Mengen---> Injektivität < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Fr 06.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
| Aufgabe | | Es seien X und Y endliche Mengen. Zeigen Sie, dass |X| [mm] \le [/mm] |Y| [mm] \gdw [/mm] Es existiert eine injektive Abbildung f: X [mm] \Rightarrow [/mm] Y |
Normalerweise zeigt man ja injektivität mit F(x1)=F(x2) [mm] \gdw [/mm] x1=x2. Ich weiß, dass ich ja von [mm] \IR^{+} \Rightarrow \IR^{+} [/mm] abbilde. Das heißt jede Grade g(x)=mx+b erfüllt ja diese Bedingung. Mein Problem ist, ich weiß nicht wie ich das zeigen soll. Könnte mir jemand einen Ansatz sagen. Vielen dank im Vorfeld.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Fr 06.11.2015 | | Autor: | chrisno |
Mein Vorschlag:
Die Mengen sind endlich. Du kannst die Elemente nummerieren. Dann kannst Du eine Abbildung definieren, die x1 auf y1 abbildet usw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Fr 06.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
Dann wäre ja X={ [mm] x_{1},-,x_{n} [/mm] } und Y={ [mm] y_{1},-,y{m} [/mm] } n [mm] \le [/mm] m. Dann wäre ja z.B F(x_ [mm] {1})=y_{1} [/mm] usw., dadurch wäre ja [mm] F(x_{i})=y_{j} [/mm] mit i=1,-,n und j=1,-,m. Damit wäre ja gegeben, dass jedes X genau auf ein Y abgebildet wird. Jedoch nicht alle was für Injektivität ja nicht so schlimm ist. Mein problem ist dann aber was sagt mir das |X| [mm] \le [/mm] |Y|. Außer dass die Menge der Elemente von X kleiner als der von Y ist und dadurch manche Elemente nicht abgebildet werden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Fr 06.11.2015 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
ich habe aus Deiner Mitteilung eine Frage gemacht. Stelle Fragen,. solange noch nicht alles klar ist. Bei einer Mitteilung geht man davon aus, dass Du keine Frage mehr hast.
Zur Aufgabe:
> ... eine injektive Abbildung f: X $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Y
soll sicher heißen: eine injektive Abbildung f: X $ [mm] \mapsto [/mm] $ Y
Es ist eine Äquivalenz zu zeigen.
I |X| $ [mm] \le [/mm] $ |Y| $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Es existiert eine injektive Abbildung f: X $ [mm] \mapsto [/mm] $ Y
und
II |X| $ [mm] \le [/mm] $ |Y| $ [mm] \Leftarrow [/mm] $ Es existiert eine injektive Abbildung f: X $ [mm] \mapsto [/mm] $ Y
Zu I:
Du musst zeigen, dass die Funkion injektiv ist.
> Dann wäre ja [mm] $X=\{ x_1,-,x_n \}$ [/mm] und $ [mm] Y=\{ y_1,-,y_m \}$ [/mm] n [mm] $\le$ [/mm] m.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann wäre ja z.B [mm] F($x_1)=y_1$ [/mm] usw., dadurch
> wäre ja [mm]F(x_i)=y_j[/mm] mit i=1,-,n und j=1,-,m.
Das ist Unfug.
[mm]F(x_i)=y_\red{i}[/mm] mit i=1,-,n
> Damit wäre ja gegeben, dass jedes X genau auf ein Y abgebildet wird.
Ja.
> Jedoch nicht alle was für Injektivität ja nicht so schlimm ist.
auch ja
> Mein problem ist dann aber was sagt mir das
> |X| [mm]\le[/mm] |Y|.
Damit ist die Möglichkeit gegeben, diese Funktion zu konstruieren.
