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| Aufgabe | Geben Sie an, ob die folgenden Mengen nach unten beschränkt sind, und ob sie nach oben beschränkt sind. Geben Sie, soweit möglich, auch Infimum, Supremum, Minimum und Maximum der Mengen an.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo liebe Leute,
könnte sich jemand die Lösung der Aufgabe (s. Anhang) angucken und mir ggf. erklären, was und wieso ich falsch habe. Bin mir ausserdem nicht ganz sicher, ob ich bei manchen Beispielen das Minimum oder doch das Infimum haben soll.
a) nach unten beschränkt, nach oben unbeschränkt, infimum/minimum 1
b) nach oben und unten unbeschränkt
c) nach oben und unten unbeschränkt
d) nach unten beschränkt, nach oben unbeschränkt, infimum/minimum 1
e) nach oben unbeschränkt, nach unten beschränkt, infimum/minimum 1
f) nach oben unbeschränkt, nach unten beschränkt mit infimum/minimum 0
g) nach oben und unten unbeschränkt
h) nach unten beschränkt mit minimum = -2, nach oben beschränkt mit maximum = 8
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Mengen-BeschraenktUnbeschraenkt-MaxMin-InfSup habe aber dort keine Hilfe bekommen.
Vielen Dank!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hier die Aufgabe: http://s13.postimage.org/5lgmwdmnb/Menge.png
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Schreib' doch zu Deinen Lösungen jeweils dazu, welche Menge Du gerade betrachtest.
Das ist für potentielle Antwortgeber entschieden bequemer, als irgendwelche Anhänge oder Links.
LG Angela
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> Geben Sie an, ob die folgenden Mengen nach unten
> beschränkt sind, und ob sie nach oben beschränkt sind.
> Geben Sie, soweit möglich, auch Infimum, Supremum, Minimum
> und Maximum der Mengen an.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo liebe Leute,
>
> könnte sich jemand die Lösung der Aufgabe (s. Anhang)
> angucken und mir ggf. erklären, was und wieso ich falsch
> habe. Bin mir ausserdem nicht ganz sicher, ob ich bei
> manchen Beispielen das Minimum oder doch das Infimum haben
> soll.
>
> a) nach unten beschränkt, nach oben unbeschränkt,
> infimum/minimum 1
Hallo,
es ist x=0.5 doch auch in der Menge.
>
> b) nach oben und unten unbeschränkt
Sag mir ein Element, welches in der Menge ist und kleiner als -10!
>
> c) nach oben und unten unbeschränkt
Ja.
>
> d) nach unten beschränkt, nach oben unbeschränkt,
> infimum/minimum 1
Wenn die 0 bei Euch zu den natürlichen Zahlen gehört, stimmt das.
>
> e) nach oben unbeschränkt, nach unten beschränkt,
> infimum/minimum 1
Ich denke, daß dort [mm] z\in \IR [/mm] mit z>0 gemeint ist, also z.B. [mm] 0.5^1 [/mm] in der Menge ist.
>
> f) nach oben unbeschränkt, nach unten beschränkt mit
> infimum/minimum 0
Wenn 0 das Minimum ist, muß für ein n dieser Wert angenommen werden.
Für welches n ist das der Fall?
Wenn die Menge nach oben unbeschränkt ist, sollte es Dir gelingen, mir ein n zu sagen, für welches [mm] \bruch{1}{1+n^2} [/mm] größer ist als 31.
>
> g) nach oben und unten unbeschränkt
ja.
>
> h) nach unten beschränkt mit minimum = -2, nach oben
> beschränkt mit maximum = 8
Ja.
LG Angela
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/Mengen-BeschraenktUnbeschraenkt-MaxMin-InfSup
> habe aber dort keine Hilfe bekommen.
>
> Vielen Dank!
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Vielen herzlichen Dank! Kurze Zwischenfrage zu e) - dann wäre also das Infimum 0, nicht 1, oder? Ich finde die Aufgabe etwas verwirrend, da ja N und nicht No gemeint ist.
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> Vielen herzlichen Dank! Kurze Zwischenfrage zu e) - dann
> wäre also das Infimum 0, nicht 1, oder? Ich finde die
> Aufgabe etwas verwirrend, da ja N und nicht No gemeint ist.
>
Hallo,
es geht ja um [mm] \{z^n| n\in \IN, z>0}.
[/mm]
Ja, bei Euch scheint [mm] \IN [/mm] die 0 nicht zu enthalten.
In der Menge ist etwa [mm] 0.9^{12345} [/mm] enthalten,
aber auch 0.001, 0.000000000001 und 0.00000000000000000000000001.
