Mengen in Komplexer Zahleneben < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Sa 06.11.2010 | | Autor: | nomara |
| Aufgabe | Gegeben ist die Menge
M1 =
[mm] \{z \in C| |z + i| + |iz − 1| ≦ 4\}
[/mm]
in der komplexen Zahlenebene. Skizzieren Sie M1 |
Hallo,
ich habe zu der Aufgabe folgende Lösung:
Es ist M1 = [mm] \{x + yi | x^2 + (y + 1)^2 ≦ 4\} [/mm] die Kreisscheibe mit Radius 2 und dem Mittelpunkt −i ,
wobei der Rand Bestandteil der Menge ist.
Ich habe jedoch ein Problem dieses Ergebnis zu erhalten. Hier mein Rechenweg und Ergebnis:
1. ich habe folgendes angenommen:|z+i|+|iz-1|>=|(z+i)+(iz-1)|
folglich:
=|(x+iy+i)+(i*(x+iy)-1)|
...zusammengefasst
=|(x+i(y+1))+(ix-y-1)|
im nächsten schritt bin ich mir nicht sicher:
=|x-y-1+i*(y+x+1)|
Dann den Betrag berechnen also:
[mm] Wurzel((x-y-1)^2+(y+1+x)^2)<=4
[/mm]
quadrieren
[mm] (x-y-1)^2+(y+1+x)^2<=16
[/mm]
zusammenfassen...
Ergebniss: [mm] x^2+(y+1)^2=8
[/mm]
Kann mir jemand sagen wo meine Fehler liegen oder ob vielleicht sogar die vorgegebene Lösung falsch sein könnte?
#
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Sa 06.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist die Menge
> M1 =
> [mm]\{z \in C| |z + i| + |iz − 1| ≦ 4\}[/mm]
>
> in der komplexen Zahlenebene. Skizzieren Sie M1
>
> Hallo,
> ich habe zu der Aufgabe folgende Lösung:
>
> Es ist M1 = [mm]\{x + yi | x^2 + (y + 1)^2 ≦ 4\}[/mm] die
> Kreisscheibe mit Radius 2 und dem Mittelpunkt −i ,
> wobei der Rand Bestandteil der Menge ist.
>
> Ich habe jedoch ein Problem dieses Ergebnis zu erhalten.
> Hier mein Rechenweg und Ergebnis:
>
> 1. ich habe folgendes
> angenommen:|z+i|+|iz-1|>=|(z+i)+(iz-1)|
> folglich:
>
> =|(x+iy+i)+(i*(x+iy)-1)|
> ...zusammengefasst
> =|(x+i(y+1))+(ix-y-1)|
> im nächsten schritt bin ich mir nicht sicher:
> =|x-y-1+i*(y+x+1)|
> Dann den Betrag berechnen also:
> [mm]Wurzel((x-y-1)^2+(y+1+x)^2)<=4[/mm]
> quadrieren
> [mm](x-y-1)^2+(y+1+x)^2<=16[/mm]
> zusammenfassen...
> Ergebniss: [mm]x^2+(y+1)^2=8[/mm]
>
> Kann mir jemand sagen wo meine Fehler liegen oder ob
> vielleicht sogar die vorgegebene Lösung falsch sein
> könnte?
Hallo,
die vorgegebene Lösung ist richtig.
Dein Vorgehen ist unlogisch.
Du sollst eine konkrete Punktmenge bestimmen, und das erste, das du tust, ist eine Abschätzung über die Dreiecksungleichung durchzuführen und dann nur noch mit den abgeschätzetn Werten weiterzurechnen (die sicher für eine andere Punktmenge stehen).
Deshalb habe ich wenig Motivation, jetzt auch noch jeden deiner Schritte nachzurechnen.
Ich würde im Ansatz folgendes verwenden:
|iz-1|=|i(z+i)|
Da bei der Multiplikation komplexer Zahlen der Betrag des Produkts gleich dem Produkt der Beträge ist, gilt dabei
|iz-1|=|i|*|z+i|=1*|z+i|,
also
|iz-1|=|z+i|
Gruß Abakus
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> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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