Menge vs. Klasse < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich lerne grade Mengentheorie, wir arbeiten mit ZFC.
Nun haben wir informall eine Klasse eingeführt.
Ich verstehe irgendwie nicht, was der Unterschied zwischen einer Menge und einer Klasse ist, und warum jede Menge eine Klasse ist und nicht umgekehrt.
Bei (![[]](/images/popup.gif) Wikipedia) steht zum Beispiel, dass nicht alle Klassen Mengen sind, da Mengen zusätzliche Bedingungen erfüllen müssen.
Was für Bedingungen sind das?
In meinem Buch steht zu Mengen, dass eine Menge eine Sammlung aller Elemente ist, die einer bestimmten gegebenen Eigenschaft genügen.
Auch das finde ich irgendwie komisch. Ich dachte bisher immer, ich könnte alle beliebigen Dinge zu einer Menge zusammenfassen, ohne dass sie irgendeiner Eigenschaft genügen müssen.
Was für Eigenschaften sollen das sein?
Bin für jede Hilfe dankbar.
LG Nadine
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> Hallo zusammen!
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> Ich lerne grade Mengentheorie, wir arbeiten mit ZFC.
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> Nun haben wir informall eine Klasse eingeführt.
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> Ich verstehe irgendwie nicht, was der Unterschied zwischen
> einer Menge und einer Klasse ist, und warum jede Menge eine
> Klasse ist und nicht umgekehrt.
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> Bei (Wikipedia)
> steht zum Beispiel, dass nicht alle Klassen Mengen sind, da
> Mengen zusätzliche Bedingungen erfüllen müssen.
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> Was für Bedingungen sind das?
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> In meinem Buch steht zu Mengen, dass eine Menge eine
> Sammlung aller Elemente ist, die einer bestimmten gegebenen
> Eigenschaft genügen.
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> Auch das finde ich irgendwie komisch. Ich dachte bisher
> immer, ich könnte alle beliebigen Dinge zu einer Menge
> zusammenfassen, ohne dass sie irgendeiner Eigenschaft
> genügen müssen.
Diese "naive" Menbgendefinition ist zwar für die meisten praktischen Anwendungen vollkommen ausreichend, wenn man jedoch die Mengenlehre axiomatisch aufbauen möchte, ist das so nicht widerspruchsfrei möglich.
Beispiel: Megen können Elemente von anderen Mengen sein, somit kann man auch Mengen betrachten, die sich selbst als Element enthalten. Fasst man nun alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten zu einer Menge A zusammen, erhält man einen Widerspruch (da entweder gelten muss [mm] A\in [/mm] A oder [mm] A\not\in [/mm] A und beides zu einem Widerspruch führt).
Daher werden in der axiomatischen Mengenlehre bestimmte Eigenschaften von Mengen gefordert wie z.B. die Zermelo-Fraenkel-Axiome.
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> Was für Eigenschaften sollen das sein?
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> Bin für jede Hilfe dankbar.
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> LG Nadine
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