Damit, daß 0 Infimum ist, liegst Du richtig.
(Wäre für z gesagt, daß es eine natürlich Zahl ist, dann wäre das Infimum in der Tat die 1.)
LG Angela
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Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung! Dann wäre bei a) ebenfalls 0 Infimum, man hätte allerdings kein Minimum, weil es ja keine eindeutige Zahl gibt, die "am kleinsten" wäre? Oder verstehe ich das falsch? Und die Menge wäre nach oben unbeschränkt.
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Hallo,
> Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung! Dann wäre bei
> a) ebenfalls 0 Infimum, man hätte allerdings kein Minimum,
> weil es ja keine eindeutige Zahl gibt, die "am kleinsten"
> wäre? Oder verstehe ich das falsch? Und die Menge wäre
> nach oben unbeschränkt.
Das ist alles genau so, wie du schreibst. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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Dankeschön! Und bei d) (wenn die 0 nicht zu N gehören würde), hätte man die 0 als Infimum UND Minimum, oder?
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Hallo,
> Dankeschön! Und bei d) (wenn die 0 nicht zu N gehören
> würde), hätte man die 0 als Infimum UND Minimum, oder?
Nicht die 0, sondern eher die 2. 
Gruß, Diophant
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Danke. Achso, klar, denn sonst wäre es ja gar keine natürliche Zahl...
Ich verstehe allerdings bei b) wieso die Menge beschränkt sein soll. Für mich kann man für x jede Zahl haben, egal ob Bruch oder ganze Zahl, negativ oder positiv, es käme im Endeffekt eine rationale Zahl heraus. Oder hängt das irgendwie damit zusammen, dass Quadrate im Reellen stets nicht negativ sind?
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> Ich verstehe allerdings bei b)
nicht
> wieso die Menge beschränkt
> sein soll. Für mich kann man für x jede Zahl haben, egal
> ob Bruch oder ganze Zahl, negativ oder positiv, es käme im
> Endeffekt eine rationale Zahl heraus. Oder hängt das
> irgendwie damit zusammen, dass Quadrate im Reellen stets
> nicht negativ sind?
Hallo,
ja, natürlich.
in der Menge sind alle Quadrate reeller Zahlen, und die sind nunmal nichtnegativ.
LG Angela
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Danke! Aber wie lautet dann die richtige Antwort? Für mich: nach oben und unten unbeschränkt. Denn wie gesagt - da kann man jede beliebige Zahl einsätzen, es käme trotzdem was positives heraus oder 0, da es ein Quadrat ist.
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> Danke! Aber wie lautet dann die richtige Antwort? Für
> mich: nach oben und unten unbeschränkt.
Hallo,
die b)?
> Denn wie gesagt -
> da kann man jede beliebige Zahl einsätzen, es käme
> trotzdem was positives heraus oder 0, da es ein Quadrat
> ist.
Eben. Da ist sie ja wohl nach unten beschränkt, z.B. durch [mm] -\pi.
[/mm]
Oder hast Du eine Idee für ein x mit [mm] x^2<-\pi [/mm] ?
LG Angela
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Vielen Dank! Das ist mir klar, da ja [mm] \pi [/mm] (oder z.B. Wurzel aus 2) nicht zu den reellen Zahlen gehört. Würde es also ausreichen, wenn ich aufschreiben würde, dass die Menge nach unten beschränkt ist (mit [mm] \pi [/mm] als Beispiel)? Infimum kann man da nicht angeben, oder?
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> Vielen Dank! Das ist mir klar, da ja [mm]\pi[/mm] (oder z.B. Wurzel
> aus 2) nicht zu den reellen Zahlen gehört.
Hallo,
das wäre mir neu.
> Würde es also
> ausreichen, wenn ich aufschreiben würde, dass die Menge
> nach unten beschränkt ist (mit [mm]\pi[/mm] als Beispiel)?
Ich werde unsicher. Wir reden wirklich über b) gerade?
[mm] \pi [/mm] ist doch keine untere Schranke der Menge: es ist z.B. [mm] 1^2<\pi.
[/mm]
Es ist allerdings -þi eine untere Schranke, wenn auch nicht die größte untere Schranke.
> Infimum
> kann man da nicht angeben, oder?
Doch.
Das Infimum ist die größte untere Schranke.
[mm] -\pi [/mm] ist untere Schranke, aber nicht die größte, denn -1 ist auch eine untere Schranke.
0.5 hingegen ist keine untere Schranke.
Die Menge hat sogar ein Minimum!
Am besten markierst Du auf dem Zahlenstrahl mal all jene zahlen, die Quadrate einer anderen Zahl sind.
LG Angela
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