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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Sa 15.09.2007 | | Autor: | nix19 |
| Aufgabe | Beweisen sie oder widerlegen sie folgende Mengen:
a) A \ (A [mm] \cap [/mm] B) = A \ B
b) A [mm] \cup [/mm] B = A ; A [mm] \cap [/mm] A = A
c) A [mm] \cap [/mm] B = (A \ B) [mm] \cap [/mm] B |
Also hier sind meine Ansätze zu a) . Bei b) und c) hab ich keinen Ansatz gefunden
zu a)
[mm] x\in [/mm] M: [mm] =>x\in [/mm] A \ [mm] (x\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B)
=> [mm] x\in [/mm] A \ (x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] x [mm] \in [/mm] B)
=> (x [mm] \in [/mm] A \ x [mm] \in [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (x [mm] \in [/mm] A \ x [mm] \in [/mm] B )
=> x [mm] \in [/mm] A \ B
y [mm] \in [/mm] K: => y [mm] \in [/mm] A \ B
=> y [mm] \in [/mm] A \ y [mm] \in [/mm] B
so dann weiß ich nicht mehr weiter...
kann mir da vielleicht einer helfen?
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Hallo Nadine,
du musst aufpassen !!
Zwischen den ganzen Zeichen [mm] $\cup [/mm] , [mm] \cap [/mm] , [mm] \backslash$ [/mm] müssen [mm] \underline{Mengen} [/mm] stehen.
Du schreibst mal Mengen, mal Eigenschaften, das ist "brandgefährlich" 
Ich schreib mal die (a) "sauber" auf.
Ich benutze im Folgenden stets die Definitionen...
(a) (1) zz.: [mm] $A\backslash (A\cap B)\subset A\backslash [/mm] B$
Also sei [mm] $x\in A\backslash (A\cap [/mm] B)$
[mm] $\Rightarrow x\in A\wedge x\notin( A\cap [/mm] B)$
[mm] $\Rightarrow x\in A\wedge \neg (x\in (A\cap [/mm] B))$
[mm] $\Rightarrow x\in A\wedge \neg (x\in A\wedge x\in [/mm] B)$
[mm] $\Rightarrow x\in A\wedge (x\notin A\vee x\notin [/mm] B)$
[mm] $\Rightarrow \underbrace{(x\in A\wedge x\notin A)}_{\text{Widerspruch}}\vee (x\in A\wedge x\notin [/mm] B)$
[mm] $\Rightarrow x\in A\wedge x\notin [/mm] B$
[mm] $\Rightarrow x\in A\backslash [/mm] B$
(2) die "Rückrichtung"
zz.: [mm] $A\backslash B\subset A\backslash (A\cap [/mm] B)$
Sei [mm] $x\in A\backslash [/mm] B$
[mm] $\Rightarrow x\in A\wedge x\notin [/mm] B$
Das geht ganz nett indirekt:
Ann.: [mm] $x\notin A\backslash (A\cap [/mm] B)$
[mm] $\Rightarrow \neg(x\in A\wedge x\notin A\cap [/mm] B)$
[mm] $\Rightarrow x\notin A\vee x\in A\cap [/mm] B$
[mm] $\Rightarrow \underbrace{x\notin A}_{Widerspruch zu x\in A}\vee \left(x\in A\wedge \underbrace{x\in B}_{Widerspruch zu x\notin B}\right)$
[/mm]
Das gibt also einen Widerspruch, damit ist die Ann. falsch und [mm] $x\in A\backslash (A\cap [/mm] B)$
Das ist jetzt alles ganz formal mit den Definitionen für [mm] $\cap$ [/mm] und [mm] $\backslash$
[/mm]
Versuch mal, ob du nach dem Schema auch (b) und (c) rausbekommst oder zB. bei (b), Teil1 dir einfache Mengenkreise aufmalst und dir so ne Widerlegung der Aussage hinbastelst
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
eine Idee zu (c):
Nimm mal die Mengen [mm] $A=\{1,2,3\}$ [/mm] und [mm] $B=\{2,3,4\}$
[/mm]
Prüfe damit mal, ob die Aussage in (c) gilt...
Gruß
schachuzius
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