Mengenbeweis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Scanner |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] $A\subseteq [/mm] B [mm] \Rightarrow C\backslash B\subseteq C\backslash [/mm] A.$ |
Hier meine Lösung, ist das inhaltlich und formal korrekt so? Insbesondere bei dem vorletzten und letzten Schritt bin ich mir unsicher, was das Weglassen (von [mm] $\wedge((z\in C)\rightarrow(z\in [/mm] C))$) angeht... danke schonmal. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] $A\subseteq B\Leftrightarrow x\in A\rightarrow x\in B$\\
[/mm]
[mm] $\rightarrow(x\notin B)\rightarrow (x\notin A).$\\
[/mm]
[mm] $C\backslash B:$\\
[/mm]
[mm] $z\in C\backslash B\Leftrightarrow (z\in C)\wedge (z\notin B)$\\
[/mm]
[mm] $\rightarrow (z\in C)\wedge (z\notin B)$\\
[/mm]
[mm] $\rightarrow z\in C$\\
[/mm]
[mm] $\rightarrow z\notin B.$\\
[/mm]
[mm] $C\backslash A:$\\
[/mm]
[mm] $z\in C\backslash [/mm] A [mm] \Leftrightarrow (z\in C)\wedge (z\notin A)$\\
[/mm]
[mm] $\rightarrow (z\in C)\wedge (z\notin A)$\\
[/mm]
[mm] $\rightarrow z\in C$\\
[/mm]
[mm] $\rightarrow z\notin A.$\\
[/mm]
[mm] $A\subseteq B\Rightarrow C\backslash B\subseteq C\backslash A$\\
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow (x\notin B)\rightarrow (x\notin A)\Rightarrow ((z\in C)\wedge(z\notin B))\rightarrow ((z\in C)\wedge(z\notin A))\\
[/mm]
[mm] \rightarrow (x\notin B)\rightarrow (x\notin A)\Rightarrow ((z\notin B)\rightarrow (z\notin A))\wedge((z\in C)\rightarrow(z\in C))\\
[/mm]
[mm] \rightarrow (x\notin B)\rightarrow (x\notin A)\Rightarrow (z\notin B)\rightarrow (z\notin A).$\\
[/mm]
[mm] $\rightarrow$ [/mm] Diese Aussage ist wahr. [mm] $\oblong$
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Sa 21.10.2006 | | Autor: | Scanner |
Ich denke, man kann obigen Beweis auch mittels einer Wertetabelle führen oder? Das wäre vielleicht einfacher. Wir würde man [mm] $A\subseteq [/mm] B$ mit Werten ausdrücken..?
|
|
|
| |
|
> Ich denke, man kann obigen Beweis auch mittels einer
> Wertetabelle führen oder?
Keine Ahnung.
Normalerweise jedenfalls macht man es so, wie dein "Plan" war, welchem ich die Kanten abgeschmirgelt habe.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Zeigen Sie: [mm]A\subseteq B \Rightarrow C\backslash B\subseteq C\backslash A.[/mm]
Hallo,
da es furchtbar umständlich ist, in Deinem Text herumzukorrigieren, schreibe ich es nochmal "frisch" auf, Du kannst dann ja vergleichen.
A [mm] \subseteq [/mm] B
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B)
[mm] \gdw [/mm] (*) (x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A)
x [mm] \in [/mm] C \ A
[mm] \gdw [/mm] (z [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] z [mm] \not\in [/mm] A)
Für C \ B genauso.
Du schriebst:
>$ [mm] \rightarrow (z\in C)\wedge (z\notin [/mm] A) $$ [mm] \\ [/mm] $
>$ [mm] \rightarrow z\in [/mm] C $$ [mm] \\ [/mm] $
>$ [mm] \rightarrow z\notin [/mm] A. $
Das darfst Du nicht, denn da steht jetzt: [mm] z\in [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] z [mm] \not\in [/mm] A.
Schreiben dürftest Du : x [mm] \in [/mm] C \ A [mm] \gdw [/mm] (z [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] z [mm] \not\in [/mm] A) [mm] \rightarrow [/mm] z [mm] \in [/mm] C,
x [mm] \in [/mm] C \ A [mm] \gdw [/mm] (z [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] z [mm] \not\in [/mm] A) [mm] \rightarrow [/mm] z [mm] \not\in [/mm] A.
Nun ist also zu zeigen
$ [mm] A\subseteq B\Rightarrow C\backslash B\subseteq C\backslash [/mm] A $
Hierzu zeige ich, daß unter der Voraussetzung A [mm] \subseteq [/mm] B jedes Element von C \ B in C \ A liegt.
Sei also A [mm] \subseteq [/mm] B und x [mm] \in [/mm] C \ B.
x [mm] \in [/mm] C \ B
[mm] \rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] C und [mm] x\not\in [/mm] B
Da A [mm] \subseteq [/mm] B folgt hieraus wegen (*)
[mm] \rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] C und [mm] x\not\in [/mm] A
[mm] \rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] C \ A.
Somit gilt C \ B [mm] \subseteq [/mm] C \ A, womit die Behauptung bewiesen ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
