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| Aufgabe | Für alle $i,n,x,y [mm] \in \IN$ [/mm] sei:
[mm] $S_{i}=\bruch{i(i+1)}{2}$ $I_{n}=\mbox{max}\{i|S_{i} \le n\}=$ [/mm] das [mm] $\!i\$ [/mm] mit [mm] $S_{i} \le [/mm] n < [mm] S_{i+1}$
[/mm]
[mm] $X_{n}=n-S_{I_{n}}$ $Y_{n}=I_{n}-X_{n}$
[/mm]
$P: [mm] \IN \to \IN \times \IN$ $P(n)=(X_{n},Y_{n})$
[/mm]
$N: [mm] \IN \times \IN \to \IN$ $N(x,y)=S_{x+y}+x=\bruch{(x+y)(x+y+1)}{2}+x$
[/mm]
$i=0 [mm] \to S_{i}=0$
[/mm]
$i=1 [mm] \to S_{i}=1$
[/mm]
$i=2 [mm] \to S_{i}=3$
[/mm]
$i=3 [mm] \to S_{i}=6$
[/mm]
$i=4 [mm] \to S_{i}=10$
[/mm]
$i=5 [mm] \to S_{i}=15$
[/mm]
$i=6 [mm] \to S_{i}=21$
[/mm]
...
[mm] $I_{n}$ [/mm] ist wohldefiniert:
- für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $0=S_{0} \le [/mm] n < [mm] S_{n+1}$
[/mm]
- für alle $i < i' [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $S_{i} [/mm] < [mm] S_{i'}$
[/mm]
a) Vervollständigen Sie für $n=0,...,15:$
[mm] $\begin{array}{|c|c c|c|c|}
n & S_{I_{n}} & I_{n} & (X_{n},Y_{n}) & N(X_{n},Y_{n})\\
\hline
0 & 0 & 0 & (0, 0) & 0\\
1 & & & &\\
... & & & &\\
\end{array}$
[/mm]
Die Paare [mm] $(X_{n},Y_{n}) \in \IN \times \IN$ [/mm] werden durch n in einer gewissen Reihenfolge nummeriert. Wie kann man diese Reihenfolge intuitiv charakterisieren?
b) Zeigen Sie: für alle $(x,y) [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] gilt [mm] $S_{x+y}+x
c) Zeigen Sie: für alle $(x,y) [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] gilt [mm] $I_{N(x,y)}=x+y$
[/mm]
d) Zeigen Sie: für alle $(x,y) [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] gilt $P(N(x,y))=(x,y)$
e) Zeigen Sie: für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt $N(P(n))=n$ |
Hallo,
erstmal ein großes Sorry für die ewig lange Aufgabenstellung, aber besser lässt sie sich leider nicht darstellen. Ich denke die Aufgabe ist trotz ihres "aggresiven Äußeren" vergleichsweise einfach, ich habe aber leider dennoch einige Schwierigkeiten.
- Das [mm] $I_{n}$ [/mm] ist denke ich der Knackpunkt bei dieser Aufgabe, nur wie ist das [mm] $I_{n}$ [/mm] Wort für Wort zu lesen (vor allem frage ich mich, warum am Ende [mm] $S_{i+1}$ [/mm] steht)?
- Die a) sollte mir keine Schwierigkeiten mehr machen, sobald das mit dem [mm] $I_{n}$ [/mm] geklärt ist, aber was wird von mir in Worten bei der b) verlangt und wie kann ich da ansetzen?
Die a) ist inzwischen kein Problem mehr, aber ab der b) weiß ich leider noch immer nicht, wie der Beweis aussehen muss?
Hoffe die lange Aufgabenstellung schreckt niemanden ab... 
Vielen Dank für die Hilfe und Unterstützung!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Fr 13.05.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Für alle [mm]i,n,x,y \in \IN[/mm] sei:
>
> [mm]S_{i}=\bruch{i(i+1)}{2}[/mm]
okay, so ist [mm]S_i[/mm] definiert.
> b) Zeigen Sie: für alle [mm](x,y) \in \IN \times \IN[/mm] gilt [mm]S_{x+y}+x
Wie sieht denn [mm]S_{x+y}+x[/mm] dann aus, wenn du oben genannte Definition verwendest?
Dann ist doch [mm]S_{x+y}+x=\bruch{(x+y)*(x+y+1)}{2}+x[/mm]. Denn $i=x+y$ in diesem Fall. Für [mm]S_{x+y+1}[/mm] musst du analog vorgehen und dann musst du durch geschicktes Zusammenfassen zeigen, dass [mm]S_{x+y}+x
Gruß
barsch
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