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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Fr 16.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | (a) Beweisen Sie, dass zwei Mengen gleich sind, wenn jede in der jeweils Anderen enthalten ist.
(b) Beweisen Sie, dass die Enthaltenseinsbeziehung von Mengen transitiv ist, d.h. (A [mm] \subseteq [/mm] B und B [mm] \subseteq [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] C |
Hallo,
ich mache gerade eine Übung und würde mich freuen, wenn jemand mir weiterhelfen kann.
a) Bemerkung aus dem Script: Man beachte, dass damit zwei Mengen gleich sind, wenn sowohl M [mm] \Rightarrow [/mm] N, als auch N [mm] \Rightarrow [/mm] M gilt.
Reicht das schon aus?
b) Muss ich das so ähnlich machen wie zum Beispiel wenn ich das Kommutativgesetz bei Mengen beweise.
Also
x [mm] \in [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B dann ist x [mm] \in [/mm] A od. x [mm] \in [/mm] B
x [mm] \in B\subseteq [/mm] C dann ist x [mm] \in [/mm] B od. x [mm] \in [/mm] C
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] C
ich denke mal ich liege falsch :S
Lg Melisa
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Hi Melisa,
> (a) Beweisen Sie, dass zwei Mengen gleich sind, wenn jede
> in der jeweils Anderen enthalten ist.
> (b) Beweisen Sie, dass die Enthaltenseinsbeziehung von
> Mengen transitiv ist, d.h. (A [mm]\subseteq[/mm] B und B [mm]\subseteq[/mm]
> C) [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] C
> Hallo,
>
> ich mache gerade eine Übung und würde mich freuen, wenn
> jemand mir weiterhelfen kann.
>
> a) Bemerkung aus dem Script: Man beachte, dass damit zwei
> Mengen gleich sind, wenn sowohl M [mm]\Rightarrow[/mm] N, als auch N
> [mm]\Rightarrow[/mm] M gilt.
>
> Reicht das schon aus?
Hier ist vermutlich $\ x [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] N $ oder aber $\ M [mm] \subset [/mm] N $ gemeint.
du sollst folgende Aussage beweisen: $\ A = B [mm] \gdw [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \wedge [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A $
Fange an mit:
Sei $\ A [mm] \subseteq [/mm] B $.
Dann gilt für alle $\ x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B $
Sei $\ B [mm] \subseteq [/mm] A $.
Dann gilt für alle $\ x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A $
Da für jedes Element aus $\ A $ und $\ B $ gilt, dass sie in beiden Mengen enthalten sind, gilt $\ A = B $
Fertig.
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> b) Muss ich das so ähnlich machen wie zum Beispiel wenn
> ich das Kommutativgesetz bei Mengen beweise.
>
> Also
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> x [mm]\in[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] B dann ist x [mm]\in[/mm] A od. x [mm]\in[/mm] B
>
> x [mm]\in B\subseteq[/mm] C dann ist x [mm]\in[/mm] B od. x [mm]\in[/mm] C
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] C
>
>
Nicht ganz.
$\ A [mm] \subseteq [/mm] B $ bedeutet, dass $\ A $ Teilmenge von $\ B $ ist.
Ich würde es ähnlich machen, wie bei der Transitivität von Relationen.
Also:
Sei $\ A [mm] \subseteq [/mm] B $ und $\ B [mm] \subseteq [/mm] C $.
Zu zeigen gilt: $\ A [mm] \subseteq [/mm] C $
(Das kannst du genauso machen wie bei Aufgabe a )
Hilfe für dich: $\ M [mm] \subseteq [/mm] N [mm] :\gdw \forall [/mm] \ x [mm] \in [/mm] A : x [mm] \in [/mm] B $ (In Worten: für alle $\ x [mm] \in [/mm] A $ gilt $\ x [mm] \in [/mm] B $.
Bsp: $\ M = [mm] \{1,2\} [/mm] $, $\ N = [mm] \{1,2,3\} [/mm] $ also $\ M [mm] \subseteq [/mm] N $
Aber $\ M = [mm] \{1,2,3\} [/mm] $, $\ N' = [mm] \{2,3,4\} [/mm] $ also $\ M [mm] \not\subseteq [/mm] N $ weil $\ 1 [mm] \in [/mm] M_ $ aber $\ 1 [mm] \not\in [/mm] N'$
Viel Erfolg!
>
>
>
> Lg Melisa
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Fr 16.04.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo Chopsuey,
danke für deine Hilfe!
Nochmal zu b)
Meins du das so:
Sei A [mm] \subseteq [/mm] B
Dann gilt für alle x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B
Sei B [mm] \subseteq [/mm] C
Dann gilt für alle x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] C
Da x Element aus A und C ist, folgt A [mm] \subseteq [/mm] C
Lg Melisa
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Hi Melisa,
> Hallo Chopsuey,
>
> danke für deine Hilfe!
>
> Nochmal zu b)
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> Meins du das so:
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> Sei A [mm]\subseteq[/mm] B
>
> Dann gilt für alle x [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] B
>
> Sei B [mm]\subseteq[/mm] C
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> Dann gilt für alle x [mm]\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] C
>
> Da x Element aus A und C ist, folgt A [mm]\subseteq[/mm] C
>
Ja, im Grunde schon.
Am besten pickst du dir einfach die zwei Konklusionen und fügst sie zusammen.
Du hast $\ [mm] \underbrace{ x \in A \Rightarrow \green{ x \in B}}_{A \subseteq B} [/mm] $ und $\ [mm] \underbrace{ \green{ x \in B} \Rightarrow x \in C}_{B \subseteq C} [/mm] $ also folglich $\ [mm] \underbrace{ x \in A \Rightarrow x \in C}_{A \subseteq C} [/mm] $
Was zu beweisen war 
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> Lg Melisa
>
Grüße
ChopSuey
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