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Hallo zusammen
Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Seien X,Y Mengen und f:X-->Y eine Abbildung. Beweise:
a) Für beliebige Teilmengen C, D von Y gilt:
- [mm] f^{-1}(C \wedge [/mm] D) = [mm] f^{-1}(C) \wedge [/mm] f{-1}(D)
- [mm] f^{-1}(C \vee [/mm] D) = [mm] f^{-1}(C) \vee [/mm] f{-1}(D)
b) Für beliebige Teilmengen A, B von X gilt:
- f(A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \subset [/mm] f(A) [mm] \wedge [/mm] f(B)
- f(A [mm] \vee [/mm] B) = f(A) [mm] \vee [/mm] f(B)
c) f ist genau dann injektiv, wenn für alle Teilmengen A,B von X gilt:
f(A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \subset [/mm] f(A) [mm] \wedge [/mm] f(B)
Meine Lösungen dazu sind:
a) [mm] f^{-1}(C \wedge [/mm] D) = {x | f(x) [mm] \in [/mm] (C [mm] \wedge [/mm] D)}
= {x | f(x) [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] D)}
= {x | f(x) [mm] \in [/mm] (C [mm] \wedge [/mm] D)}
= {x [mm] \in f^{-1}(C) \wedge [/mm] x [mm] \in f^{-1}(D)}
[/mm]
= [mm] f^{-1}(C) \wedge f^{-1}(D)
[/mm]
[mm] f^{-1}(C \vee [/mm] D) = [mm] f^{-1}(C) \vee [/mm] f{-1}(D) zeigt man identisch wie oben.
Bei b) und c) habe ich keine Idee wie ich dies zeigen könnte...
Bitte um Hilfe!
Liebe Grüsse
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Hi,
> Hallo zusammen
> Ich muss folgende Aufgabe lösen:
>
> Seien X,Y Mengen und f:X-->Y eine Abbildung. Beweise:
> a) Für beliebige Teilmengen C, D von Y gilt:
> - [mm] f^{-1}(C \wedge [/mm] D) = [mm] f^{-1}(C) \wedge [/mm] f{-1}(D)
> - [mm] f^{-1}(C \vee [/mm] D) = [mm] f^{-1}(C) \vee [/mm] f{-1}(D)
Wenn C und D Mengen sind, dann meinst du wohl:
[mm] $f^{-1}(C \cap [/mm] D) = [mm] f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$
[/mm]
[mm] $f^{-1}(C \cup [/mm] D) = [mm] f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$
[/mm]
Verwechsel nicht Logiksymbole mit Mengensymbolen
[mm] $A\cup [/mm] B = [mm] \{x | x \in A \vee x\in B\}$
[/mm]
> b) Für beliebige Teilmengen A, B von X gilt:
> - f(A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \subset [/mm] f(A) [mm] \wedge [/mm] f(B)
> - f(A [mm] \vee [/mm] B) = f(A) [mm] \vee [/mm] f(B)
> c) f ist genau dann injektiv, wenn für alle Teilmengen
> A,B von X gilt:
> f(A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \subset [/mm] f(A) [mm] \wedge [/mm] f(B)
>
> Meine Lösungen dazu sind:
> a) [mm] f^{-1}(C \wedge [/mm] D) = {x | f(x) [mm] \in [/mm] (C [mm] \wedge [/mm] D)}
> = {x | f(x) [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] D)}
> = {x | f(x) [mm] \in [/mm] (C [mm] \wedge [/mm] D)}
> = {x [mm] \in f^{-1}(C) \wedge [/mm] x [mm] \in f^{-1}(D)}
[/mm]
> =
So macht man das eigentlich nicht. Man zeigt Mengengleichheit indem man sich ein beliebiges Element von einer Menge herauspickt und beweist, dass dieses auch in der anderen Menge liegt PLUS andere Richtung.
Definition: Sei [mm]f:X\to Y[/mm] eine Abbildung, dann heißt
[mm]f^{-1}(Y)=\{x\in X | f(x)\in Y\}[/mm]
Urbildmenge von X.
zu a:
zu zeigen ist [mm]f^{-1}(C \cap D)= f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)[/mm]
Sei [mm]x \in f^{-1}(C \cap D)\gdw f(x)\in C\cap D \gdw f(x)\in C \wedge f(x)\in D \gdw x \in f^{-1}(C) \wedge x\in f^{-1}(D)\gdw x\in f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)[/mm]
Durch die Äquivalenz spart man sich beide Richtungen. Normalerweise macht man es erst so:
[mm]x \in f^{-1}(C \cap D)\Rightarrow f(x)\in C\cap D \Rightarrow f(x)\in C \wedge f(x)\in D \Rightarrow x \in f^{-1}(C) \wedge x\in f^{-1}(D)\Rightarrow x\in f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)[/mm]
und dann
[mm]x\in f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D) \Rightarrow\ldots \Rightarrow x \in f^{-1}(C \cap D)[/mm]
> [mm]f^{-1}(C) \wedge f^{-1}(D)[/mm]
>
> [mm]f^{-1}(C \vee[/mm] D) = [mm]f^{-1}(C) \vee[/mm] f{-1}(D) zeigt man
> identisch wie oben.
Aber in nicht in deiner Version.
zu b:
Genauso. Man startet mit der Definition:
Sei [mm]f: X \to Y, x\mapsto f(x)[/mm] eine Abbildung. Dann ist
[mm]f(X)=\{y\in Y\, |\, \exists x \,\,\mbox{mit der Eigenschaft}\, f(x)=y\}=\{f(x)| x\in X\}[/mm]
Also beginne mit:
[mm]y\in f(A \cup B)\gdw \exists x(x\in A\cup B \wedge f(x)=y)\gdw \ldots \gdw y\in f(A) \cup f(B)[/mm]
[mm]y\in f(A \cap B)\gdw \ldots \red{\Rightarrow} \ldots \gdw \ldots y\in f(A) \cap f(B)[/mm]
Der rote Pfeilf ist wichtig. Daher die Teilmengenrelation (und keine Mengengleichheit!!!)
Damit zeigt man sogar [mm] $f(A\cap B)\green{\subseteq} [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$
zu c:
Deine Aufgabenstellung ist mit Garantie falsch. Sie sollte lauten
"Eine Funktion [mm] $f:\, [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann injektiv, wenn für alle Teilmengen A,B [mm] \subseteq [/mm] X gilt: $f(A [mm] \cap [/mm] B)=f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$."
Wieder Definition von Injektivität
* aufschreiben
* anwenden
* fertig
TIPP: Schau dir die Stelle mit dem roten [mm] $\Rightarrow$ [/mm] genauer an.
>
> Bei b) und c) habe ich keine Idee wie ich dies zeigen
> könnte...
> Bitte um Hilfe!
>
> Liebe Grüsse
>
>
letzte Korrektur: man ist das wieder spät.
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