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Forum "Topologie und Geometrie" - Mengenaussage: wahr || falsch
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Mengenaussage: wahr || falsch: Bitte um Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Sa 28.09.2019
Autor: bondi

Aufgabe
[mm] A:= [ \medspace 0, \infty \medspace [ \thickspace \cup \medspace ] -3, -1 \medspace ] [/mm] ist abgeschlossen

Hallo,
zuerst die Definitionen:

Sei [mm]D \subseteq \mathbb{R} [/mm]

Die Menge [mm]D[/mm] heißt

i) offen, falls [mm]\forall x \in D \medspace \exists \thinspace \epsilon > 0 [/mm] mit [mm] U_\epsilon(x) \subseteq D [/mm]

ii) abgeschlossen, falls [mm] \mathbb{R}^n \ D [/mm] offen ist

iii) beschränkt, falls [mm] \exists \thinspace M > 0 [/mm] mit [mm] \Vert x \Vert \leq M \thickspace \forall x \in D [/mm]

iv) kompakt, falls D abgeschlossen und beschränkt ist.

v) Das Innere von D: [mm] D^\circ := \{ x \in D \medspace | \medspace \exists \medspace \epsilon > 0 \} [/mm] mit [mm] U_\epsilon(x) \subseteq D [/mm]
( Größte offene Menge, die in D enthalten ist )

vi) Abschluss von D: [mm] \overline{D} := \mathbb{R}^n \negthickspace[/mm] \ [mm] ( \mathbb{R}^n \negthickspace[/mm] \ D )
( Kleinste abgeschlossene Menge, die D enthält )

vii) Rand von D: [mm] \partialD:= \overline{D} [/mm] \ [mm] D^\circ [/mm]

Lösung:

A := [ [mm] 0,\infty [/mm] [ [mm] \thinspace \cup \medspace]-3, [/mm] -1] = ] [mm] -3,\infty [/mm] [

[mm]\mathbb{R}[/mm] \ A [mm] = ] -\infty, -3 ] [/mm]

[mm] \Rightarrow \mathbb{R} [/mm][mm] \A [/mm] ist nicht offen, denn [mm] ]\thinspace-3-\epsilon, -3+\epsilon \thinspace[[/mm]  [mm]\medspace \notin \mathbb{R} [/mm] \ A [mm] \forall \epsilon > 0 [/mm], A ist nicht abgeschlossen.

Also falsch.

        
Bezug
Mengenaussage: wahr || falsch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Sa 28.09.2019
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]A:= [ \medspace 0, \infty \medspace [ \thickspace \cup \medspace ] -3, -1 \medspace ] [/mm]       ist abgeschlossen

(die Definitionen habe ich hier nicht zitiert; darin ist aber nicht alles korrekt notiert)


> Lösung:
>  
> A := [ [mm]0,\infty[/mm] [ [mm]\thinspace \cup \medspace \ ]-3, -1\,]\ =\ ]-3,\infty\, [[/mm]

Dies stimmt nicht, denn zwischen den beiden Teilintervallen von A steckt noch ein weiteres Intervall als Lücke
  

> [mm]\mathbb{R}[/mm] \ A [mm] =\ ] -\infty, -3\, ][/mm]

Dies ist folglich auch falsch.
  

> [mm]\Rightarrow \mathbb{R}\ \setminus A[/mm] ist nicht offen, denn

> [mm]]\thinspace-3-\epsilon, -3+\epsilon \thinspace[[/mm]  [mm]\medspace \notin \mathbb{R}[/mm]
> \ A [mm]\forall \epsilon > 0 [/mm],

Da ist wohl (wieder) was mit LaTeX verunglückt, aber man merkt irgendwie, was wohl gemeint war ...

>  A ist nicht abgeschlossen.
>  
> Also falsch.

Ich würde den Nachweis wohl ganz kurz gestalten, durch konkrete Definition einer Folge  $ [mm] [/mm] $  von in A liegenden Gliedern, die konvergent ist und einen Grenzwert besitzt, der nicht in A liegt.
Nämlich etwa:    $ [mm] a_n\ [/mm] :=  -3+ [mm] \frac{1}{n} \qquad [/mm] ( n [mm] \in \IN [/mm] ) $

LG ,   Al-Chw.



Bezug
        
Bezug
Mengenaussage: wahr || falsch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 Sa 28.09.2019
Autor: HJKweseleit

Du kannst direkt die  Definition benutzen:

ii) Bilde [mm] \IR [/mm] \ A = [mm] ]-\infty|3] \cup [/mm] ]-1|0[
i) Zeige: Für x=3 gibt es keine offene Umgebung in dieser Menge.

Bezug
        
Bezug
Mengenaussage: wahr || falsch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:21 So 29.09.2019
Autor: ChopSuey

Sei $A = ]-3,-1] [mm] \cup [0,\infty[$ [/mm]

Eine Teilmenge $A$ eines topologischen Raumes $X$ ist abgeschlossen in $X$ genau dann, wenn das Komplement [mm] $X\setminus [/mm] A$ offen ist.

Es ist [mm] $\IR \setminus [/mm] A = [mm] \IR \setminus \Big( [/mm] ]-3,-1] [mm] \cup [0,\infty[ \Big)= ]-\infty,-3] \cup [/mm] ]-1,0[ $

Das Komplement $ [mm] \IR \setminus [/mm] A = [mm] ]-\infty,-3] \cup [/mm] ]-1,0[$ ist weder offen noch abgeschlossen. Also ist $A$ nicht abgeschlossen  in $X$.

LG,
ChopSuey

Bezug
                
Bezug
Mengenaussage: wahr || falsch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:16 So 29.09.2019
Autor: bondi

A ist abgeschlossen, wenn das Komplement [mm]R \medspace \textbackslash \medspace A[/mm] offen ist.

Verstehe ich das richtig, dass eine Menge immer erst als offen/abgeschlossen gilt, wenn beide Seiten des Intervalls offen/abgeschlossen sind?

Bezug
                        
Bezug
Mengenaussage: wahr || falsch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:15 So 29.09.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Verstehe ich das richtig, dass eine Menge immer erst als
> offen/abgeschlossen gilt, wenn beide Seiten des Intervalls
> offen/abgeschlossen sind?

Für die Grundmenge [mm] $\IR$ [/mm] und reine Intervalle D ist das richtig.
Dir sollte aber bewusst sein, dass wenn du entweder eine andere Grundmenge hast oder keine reinen Intervalle, du das nicht mehr anwenden kannst.

Betrachtest du bspw. die Grundmenge $X = ]0,1[$, so ist das Teilintervall [mm] $\left]0,\frac{1}{2}\right]$ [/mm] abgeschlossen in X, aber natürlich nicht in [mm] $\IR$. [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Mengenaussage: wahr || falsch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:31 Fr 04.10.2019
Autor: bondi

Danke für deinen Tipp. Ich achte drauf.

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