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Mengen bestimmen im Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:39 Di 04.12.2012
Autor: Fr91

Aufgabe
Ein Intervall in [mm] \IR [/mm] ist eine Teilmenge der Form [a,b]:={x [mm] \in \IR|a\le [/mm] x [mm] \le [/mm] b}, wobei a ≤ b reelle Zahlen sind.

(a) Es sei f : [mm] \IR [/mm] → [mm] \IR; [/mm] x [mm] \mapsto x^{2} [/mm] − 1. Bestimmen Sie mit kurzer Begru ̈ndung folgende Mengen:
f([−1,1]), f([0,2]), f−1([0,1]), f−1(0).

(b) Es sei g : [mm] \IR^{2} [/mm] → [mm] \IR; [/mm] (x, y) [mm] \mapsto [/mm]  xy. Bestimmen Sie mit kurzer Begru ̈ndung
folgende Mengen:
g([0, 1] × [0, 1]), g−1({z ∈ R | z > 0}).




Hallo!

Jetzt stelle ich mal meine erste eigene Frage hier ein ;-)
Meine Mathe-Gruppe und ich sind an der Aufgabe Grade am verzweifeln.

Ich habe absolut keine Idee, was ich tun soll - und wie ;-)

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Danke!


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Mengen bestimmen im Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Di 04.12.2012
Autor: angela.h.b.


> Ein Intervall in [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

ist eine Teilmenge der Form [a,b]:={x

> [mm]\in \IR|a\le[/mm] x [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

b}, wobei a ≤ b reelle Zahlen sind.

>  
> (a) Es sei f : [mm]\IR[/mm] → [mm]\IR;[/mm] x [mm]\mapsto x^{2}[/mm] − 1.
> Bestimmen Sie mit kurzer Begru ̈ndung folgende Mengen:
>  f([−1,1]), f([0,2]), f−1([0,1]), f−1(0).
>  
> (b) Es sei g : [mm]\IR^{2}[/mm] → [mm]\IR;[/mm] (x, y) [mm]\mapsto[/mm]  xy.
> Bestimmen Sie mit kurzer Begru ̈ndung
>  folgende Mengen:
>  g([0, 1] × [0, 1]), g−1({z ∈ R | z > 0}).

>  
>
> Hallo!
>  
> Jetzt stelle ich mal meine erste eigene Frage hier ein ;-)
>  Meine Mathe-Gruppe und ich sind an der Aufgabe Grade am
> verzweifeln.
>  
> Ich habe absolut keine Idee, was ich tun soll - und wie
> ;-)
>  
> Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
>  

Hallo,

[willkommenmr].

Fangen wir doch mit Aufg. (a) an.

Gesucht ist f([-1,1]).

Den Graphen von f habt Ihr gezeichnet?

Malt nun den Teil des Graphen, welcher über dem Intervall [-1,1] liegt, farbig an und markiert dann auf der y-Achse, welche Werte vorkommen.

Das markierte intervall auf der y-Achse ist die Menge f([-1,1]), nämlich die Menge, auf welche [-1,1] vermöge f abgebildet wird.

Mit [mm] f^{-1} [/mm] von einer Menge ist das Urbild dieser Menge gemeint.

In [mm] f^{-1}([0,1]) [/mm] sind all diejenigen Zahlen, deren Funktionswerte im Intervall [0,1] liegen.

Ich denke, daß Ihr mit diesen Hinweisen schon ein bißchen weiterkommen werdet.

LG Angela


> Danke!
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>
> Edit: Achtung, die Fälligkeit habe ich irgendwie noch
> nicht ganz korrekt eingestellt.  Bräuchte so schnell wie
> möglich - noch heute - einen Tipp ;) danke


Bezug
                
Bezug
Mengen bestimmen im Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:19 Di 04.12.2012
Autor: Fr91

Also, wir haben das jetzt so verstanden:

Unsere Zeichnung:
http://www.quickmath.com/webMathematica3/quickmath/basic.jsp#c=draw_basicgraphequation&v1=y%3Dx%5E2-1&v2=-5&v3=5&v4=-1&v5=1

f(-1) = [mm] (-1)^{2} [/mm] - 1 = 0
f(1) = [mm] 1^{2} [/mm] - 1 = 0

Dementsprechend ist die gesuchte Menge das Intervall von f(x) = [mm] x^{2} [/mm] - 1, x>0 ?

