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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Do 19.10.2006 | | Autor: | riesel |
| Aufgabe | | A\ (B [mm] \cap [/mm] C) = [mm] (A\setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] C) |
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Guten Abend!
Zur oben genannten Aufgabe habe ich eine Verständnisfrage. Warum heißt es = (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] C) und nicht = (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] C). Wenn etwas in A und nicht in B und C liegt, dann liegt es doch auch in A und nicht B und in A und nicht C.
Desweiteren würde mich interessieren, ob meine Lösung zu der oberen Aufgabe richtig ist. Vielleicht kennt sich hier jemand mit Mengen aus?
A\ (B [mm] \cap [/mm] C) = A\ {x|x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C} = {x|(x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C} = {x| [mm] (x\in [/mm] A [mm] \wedge x\not\in [/mm] B) [mm] \vee (x\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C)} = { x| x [mm] \in [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] ( A [mm] \setminus [/mm] C) } =
[mm] (A\setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] C)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Do 19.10.2006 | | Autor: | galileo |
Hallo riesel
Am besten kann es durch Aussagenlogik bewiesen werden:
[mm]a=(x\in A)\qquad b=(x\in B)\qquad c=(x\in C)[/mm]
[mm]A\setminus (B\cap C)=\left\{x|a\wedge\neg (b\wedge c)\right\}[/mm]
[mm]a\wedge\neg (b\wedge c)\ \gdw\ a\wedge (\neg b\vee\neg c)\ \gdw\ (a\wedge\neg b)\vee (a\wedge\neg c)[/mm]
[mm](A\setminus B)\cup (A\setminus C))=\left\{x|(a\wedge\neg b)\vee (a\wedge\neg c)\right\}[/mm]
q.e.d. (was zu beweisen war)
Viele Grüße. 
galileo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Do 19.10.2006 | | Autor: | riesel |
Hi,
ich habe noch eine Frage zu deinem Aufschrieb. Kann man das auch so schreiben?
A/(B [mm] \cap [/mm] C) = A [mm] \cap \overline{(B \cap C)} [/mm] = A [mm] \cap (\overline{B} \cup \overline{C}) [/mm] = (A [mm] \cap \overline{B}) \cup [/mm] (A [mm] \cap \overline{C}) [/mm] = (A \ B) [mm] \cup [/mm] (A \ C)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Do 19.10.2006 | | Autor: | galileo |
Ja,.............. richtig!
Du hast es. Nicht nachlassen!
Viele Grüße,
galileo
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