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| Aufgabe | Seien $X$ und [mm] $A_i [/mm] (i [mm] \in [/mm] I)$ beliebige Mengen. Beweisen Sie folgenden Aussagen:
1. [mm] $\bigcup_{i \in I} (A_i \cap [/mm] X) = [mm] (\bigcup_{i \in I} A_i) \cap [/mm] X$
2. [mm] $\bigcap_{i \in I} (A_i \cup [/mm] X)= [mm] (\bigcap_{i \in I} A_i) \cup [/mm] X$
3. $X [mm] \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i) [/mm] = [mm] \bigcap_{i \in I} [/mm] (X [mm] \setminus A_i)$ [/mm] |
Also ich habe die aufgaben sehr kurz gehalten bei der Lösung, ich hoffe, das kann man so machen.
Zur 1.
Sei $ x [mm] \in \bigcup_{i \in I} (A_i \cap [/mm] X) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in \{x|x \in A_i \wedge x \in X fuer ein i \in I \} \gdw [/mm] x [mm] \in \{x|x \in A_i fuer ein i \in I \wedge x \in X \} \gdw
[/mm]
x [mm] \in (\bigcup_{i \in I} A_i) \cap [/mm] X $
Zur 2.
Sei $ x [mm] \in \bigcap_{i \in I} (A_i \cup [/mm] X) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in \{x|x \in A_i \vee x \in X fuer alle i \in I \} \gdw [/mm] x [mm] \in \{x|x \in A_i fuer alle i \in I \vee x \in X \} \gdw x\in (\bigcap_{i \in I} A_i) \cup [/mm] X $
Zur 3.
Sei $ [mm] x\in \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i) \gdw [/mm] x [mm] \in \{x|x \in X \wedge \neg (x \in A_i fuer ein i \in I ) \} \gdw [/mm] x [mm] \in \{x|x \in X \wedge x \not\in A_i fuer alle i \in I \} \gdw [/mm] x [mm] \in \{x|x \in X \wedge x \not\in A_i fuer alle i \in I \} \gdw x\in \bigcap_{i \in I} [/mm] (X [mm] \setminus A_i) [/mm] $
Danke , ich hoffe das ich richtig, den mit Unendlichen vereinigungen habe ich so meine Probleme.
MFG Freshstyle
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm]X[/mm] und [mm]A_i (i \in I)[/mm] beliebige Mengen. Beweisen Sie
> folgenden Aussagen:
>
> 1. [mm]\bigcup_{i \in I} (A_i \cap X) = (\bigcup_{i \in I} A_i) \cap X[/mm]
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> 2. [mm]\bigcap_{i \in I} (A_i \cup X)= (\bigcap_{i \in I} A_i) \cup X[/mm]
>
> 3. [mm]X \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i) = \bigcap_{i \in I} (X \setminus A_i)[/mm]
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> Also ich habe die aufgaben sehr kurz gehalten bei der
> Lösung, ich hoffe, das kann man so machen.
> Zur 1.
> Sei $ x [mm]\in \bigcup_{i \in I} (A_i \cap[/mm] X) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in \{x|x \in A_i \wedge x \in X fuer ein i \in I \} \gdw[/mm]
> x [mm]\in \{x|x \in A_i fuer ein i \in I \wedge x \in X \} \gdw[/mm]
>
> x [mm]\in (\bigcup_{i \in I} A_i) \cap[/mm] X $
>
> Zur 2.
> Sei [mm]x \in \bigcap_{i \in I} (A_i \cup X) \gdw x \in \{x|x \in A_i \vee x \in X fuer alle i \in I \} \gdw x \in \{x|x \in A_i fuer alle i \in I \vee x \in X \} \gdw x\in (\bigcap_{i \in I} A_i) \cup X[/mm]
>
> Zur 3.
> Sei [mm]x\in \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i) \gdw x \in \{x|x \in X \wedge \neg (x \in A_i fuer ein i \in I ) \} \gdw x \in \{x|x \in X \wedge x \not\in A_i fuer alle i \in I \} \gdw x \in \{x|x \in X \wedge x \not\in A_i fuer alle i \in I \} \gdw x\in \bigcap_{i \in I} (X \setminus A_i)[/mm]
also zwei Dinge:
1.) Ehrlich gesagt ist das alles sehr unleserlich. Klicke mal auf [mm] $\mbox{dieses Wort}$ $\leftarrow$, dann erkennst Du, wie man innerhalb von Formeln lesbarer schreiben kann.
