch folgende Gleichungen
> bzw. Ungleichungen definiert sind, in der komplexen Ebene:
>
> b) |z - z0| [mm]\ge[/mm] |z - z1|, wobei z0 und z1 gegebene komplexe
> Zahlen sind.
>
> c) [mm]\bruch{|z-1|}{|z+1+i|}[/mm] = 2
> Also bei b) habe ich keine Ahnung wie ich vorgehen soll,
> wie muss ich mit den gegebenen Zahlen z0 und z1 umgehen?
>
Rechnerisch:
Nun, schaue nochmal ins Skript, wie eine komplexe Geradengleichung aussieht!
Benutze weiter, dass [mm]|z-z_1|\le|z-z_0|\gdw |z-z_1|^2\le|z-z_0|^2[/mm]
Erinnere dich, wie du [mm]|w|^2[/mm] für [mm]w\in\IC[/mm] anders schreiben kannst...
Geometrisch:
[mm]|z-w|[/mm] bezeichnet den (euklid.) Abstand von [mm]z[/mm] zu [mm]w[/mm]
Mit [mm]|z-z_1|\le|z-z_0|[/mm] sind also all jene [mm]z\in\IC[/mm] gesucht, die von [mm]z_1[/mm] einen Abstand haben, der nicht größer als der Abstand zu [mm]z_0[/mm] ist.
Gruß
schachuzipus
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