Also [mm] \integral_{-1}^{1}{x^{2}-1} [/mm] ?

Ich/Wir fürchten, dass das falsch ist :-(



Bezug
                        
Bezug
Mengen bestimmen im Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Di 04.12.2012
Autor: angela.h.b.


> Also, wir haben das jetzt so verstanden:
>  
> Unsere Zeichnung:
>  
> http://www.quickmath.com/webMathematica3/quickmath/basic.jsp#c=draw_basicgraphequation&v1=y%3Dx%5E2-1&v2=-5&v3=5&v4=-1&v5=1

Hallo,

>  
> f(-1) = [mm](-1)^{2}[/mm] - 1 = 0

f(-0.9)=0.81-1=-0.19
f(-0.8)=0.64=0-.36
[mm] \vdots [/mm]
f(-0.2)=0.02-1=-0.98
f(-0.1)=0.01-1=-0.99
f(0)=0-1=-1
f(0.1)=-0.99
[mm] \vdots [/mm]
f(0.9)=-0.19

>  f(1) = [mm]1^{2}[/mm] - 1 = 0

f([-1,1]) umfaßt all die Funktionswerte, die rauskommen, wenn man in die Funktion sämtliche Zahlen zwischen -1 und 1 einsetzt.
Exemplarisch hatte ich einige oben aufgezählt.

Insgesamt stellt man fest:
setze ich für x alle Zahlen zwischen -1 und 1 ein, dann kommen für f(x) alle Zahlen zwischen 0 und -1 raus.
Also f([-1,1])=[-1,0].


Übrigens: [a,b] ist die Menge, die alle Zahlen zwischen a und b inkl. der beiden Randpunkte a und b enthält.
Möglicherweise war das bisher nicht klar.

>  
> Dementsprechend ist die gesuchte Menge das Intervall von
> f(x) = [mm]x^{2}[/mm] - 1, x>0 ?

???

>  
> Also [mm]\integral_{-1}^{1}{x^{2}-1}[/mm] ?

Kinners! Integrale hattet Ihr doch noch gar nicht, oder?
Immer nur das nehmen, was dran war!

>  
> Ich/Wir fürchten, dass das falsch ist :-(

Ja.

LG Angela

>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Mengen bestimmen im Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 Di 04.12.2012
Autor: Fr91

Okay, also absolut dran vorbei.

f([-1,1]) => [-1,0]

Ist das so korrekt?

Bezug
                                        
Bezug
Mengen bestimmen im Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 Di 04.12.2012
Autor: fred97


> Okay, also absolut dran vorbei.
>  
> f([-1,1]) => [-1,0]
>  
> Ist das so korrekt?

Nein. Sondern  f([-1,1]) = [-1,0]

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Mengen bestimmen im Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:19 Di 04.12.2012
Autor: Fr91

Ja, klar. Meinte ich ja. ;)

Und wie wird das dann geschrieben?

f([-1,1]) = { x [mm] \in \IR [/mm] | -1  [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0 }
Oder lieber
f([-1,1]) = [-1,0] ?

Vielen Dank!!!

Bezug
                                                        
Bezug
Mengen bestimmen im Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Di 04.12.2012
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Ja, klar. Meinte ich ja. ;)
>  
> Und wie wird das dann geschrieben?
>
> f([-1,1]) = { x [mm]\in \IR[/mm] | -1  [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

0 }

>  Oder lieber
>  f([-1,1]) = [-1,0] ?

Beides ist O.K.

FRED

>  
> Vielen Dank!!!


Bezug
                                                                
Bezug
Mengen bestimmen im Intervall: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:23 Di 04.12.2012
Autor: Fr91

Super, ihr habt uns sehr geholfen, vielen Dank!

Bezug
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