2.) Deine "Beweise" oben sind alle sehr kurz gehalten, zudem bin ich mir nicht sicher, ob Du Dir selbst eigentlich Deiner Schritte bewußt bist, was Du da machst und wieso Du $\gdw$-Zeichen so benutzen darfst. Mir selber ist jetzt kein großer Fehler aufgefallen, aber dennoch würde ich Dir vorschlagen, die Beweise, gerade, weil Du ja sagst, dass Du Probleme damit hast, Schritt für Schritt zu notieren:
Ich werde Dir das mal bei 3.) vorführen:
Behauptet wird dort:
$X \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i) = \bigcap_{i \in I} (X \setminus A_i)$
D.h. behauptet wird dort eine Mengengleichheit zweier Mengen $M:=X \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i) $ und $N:=\bigcap_{i \in I} (X \setminus A_i)$, d.h. zu zeigen ist $M=N$.
Das macht man - gerade anfangs - am besten in zwei Schritten:
$\alpha)$ Man zeigt $M \subset N$ (bei meiner Notation ist bei $M \subset N$ Mengengleichheit erlaubt, d.h. es gilt auch immer z.B. $M \subset M$).
$\beta)$ Man zeigt $N \subset M$.
(Denn daraus folgt dann $M \subset N \subset M$ und damit $M=N$.)
Zeigen wir nun bei 3.) mit obiger Definition von $M$ und $N$ dann zunächst:
$\alpha)$ Es gilt $M \subset N$:
Sei dazu $x \in M$ beliebig. Dann gilt $x \in X\setminus \left(\bigcup_{i \in I}A_i\right)$.
Damit gilt
$x \in X$ und $x \notin \bigcup_{i \in I}A_i$, woraus folgt:
$x \in X$ und: Für alle $i \in I$ gilt $x \notin A_i$
Daher folgt für jedes $i \in I$: $x \in X$ und $x \notin A_i$
bzw.
$\forall i \in I$: $x \in X \setminus A_i$
$\Rightarrow$ $x \in \bigcap_{i \in I} (X \setminus A_i)=N$.
Da $x \in M$ beliebig war, folgt für jedes $x \in M$, dass $x \in N$. Also gilt $M \subset N$.
Zu $\beta)$:
Sei $x \in N$
$\Rightarrow$ für alle $i \in I$: $x \in X \setminus A_i$
$\Rightarrow$ $x \in X$ und für alle $i \in I$: $x \notin A_i$
$\Rightarrow$ $x \in X$ und $x \notin \bigcup_{i \in I}A_i$
$\Rightarrow$ $x \in X \setminus \left(\bigcup_{i \in I}A_i\right)=M$
Da man so für jedes $x \in N$ argumentieren kann, folgt $N \subset M$.
Also wie gesagt:
Zur eigenen Übung würde ich Dir vorschlagen, das ganze nochmal so zu rechnen, andernfalls solltest Du oben wenigstens Dir selbst verusuchen, immer klarzumachen, warum Du die $\gdw$ zeichen setzen darfst. Im Prinzip ist das nämlich das gleiche:
Wenn Du schreibst:
$x \in M \gdw x \in N$, so gilt das ja nur, wenn $N=M$. Die Folgerung $x \in M \Rightarrow x \in N$ steht für $M \subset N$, die Folgerung $x \in M \Leftarrow x \in N$ bzw $x \in N \Rightarrow x \in M$ steht für $M \supset N$ bzw. $N \subset M$.
P.S.:
Vielleicht noch eine kleine Anmerkung zu Deiner Notation:
$x \in \bigcap_{i \in I} (A_i \cup X) \gdw x \in \{x|x \in A_i \vee x \in X \mbox{ für alle } i \in I \}$
Da ist es natürlich schlecht, dass Du linkerhand das Element mit $x$ genauso bezeichnest, wie Du die Elemente in der Mengenklammer bezeichnest. Da könntest Du z.B. schreiben:
$x_0 \in \bigcap_{i \in I} (A_i \cup X) \gdw x_0 \in \{x|x \in A_i \vee x \in X \mbox{ für alle } i \in I \}$
oder meinetwegen anstatt $x_0$ auch $z$ oder sonstwas schreiben (oder meinetwegen es auch beibehalten, und in der Mengenklammer die Veränderung vornehmen:
$x \in \bigcap_{i \in I} (A_i \cup X) \gdw x \in \{z|z \in A_i \vee z \in X \mbox{ für alle } i \in I \}$ ).
Es ist nicht falsch, wie Du es notiert hast, kann aber ein wenig verwirren, und das sollte man vermeiden ;-)
Gruß,
Marcel
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:00 Sa 22.03.2008 | | Autor: | freshstyle |
Hallo.
besten dank,
das bringt mich ein wenig weiter .
MFG freshstyle
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