Mengenabbildungen (Beweis) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Do 17.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Sei f: X -> Y eine Abbildung und U,V [mm] \subseteq [/mm] X bzw. C,D [mm] \subseteq [/mm] Y Mengen. Zeigen Sie folgende Aussagen:
1. f(U [mm] \cap [/mm] V) [mm] \subseteq [/mm] f(U) [mm] \cap [/mm] f(V)
2. f(U \ V) [mm] \supseteq [/mm] f(U) \ f(V) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Abend,
ich sitze grade an dieser Aufgabe. Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich beim beweisen mit der Inklusion umgehen soll. Bis jetzt hatte ich bei dieser Art von Beweisen immer die Mengengleichheit "=".
Kann mir da jemand einen Tipp geben, wie ich da am besten vorgehen kann?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Do 17.11.2011 | | Autor: | skoopa |
Tach auch!
> Sei f: X -> Y eine Abbildung und U,V [mm]\subseteq[/mm] X bzw. C,D
> [mm]\subseteq[/mm] Y Mengen. Zeigen Sie folgende Aussagen:
> 1. f(U [mm]\cap[/mm] V) [mm]\subseteq[/mm] f(U) [mm]\cap[/mm] f(V)
> 2. f(U \ V) [mm]\supseteq[/mm] f(U) \ f(V)
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Guten Abend,
> ich sitze grade an dieser Aufgabe. Mein Problem ist, dass
> ich nicht genau weiß, wie ich beim beweisen mit der
> Inklusion umgehen soll. Bis jetzt hatte ich bei dieser Art
> von Beweisen immer die Mengengleichheit "=".
> Kann mir da jemand einen Tipp geben, wie ich da am besten
> vorgehen kann?
Also am besten ist es glaube ich, wenn man in so einem Fall einfach ein beliebiges Element aus der Menge nimmt, die die Untermenge sein soll und mit Hilfe seiner Eigenschaften zeigt, dass dieses Element auch in der Obermenge enthalten ist.
Dann hast du gerade die Inklusion [mm] "\subseteq" [/mm] gezeigt.
Also in deiner konkreten Aufgabe 1. sagst du:
Sei $ [mm] x\in (U\cap [/mm] V)$, dann gilt f(x) ist enthalten in....
Und für die 2. dürfte das recht analog funktionieren.
>
> Grüße
Beste Grüße!
skoopa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Hallo,
also ich habe mal einen Beweis durchgeführt, wie ich ihn gemacht hätte, wenn statt der Inklusion ein Gleichheitszeichen gestanden hätte:
Behauptung: f(U [mm] \cap [/mm] V) [mm] \subseteq [/mm] f(U) [mm] \cap [/mm] f(V)
Beweis: f(U [mm] \cap [/mm] V) = [mm] \{f(x)| x \in U \cap V\} [/mm] = [mm] \{f(x)| x \in U\} \cap \{f(x)| x \in V\} [/mm] = f(U) [mm] \cap [/mm] f(V)
Auf die Art haben wir eine ähnliche Aufgabe schon mal bewiesen, nur halt mit einem Gleichheitszeichen.
Verstehe ich dich richtig, ich soll nun ein Element aus der Untermenge nehmen und zeigen, dass dieses auch in der Obermenge liegt? Und dieses Element soll allgemein sein?
Grüße & Danke
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moin,
> Hallo,
> also ich habe mal einen Beweis durchgeführt, wie ich ihn
> gemacht hätte, wenn statt der Inklusion ein
> Gleichheitszeichen gestanden hätte:
>
> Behauptung: f(U [mm]\cap[/mm] V) [mm]\subseteq[/mm] f(U) [mm]\cap[/mm] f(V)
> Beweis: f(U [mm]\cap[/mm] V) = [mm]\{f(x)| x \in U \cap V\}[/mm] = [mm]\{f(x)| x \in U\} \cap \{f(x)| x \in V\}[/mm]
> = f(U) [mm]\cap[/mm] f(V)
Die Idee ist schon richt das so auszudröseln, fang aber bitte mit
[mm]y\in f(U\cap V)\gdw \exists x(x\in U\cap V \wedge y=f(x))\gdw \ldots \Rightarrow \ldots \gdw y\in f(U)\wedge y\in f(V)\gdw y\in f(U)\cap f(v)[/mm]
an
>
> Auf die Art haben wir eine ähnliche Aufgabe schon mal
> bewiesen, nur halt mit einem Gleichheitszeichen.
>
>
> Verstehe ich dich richtig, ich soll nun ein Element aus der
> Untermenge nehmen und zeigen, dass dieses auch in der
> Obermenge liegt? Und dieses Element soll allgemein sein?
Nein du sollst allgemein ein Element y aus dem Bild [mm] $f(U\cap [/mm] V)$ nehmen und zeigen, dass dieses Element y wieder in [mm] $f(U)\cap [/mm] f(v)$ liegt.
>
> Grüße & Danke
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:44 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
[mm](x\in U\cap V \wegde y=f(x))[/mm]
Verzeih dass ich noch mal nachhacken muss, aber was genau meinst du mit [mm] "(x\in U\cap [/mm] V [mm] \wegde [/mm] y=f(x))"? Hast du da vielleicht ein Symbol vergessen oder eine Klammer? Denn das y, das direkt hinter dem V steht verwirrt mich ein bisschen.
Schönen Abend
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Ich habe es korrigiert, da hatte ich einen Fehler im LaTeX-Code sollte wedge und nicht wegde heißen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 So 20.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Hmm ich weiß jetzt nicht ob ich das mit dem y=f(x) richtig verstanden habe, aber ich habe es mal so versucht:
Sei y [mm] \in [/mm] f(U [mm] \cap [/mm] V)
[mm] \gdw \exists [/mm] x: (x [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] V) [mm] \wedge [/mm] (y=f(x))
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] U [mm] \wedge [/mm] y=f(x)) [mm] \cap [/mm] (x [mm] \in [/mm] V [mm] \wedge [/mm] y=f(x))
[mm] \gdw [/mm] (y=f(U)) [mm] \wedge [/mm] (y=f(V))
[mm] \gdw [/mm] (y [mm] \in [/mm] f(U)) [mm] \cap [/mm] (y [mm] \in [/mm] f(V))
[mm] \gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] (f(U) [mm] \cap [/mm] f(V))
Sieht aber ehrlich gesagt nicht besonders gut aus^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Vielen Dank für deine Hilfe.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
