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| Aufgabe | Sei X eine Menge, I eine Indexmenge, [mm] (A_{i})_{i \in I} [/mm] eine Familie von Mengen in X. Beweisen Sie das De Morgansche Gesetz:
X [mm] \backslash \bigcap_{ i \in I } A_{i} [/mm] = [mm] \bigcup_{ i \in I } [/mm] ( X [mm] \backslash A_{i} [/mm] ) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Hallo =),
ich habe hier eine Aufgabe zu der ich glaube die Lösung zu haben, aber ich weiß nicht, ob das so geht. Deswegen hoffe ich auf Hilfe.
x [mm] \in [/mm] X [mm] \backslash \bigcap_{ i \in I } A_{i} \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in \bigcap_{ i \in I } A_{i} \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge \exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I: x [mm] \not\in A_{i} \gdw \exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I: x [mm] \not\in A_{i} \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \gdw \bigcup_{ i \in I } [/mm] ( X [mm] \backslash A_{i} [/mm] )
Und jetzt meine Frage: Ist das so richtig?
Danke für eure Hilfe =)!
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Oh nein, ich habe das ins falsche Forum gepostet. Eigentlich sollte das in das Forum Analysis Hochschule. Keine Ahnung, wie ich das rückgängig machen bzw. ändern kann =(.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Di 23.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Milchschelle,
> Und jetzt meine Frage: Ist das so richtig?
Ich denke schon! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Letztlich ist es Geschmackssache des Korrigierenden, ob er Einzelschritte näher begründet haben möchte.
Z.B. zwischen
x [mm]\in[/mm] X [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in \bigcap_{ i \in I } A_{i}[/mm]
und
x [mm]\in[/mm] X [mm]\wedge \exists[/mm] i [mm]\in[/mm] I: x [mm]\not\in A_{i}[/mm]
könnte man noch
[mm] $x\in X\wedge\neg\forall i\in I\colon x\in A_i$
[/mm]
einfügen.
Die Begründung des Schrittes
$x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge \exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I: x [mm] \not\in A_{i} \gdw \exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I: x [mm] \not\in A_{i} \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] X$
ist dir hoffentlich klar?
Ich habe mir dazu Hinrichtung und Rückrichtung getrennt überlegt und dabei jeweils festgestellt, dass das [mm] $i\in [/mm] I$, dass auf der einen Seite das Gewünschte tut, auch das Gewünschte auf der anderen Seite tut.
Viele Grüße
Tobias
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Ist die Begründung des von dir genannte Schrittes nicht einfach die Kommutativität von [mm] "\wedge [/mm] " ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Di 23.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ist die Begründung des von dir genannte Schrittes nicht
> einfach die Kommutativität von [mm]"\wedge[/mm] " ?
Ja
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Di 23.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ist die Begründung des von dir genannte Schrittes nicht
> einfach die Kommutativität von [mm]"\wedge[/mm] " ?
Je nachdem, ob man
[mm] $\exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I: x [mm] \not\in A_{i} \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] X$
liest als
(*) [mm] $(\exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I: x [mm] \not\in A_{i}) \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] X$
oder
(**) [mm] $\exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I: (x [mm] \not\in A_{i} \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] X)$.
Falls du (*) meintest: Dann hast du Recht. Der von mir genannte Schritt ist nichts anderes als die Kommutativität von [mm] $\wedge$. [/mm] Allerdings benötigst du für deinen letzten Schritt dann letztlich noch [mm] (*)$\gdw$(**).
[/mm]
Falls du (**) meintest: Dann ist der von mir genannte Schritt keine einfache Anwendung der Kommutativität von [mm] $\wedge$.
[/mm]
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Danke für die Antworten =).
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Mir ist dieser schritt nicht ganz klar, nochmal von Anfang an:
$X [mm] \backslash \bigcap_{ i \in I } A_{i} [/mm] $
[mm] $\gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \backslash \bigcap_{ i \in I } A_{i} [/mm] $ - Definition X
[mm] $\gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in \bigcap_{ i \in I } A_{i}$ [/mm] - Definition [mm] \backslash
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] X) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \not\in \forall_{ i \in I }:x \in A_{i})$ [/mm] -Definition [mm] $\bigcap_{ i \in I } A_{i}$
[/mm]
hier weiß ich nicht wie ich zu dem nächsten zwischenschrtitt komme:
$ [mm] \exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I: x [mm] \not\in A_{i} \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] X $
Mir ist klar das für den ersten term die negation angewand wurde, aber warum nicht für den zweiten?
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Hallo Ifeeldumb und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Mir ist dieser schritt nicht ganz klar, nochmal von Anfang
> an:
>
> [mm]X \backslash \bigcap_{ i \in I } A_{i}[/mm]
> [mm]\gdw x \in X \backslash \bigcap_{ i \in I } A_{i}[/mm] - Definition X
??? Da steht Quatsch, eine Menge soll äquivalent zu einer Aussage sein?
Du fängst an mit "Sei [mm]x\in X\setminus\bigcap\limits_{i\in I}A_i[/mm] "
> [mm]\gdw x \in X \wedge x \not\in \bigcap_{ i \in I } A_{i}[/mm] - Definition [mm]\backslash[/mm]
> [mm]\gdw (x \in X) \wedge (x \not\in \forall_{ i \in I }:x \in A_{i})[/mm]
Ne, das ist Kuddelmuddel. schreibe mal [mm]x\not\in\bigcap\limits_{i\in I}A_i[/mm] als [mm]\neg\left( \ x\in\bigcap\limits_{i\in I}A_i \ \right)[/mm]
Und wenn x in dem Schnitt der [mm]A_i[/mm] ist, muss es in jedem der [mm]A_i[/mm] sein, also ist
[mm]\neg\left( \ x\in\bigcap\limits_{i\in I}A_i \ \right) \ \gdw \ \neg\left( \ \forall i\in I:x\in A_i \ \right)[/mm]
Und den letzteren Klammerausdruck kannst du doch ganz schematisch negieren: Quantor umdrehen und die Aussage negieren:
[mm]\gdw \ \exists i\in I:x\not\in A_i[/mm]
Das vorne stehende [mm]x\in X[/mm] schleppst du mit und hast schließlich
[mm]\ldots \ \gdw \ x\in X \ \wedge \ \exists i\in I:x\not\in A_i[/mm]
> -Definition [mm]\bigcap_{ i \in I } A_{i}[/mm]
>
> hier weiß ich nicht wie ich zu dem nächsten
> zwischenschrtitt komme:
> [mm]\exists i \in I: x \not\in A_{i} \wedge x \in X[/mm]
> Mir ist
> klar das für den ersten term die negation angewand wurde,
Das war oben der zweite Term (Aussage), aber das log. und ist kommutativ:
[mm]p\wedge q \ \equiv \ q\wedge p[/mm]
> aber warum nicht für den zweiten?
Das war oben der erste Term, der ja unverändert mitgeschleppt wird, die Umformung wurde ja nur auf die Aussage [mm]x\not\in\bigcap\limits_{i\in I}A_i[/mm] angewendet ...
Gruß
schachuzipus
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