Mengen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo, Warum ist diese Aussgae Falsch?:
[mm] \existsy\forallx [/mm] : x<y
Wir bewegen uns im Bereich der Natürlichen Zahlen, übersetzt heisst das ja so viel wie:
Es gibt mind1 y für alle x mit der Eigenschaft x ist kleiner als y.
Ist das soweit richtig?
|
|
| |
|
Huhu,
vorweg korrigier ich erstmal deine Aufgabe.
Du meintest sicherlich:
[mm] $\exists\,y\; \forall\, x\, :\; [/mm] x<y$
> Wir bewegen uns im Bereich der Natürlichen Zahlen,
> übersetzt heisst das ja so viel wie:
> Es gibt mind1 y für alle x mit der Eigenschaft x ist
> kleiner als y.
genauer: Mit der Eigenschaft: Für alle x ist x kleiner als y.
Nenn mir doch mal so ein y.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
dann könnte ich ja einfach sagen X=2 und Y=1
x<y
2<1 ------------->wiederspruch
würde das als Begründung ausreichen!
|
|
|
| |
|
Huhu,
> dann könnte ich ja einfach sagen X=2 und Y=1
könntest du, ich behaupte nun aber einfach, dann gibts halt nen anderes y!
Ums zu widerlegen müsstest du das Gegenteil beweisen.
Wie sieht die Aussage denn negiert aus?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
[mm] \forall y\exists [/mm] x x<y
so ist die aussage negiert oder muss ich das kleiner gleich zeichen mit umdrehen?
Jetzt heisst es für alle y gibt es ein x was kleiner ist als y
Ist das soweit richtig?
|
|
|
| |
|
Huhu,
> [mm]\forall y\exists[/mm] x x<y
>
> so ist die aussage negiert oder muss ich das kleiner gleich
> zeichen mit umdrehen?
Du musst natürlich die Aussage selbst auch noch negieren. Die Quantoren sind korrekt.
Aber aufpassen: Was ist die negation von "<" ?
Tip: Es ist NICHT ">" 
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
[mm] \forall(y)\exists(x) [/mm] x<y
so ist die aussage negiert oder muss ich das kleiner gleich zeichen mit umdrehen?
Jetzt heisst es für alle y gibt es ein x was kleiner ist als y
Ist das soweit richtig?
< ist das verneint [mm] \le
[/mm]
|
|
|
| |
|
Huhu,
> < ist das verneint [mm]\le[/mm]
Nunja..... nein. Wenn du [mm] \ge [/mm] meintest, hättest du recht gehabt.
Fassen wir nun also die Negation zusammen:
[mm] $\forall\,y\;\exists\,x\,:\; [/mm] x [mm] \ge [/mm] y$
Stimmt diese Aussage nun?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
nein, denn ich würde nicht nur einen x wert finden der der größer ist als alle y werte.
Was kann ich dann in diesem Fall sagen:
[mm] \forall [/mm] y [mm] \exists [/mm] x : x<y
Wäre auch falsch denn ich fürde ja im bereich der natürlichen zahlen einen y Wert finden der kleiner als dieser eine x Wer ist.
Richtig ?
|
|
|
| |
|
Huhu,
> nein, denn ich würde nicht nur einen x wert finden der der
> größer ist als alle y werte.
das ist leider falsch. Du hast die Reihenfolge der Quantoren nicht berücksichtigt.
Schauen wir uns die negierte Aussage nochmal an:
$ [mm] \forall\,y\;\exists\,x\,:\; [/mm] x [mm] \ge [/mm] y $
Hier ist jetzt die Frage: Existiert zu jedem y ein x, so dass $x [mm] \ge [/mm] y$.
D.h. du nimmst dir ein beliebiges y und schaust DANN, ob es ein x gibt, so dass [mm] $x\ge [/mm] y$.
Deine Aussage wäre richtig gewesen, wenn die Aussage gelautet hätte:
[mm] $\exists\,x\;\forall\,y\,:\; [/mm] x [mm] \ge [/mm] y $
Hier müsstest du dir ERST dein x suchen, was dann FÜR ALLE y gelten müsste. Da gibt es natürlich kein!
Ist dir der Unterschied jetzt klar?
[mm] $\forall\,y\;\exists\,x$ [/mm] heisst also: "Suche zu jedem y ein x".
[mm] $\exists\,x\;\forall\,y$ [/mm] heisst also: "Suche ein x, so dass für JEDES y"
> Was kann ich dann in diesem Fall sagen:
>
> [mm]\forall[/mm] y [mm]\exists[/mm] x : x<y
>
> Wäre auch falsch denn ich fürde ja im bereich der
> natürlichen zahlen einen y Wert finden der kleiner als
> dieser eine x Wer ist.
> Richtig ?
Dass die Aussage falsch ist, ist erstmal richtig.
Aber gleich die nächste Frage hintenran. Wie kann denn eine Aussage falsch sein und ihre Negation ebenfalls?
In der Logik gibt es nur "Richtig" und "Falsch".
Wenn man sich eine eine Aussage anschaut und ihre Negation muss eine davon wahr und eine falsch sein.
Beide Falsch oder beide Richtig geht nicht.
MFG,
Gono.
|
|
|
|
