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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 Do 22.10.2009 | | Autor: | Ersty |
| Aufgabe 1 | Sind A,B zwei Mengen, so gilt A∪B = [mm] \cup [/mm] {A,B}. Folgt daraus, daß eins unserer beiden Axiome zur Vereinigung überflüssig ist (d. h. aus den anderen Axiomen folgt), und wenn ja, welches?
die 2 Axiome sind:
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| Aufgabe 2 | Axiom 1 = Sind A,B Mengen (nicht notwendig verschieden), so gibt
es eine Menge A [mm] \cup [/mm] B, die genau diejenigen Mengen als
Elemente enthält, die Element von A oder von B sind.
Axiom 2 = Zu jeder Menge [mm] \mathcal{A} [/mm] gibt es eine Menge [mm] \cup \mathcal{A}, [/mm] die genau die Elemente der Elemente von [mm] \mathcal{A} [/mm] zum Element hat:
[mm] \cup \mathcal{A} [/mm] = { a | [mm] \exists [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}: [/mm] a [mm] \in [/mm] A}. |
Vorerst eine Verständnisfrage, der Prof hat die Def hier so in das Script geschrieben, allerdings frage ich mich ob ich zwischen 2 Mengen ein Elementzeichen machen darf. Das ist kein Flüchtigkeitsfehler, der Prof macht das andauernd im Script. Darf ich ein [mm] \in [/mm] zwischen 2 Mengen schreiben? Oder Teilmenge von....
Zur Frage:
Ich würde sagen ja, hier meine Idee:
Sei A∪B = [mm] \cup [/mm] {A,B}. [mm] \Rightarrow [/mm] (mit Axiom 2)
[mm] \cup [/mm] {A,B} = { a | [mm] \exists [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}: [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] b | [mm] \exists [/mm] B [mm] \in \mathcal{B}: [/mm] b [mm] \in [/mm] B}
= [mm] \cup [/mm] A "oder" [mm] \cup [/mm] B
= Axiom 1
q.e.d.
darf ich das so machen?
Vielen Dank im Voraus, ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:09 Fr 23.10.2009 | | Autor: | cycore |
Hallo,
> [...]
> Vorerst eine Verständnisfrage, der Prof hat die Def hier
> so in das Script geschrieben, allerdings frage ich mich ob
> ich zwischen 2 Mengen ein Elementzeichen machen darf. Das
> ist kein Flüchtigkeitsfehler, der Prof macht das andauernd
> im Script. Darf ich ein [mm]\in[/mm] zwischen 2 Mengen schreiben?
> Oder Teilmenge von....
Das kommt darauf an, was die mengen miteinander zu tun haben..Beispiel:
[mm] $\{1,2\}=:A\subset\{0,1,2,3\}$ [/mm] aber [mm] $\{1,2\}=:A\in\mathcal{A}:=\{\{1,2\}, \{2,3\}, \{0,1\}\}$
[/mm]
Also das [mm] \mathcal{A} [/mm] ist (sowohl im Beispiel als auch im Axiom) Menge von Mengen!
>
> Zur Frage:
>
> Ich würde sagen ja, hier meine Idee:
>
> Sei A∪B = [mm] \cup [/mm] {A,B}. [mm] \Rightarrow [/mm] (mit Axiom 2)
> [mm] \cup [/mm] {A,B} = { a | [mm] \exists [/mm] A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] : a [mm] \in [/mm] A
> [mm] \vee [/mm] b | [mm] \exists [/mm] B [mm] \in \mathcal{B}: [/mm] b [mm] \in [/mm] B}
> = [mm] \cup [/mm] A "oder" [mm] \cup [/mm] B
> = Axiom 1
> q.e.d.
>
> darf ich das so machen?