> Außer dass die Menge der Elemente von X
> kleiner als der von Y ist und dadurch manche Elemente nicht
> abgebildet werden
Wäre nun die Anzahl der Elemente in Y kleiner, dann könnte i nicht von 1 bis n laufen und Du könntest die Funktion nicht so definieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Fr 06.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
1. Danke für den Hinweis mit der Mitteilung und frage.
2. Mein Fehler leuchtet mir ein. Sowie ich es hatte war es ja nicht logisch und wäre nicht aufgegangen.
3. Alles was du sagst stimmt und ist für mich nachvollziehbar. Jedoch habe ich ein paar Problem. Müsste ich für die Injektivität nicht noch zeigen, dass [mm] F(x_{a})=y_{a}=F(x_{b}) \Rightarrow x_{a}=x_{b}. [/mm] Außerdem klingt es in deiner Antwort danach, dass die die Funktion konstruieren, jedoch nicht notwendig ist. Das heißt ja wenn ich die Schritte alle so aufschreibe, wowie den Beweis für Injektivität hätte ich alles gezeigt und wäre damit fertig. Oder seh ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Fr 06.11.2015 | | Autor: | chrisno |
> 1. Danke für den Hinweis mit der Mitteilung und frage.
gern geschehen
>
> 2. Mein Fehler leuchtet mir ein. Sowie ich es hatte war es
> ja nicht logisch und wäre nicht aufgegangen.
>
> 3. Alles was du sagst stimmt und ist für mich
> nachvollziehbar. Jedoch habe ich ein paar Problem. Müsste
> ich für die Injektivität nicht noch zeigen, dass
> [mm]F(x_{a})=y_{a}=F(x_{b}) \Rightarrow x_{a}=x_{b}.[/mm]
Ich weiß nicht, wie streng formal Du es aufschreiben musst.
Aus der Funktionsvorschrift ergibt sich: [mm] $F(x_a)=y_a$ [/mm] und [mm] $F(x_b) [/mm] = [mm] y_b$
[/mm]
Damit gilt: aus [mm] $F(x_a) [/mm] = [mm] F(x_b)$ [/mm] folgt [mm] $y_a [/mm] = [mm] F(x_a) [/mm] = [mm] F(x_b) [/mm] = [mm] y_b$ [/mm] und damit [mm] $y_a [/mm] = [mm] y_b$.
[/mm]
> Außerdem klingt es in deiner Antwort danach, dass die die Funktion
> konstruieren, jedoch nicht notwendig ist.
Das verstehe ich sprachlich nicht. Du kannst auch englisch schreiben.
> Das heißt ja wenn ich die Schritte alle so aufschreibe, wowie den Beweis
> für Injektivität hätte ich alles gezeigt und wäre damit
> fertig. Oder seh ich das falsch?
Du musst noch II zeigen/begründen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Fr 06.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
Ich meine damit. Dass ich theoretisch die Funktion genau angeben kann. Es aber in der Aufgabenstellung nicht verlangt ist, dass ich die Funktion genau angebe.
Aber um II zu beweisen/begründen muss ich ja eigentlich das gleiche nur andersrum aufschreiben/erklären. Das wäre,dass nicht bei äquivalent umformen unnötig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Fr 06.11.2015 | | Autor: | chrisno |
> Ich meine damit. Dass ich theoretisch die Funktion genau
> angeben kann. Es aber in der Aufgabenstellung nicht
> verlangt ist, dass ich die Funktion genau angebe.
Natürlich kannst Du auch einen anderen Weg gehen. Mir ist dieser eingefallen, weil es so schön einfach ist.
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> Aber um II zu beweisen/begründen muss ich ja eigentlich
> das gleiche nur andersrum aufschreiben/erklären. Das
> wäre,dass nicht bei äquivalent umformen unnötig?
Ein Äquivalenzumformung wird Dir hier kaum gelingen.
Außerdem musst Du nun von der Aussage ausgehen "Es gibt eine injektive Abbildung".
Also musst Du nun mit der Definition der injektiven Abbildung folgern, dass [mm] |X|$\le$|Y|.
[/mm]
Für Heute ist bei mir Feierabend.
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