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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Mi 27.11.2019 | | Autor: | bondi |
| Aufgabe | Sei $ [mm] D=\{(x,y) \in \IR^2 | \medspace 1 < |x| + |y| \le 2 \} [/mm] $
Ist D i) offen, ii) abgeschlossen, iii) beschränkt, iv) kompakt? |
Meine Lösung:
i) D ist 'nicht offen', denn bspw. $ ] [mm] \medspace 2-\epsilon, 2+\epsilon \medspace [/mm] [ [mm] \medspace \not\subseteq [/mm] D [mm] \medspace \forall \medspace \epsilon [/mm] > 0. $
ii) Aus i) weiß ich, dass D 'nicht offen' ist. Somit ist $ [mm] \IR \medspace \backslash\medspace [/mm] D $ 'offen'. Wenn das Komplement von D 'offen', so ist D 'abgeschlossen'.
An der Stelle widerspricht mir mein Kollege. Er sagt: Wenn D 'nicht offen', so ist das Komplement 'nicht abgeschlossen' und umgekehrt.
iii) D ist beschränkt, denn $ |x| [mm] \le2 \medspace \forall \medspace [/mm] x [mm] \in [/mm] D. $
iv) D ist kompakt, weil abgeschlossen und beschränkt.
Bin gespannt auf Euer Statement :)
LG, bondi
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Hiho,
> Sei [mm]D=\{(x,y) \in \IR^2 | \medspace 1 < |x| + |y| \le 2 \}[/mm]
Halten wir fest: D ist also eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$ [/mm] .
> i) D ist 'nicht offen', denn bspw. [mm]] \medspace 2-\epsilon, 2+\epsilon \medspace [ \medspace \not\subseteq D \medspace \forall \medspace \epsilon > 0.[/mm]
$] [mm] \medspace 2-\epsilon, 2+\epsilon \medspace [/mm] [$ ist offensichtlich ein Intervall, also eine Teilmenge von [mm] $\IR$, [/mm] D ist, wie oben erwähnt, eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Dein Aufschrieb [mm]] \medspace 2-\epsilon, 2+\epsilon \medspace [ \medspace \not\subseteq D [/mm] macht also gar keinen Sinn.
Deine Idee dahinter aber vllt. schon.
Du willst also einen gewählten Punkt nehmen und zeigen, dass in jeder [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um den Punkt einer liegt, der nicht in D liegt.
Dann schreibe das doch so auf!!
Sage, welchen Punkt du betrachtest, nimm eine beliebige [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] darum und zeige, dass dort ein Punkt drin liegt, der nicht in D liegt, indem du die Bedingung von D nachrechnest.
> ii) Aus i) weiß ich, dass D 'nicht offen' ist.
Wenn du das korrekt zeigst: Ja, D ist nicht offen.
> Somit ist [mm]\IR \medspace \backslash\medspace D[/mm] 'offen'. Wenn das
> Komplement von D 'offen', so ist D 'abgeschlossen'.
>
> An der Stelle widerspricht mir mein Kollege. Er sagt: Wenn
> D 'nicht offen', so ist das Komplement 'nicht
> abgeschlossen' und umgekehrt.
Dein Kollege hat recht.
Machen wir es einfach: Wir bleiben mal in [mm] $\IR$ [/mm] und betrachten das nicht-offene Intervall $[0,1[$.
Das Komplement dazu ist [mm] $\IR\setminus[0,1[\quad [/mm] = [mm] \quad]-\infty,0[ \;\cup\; [1,\infty[$
[/mm]
Siehst du selbst, dass das Komplement ebenfalls nicht offen ist? (Tipp: Leg mal eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um $1 [mm] \in \IR\setminus [/mm] [0,1[$
"offen" und "abgeschlossen" sind nicht zwei gegensätzliche Dinge.
Mengen können sowohl offen als auch abgeschlossen sein (z.B. [mm] $\IR$) [/mm] und andere sowohl nicht-offen als auch nicht-abgeschlossen (z.B. $[0,1[$ in [mm] $\IR$)
[/mm]
Das Komplement einer
- offenen Menge ist dann abgeschlossen
- abgeschlossenen Menge ist dann offen
- nicht-offenen Menge ist dann nicht-abeschlossen
- nicht-abeschlossenen Menge ist dann nicht-offen
> iii) D ist beschränkt, denn [mm]|x| \le2 \medspace \forall \medspace x \in D.[/mm]
Der Aufschrieb ist grottig. Du betrachtest doch Elemente im [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Zwar schreibt man später nur noch: "Sei [mm] $x\in\IR^2$, [/mm] wenn man weiß, was man tut, das bezweilfe ich aber bei dir.
Daher beantworte mal die Frage: Was soll denn $|x|$ sein für ein Element aus [mm] $\IR^2$?
[/mm]
> iv) D ist kompakt, weil abgeschlossen und beschränkt.
netter Versuch… den Satz brauchst du nachher zwar, aber das machen wir mal nochmal, wenn i), ii) und iii) sitzen.
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Mi 27.11.2019 | | Autor: | fred97 |
Gono hat ja schon alles Wichtige erzählt und einiges korrigiert.
Zwei Bemerkungen von mir.
1. Ist $ M [mm] \subset \IR^n$, [/mm] so gilt
M ist sowohl offen als auch abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] $M= [mm] \emptyset$ [/mm] oder $M= [mm] \IR^n.$
[/mm]
2. Manchmal gehts mit Folgen einfacher. Ist $ M [mm] \subset \IR^n$, [/mm] so gilt: M ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] der Limes jeder konvergenten Folge in M gehört zu M.
Damit aus gestattet schauen wir uns Deine Menge D und ihr Komplement $C:= [mm] \IR^2 \setminus [/mm] D$ an.
Wir setzen [mm] $u_n:=(1+\frac{1}{n}, [/mm] 0)$. Dann ist [mm] $(u_n)$ [/mm] eine konvergente Folge in D mit [mm] $\lim_{n \to \infty}u_n=(1,0)$. [/mm] Nun ist $(1,0) [mm] \notin [/mm] D$, also ist D nicht abgeschlossen.
Setzen wir [mm] $v_n:=(2+\frac{1}{n}, [/mm] 0)$. Dann ist [mm] $(v_n)$ [/mm] eine konvergente Folge in C mit [mm] $\lim_{n \to \infty}v_n=(2,0)$. [/mm] Nun ist $(2,0) [mm] \notin [/mm] C$, also ist C nicht abgeschlossen. Damit ist D nicht offen.
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