Nein..Leider nicht - also erstmal ist = Axiom 1 formal (sorry) echt unfug..aber du hast auch das vorher schon falsch verstanden...woher kommt dein [mm] \mathcal{B} [/mm] ?..richtig müsste es lauten
[mm] $\cup\{A,B\}=\{a | \exists X\in \{A,B\} : a\in X\}$
[/mm]
und das kannst du jetzt wieder zu der einfachen vereinigung umformen^^
Aber um auf deine ursprüngliche Aufgabe zurückzukommen - wenn eine Aussage ein Spezialfall der anderen ist...na welche von den beiden wird dann wohl überflüssig? Versuchs mal mit dem Ansatz Wähle bei Axiom 2 [mm] \mathcal{A}:=\{A,B\}\Rightarrow [/mm] ? ;)
LG cycore
>
> Vielen Dank im Voraus, ich habe diese Frage in keinem
> anderen Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Ersty |
Hi, danke für deine schnelle Rückmeldung:
verstehe ich dich richtig:
[mm] \mathcal{A} [/mm] := {A,B} [mm] \Rightarrow \cup [/mm] {A,B} = { [mm] a|\exists [/mm] X [mm] \in [/mm] {A,B} : a [mm] \in [/mm] X}
und daraus erhalte ich dann was?
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> Hi, danke für deine schnelle Rückmeldung:
> verstehe ich dich richtig:
>
> [mm]\mathcal{A}[/mm]:={A,B}[mm]\Rightarrow\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{A,B}={[mm]a|\exists[/mm]X[mm]\in[/mm]{A,B}:a[mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
(gleiche Bemerkung wie soeben: zu viele [mm] und [/ mm] !)
> und daraus erhalte ich dann was?
Nun, wenn es ein [mm] X\in\{A,B\} [/mm] mit irgendwelchen
Eigenschaften gibt, so ist X=A oder X=B. Also kann
man [mm] \{a\ |\ \exists X\in\{A,B\}: a\in X\} [/mm] einfacher schreiben:
[mm] \{a\ |\ a\in A\ \vee\ a\in B\}
[/mm]
Und dies entspricht genau der Definition der
Vereinigungsmenge zweier Mengen (Axiom 1).
LG Al-Chw.
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> Sind A,B zwei Mengen, so gilt A∪B = [mm]\cup[/mm] {A,B}. Folgt
> daraus, daß eins unserer beiden Axiome zur Vereinigung
> überflüssig ist (d. h. aus den anderen Axiomen folgt),
> und wenn ja, welches?
>
> die 2 Axiome sind:
>
>
> Axiom 1:
> Sind A,B Mengen (nicht notwendig verschieden), so gibt
> es eine Menge A [mm]\cup[/mm] B, die genau diejenigen Mengen als
> Elemente enthält, die Element von A oder von B sind.
>
> Axiom 2:
> Zu jeder Menge [mm]\mathcal{A}[/mm] gibt es eine Menge [mm] $\cup \mathcal{A}$, [/mm]
> die genau die Elemente der Elemente von [mm] \mathcal{A} [/mm] zum Element hat:
> [mm] $\cup \mathcal{A}= \{ a\ |\ \exists\ A \in \mathcal{A}:a \in A\}$. [/mm] (***)
> Vorerst eine Verständnisfrage, der Prof hat die Def hier
> so in das Script geschrieben, allerdings frage ich mich ob
> ich zwischen 2 Mengen ein Elementzeichen machen darf. Das
> ist kein Flüchtigkeitsfehler, der Prof macht das andauernd
> im Script. Darf ich ein [mm]\in[/mm] zwischen 2 Mengen schreiben?
> Oder Teilmenge von....
Hallo Ersty,
in der axiomatischen Mengenlehre gibt es als Objekte
eigentlich nur Mengen. Alles was Element sein
kann, ist hier auch Menge. Sind also x und y irgend-
welche Mengen, so machen sowohl [mm] "x\in{y}" [/mm] als auch
[mm] "x\subset{y}" [/mm] Sinn und können je nach Belegung der
Variablen x und y wahr oder falsch sein.
Und zur Frage selbst:
Natürlich kann man "Axiom 1" auch einfach als Spezial-
fall von Axiom 2 auffassen für den Fall, dass [mm] \mathcal{A}
[/mm]
nur 1 oder 2 Elemente besitzt.
Und noch eine Bemerkung zu deinen Formeleingaben:
Du hast wahnsinnig viele [mm] und [/ mm] benützt. Ich
habe fast alle davon eliminiert, um dir zu zeigen, dass
es auch viel einfacher geht. Klicke einfach mal auf die
Formel mit dem (***), um zu sehen, was ich meine.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Ersty |
danke, jetzt hab ich begriffen, das Axiom 1 aus Axiom 2 folgt und somit überflüssig ist.
Vielen Dank
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