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Hallo,
wir haben mit Metrik, Normen ect. angefangen und sind dann auf Begriffe wie innerer Punkt, Randpunkt, Häufungspunkt und isolierbarer Punkt einer Menge gestoßen.
Wir hatten dann ein Beispiel mit M={1/n : n [mm] \in [/mm] IN}
Wieso ist da der innere Kern leer, die Menge der Randpunkte = M [mm] \cup [/mm] {0}, die abeschlossene Hülle ebenfalls M [mm] \cup [/mm] {0} und die Menge der Häufungspunkte = {0}.
Mit den Definitionen komm ich einfach nicht weiter. Kann mir das vielleicht einer an diesem simplen Beispiel erklären? Ich wäre sehr dankbar dafür.
Gruß
MM
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Micha |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
> Hallo,
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> wir haben mit Metrik, Normen ect. angefangen und sind dann
> auf Begriffe wie innerer Punkt, Randpunkt, Häufungspunkt
> und isolierbarer Punkt einer Menge gestoßen.
> Wir hatten dann ein Beispiel mit M={1/n : n [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
IN}
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> Wieso ist da der innere Kern leer, die Menge der Randpunkte
> = M [mm]\cup[/mm] {0}, die abeschlossene Hülle ebenfalls M [mm]\cup[/mm] {0}
> und die Menge der Häufungspunkte = {0}.
Wie habt ihr die Begriffe denn definiert? Innerer Kern habe ich so noch nicht gehört, kenne nur die Bezeichnung mit einem kleinen Kringel darüber, meinst du das? Bei uns war das die größte aller offenen Mengen, die in M liegen. M selbst ist nicht offen, sondern Vereinigung von einzelnen Punkten. Man kann das Innere einer Menge auch als Mengenoperation von der abgeschlossenen Hülle weniger der Randpunkte definieren. Das hängt von eurer Definition ab! Wenn man das so macht und wie man gleich sehen wird, dass Abschluss und Rand die gleiche Menge beschreibt, nunja dann bleibt uns nicht mehr viel übrig, genauer gesagt: nichts!
Wie ist das denn mit den Randpunkten? Das sind doch alle Punkte, die, wenn ich um sie eine auch noch so kleine Epsilonumgebung lege, ich immer Punkte von der Menge (M) habe und des Komplements... Bei einzelnen Punkten sind diese immer Randpunkte...
Frage ist jetzt, warum die 0 auch ein Randpunkt ist... nun "links von der 0 hab ich immer Punkte des Komplements in jeder Epsilonumgebung und rechts davon doch auch, oder nicht? *g
Da die Menge aus vielen einzelnen Punkten besteht, die alle kein Intervall bilden, es also keine "Punkte zwischen zwei Randpunkten" gibt, ist die Menge der Ranpunkte auch gleichzeitig die Menge der abgeschlossenen Hülle von M.
Warum ist 0 der (einzige!) Häufungspunkt? Kann es nicht vielleicht auch andere geben? Nun wir erinnern uns an die Häufungspunktdefinition. Ein Punkt p heißt Häufungspunkt eine Folge [mm] $(x_n)_n$, [/mm] wenn es eine Teilfolge [mm] $(x_n_k)_k$ [/mm] gibt, sodass diese Teilfolge gegen p konvergiert. Die Menge M, die die Punkte der Folge $1/n$ beschreibt, konvergiert offensichtlich gegen 0. Mit etwas Folgentheorie kann man zeigen, dass dann auch jede Teilfolge, die konvergiert, als Grenzwert den Grenzwert p annimmt. Bitte versuche dir das irgendwie zu veranschaulichen.
> Gruß
> MM
Gruß MM (Michael M.) 
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