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Forum "Real Analysis (Single Variable)" - Mengenbeweise
Mengenbeweise < Real Analysis (Single Variable) < Real Analysis < Uni-Calculus < University < Maths <
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Mengenbeweise: korrektur
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:34 Fr 17/04/2015
Author: forestdumb

Aufgabe
$a)$ Es seinen $M,N$ Mengen. Beweisen Sie:

$i)$ Falls $M [mm] \subset [/mm] N$ ,so ist auch $Pot(M) [mm] \subset [/mm] Pot(N) $

$ii) Pot(M [mm] \cap [/mm] N)= Pot(M) [mm] \cap [/mm] Pot(N)$

$b)$ Bestimmen sie die folgenden Mengen .

$i) [mm] Pot(\{1,\{2,3\},4\}),$ [/mm]

$ii) [mm] Pot(\{1,3,5,7\}) \cap Pot(\{5,6,7,8\}) [/mm] $


$a) $

Bew. :

$i)$ Falls $M [mm] \subset [/mm] N$ ,so ist auch $Pot(M) [mm] \subset [/mm] Pot(N) $

angenommen $M [mm] \subset [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] N  [mm] \Rightarrow x\in [/mm] Pot(M) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(N) [mm] \Rightarrow [/mm] Pot(M) [mm] \subset [/mm] Pot(N)$

$ii)$ $Pot(M [mm] \cap [/mm] N)= Pot(M) [mm] \cap [/mm] Pot(N)$


[mm] $"\subset"$ [/mm]


$x [mm] \in [/mm] Pot(M [mm] \cap [/mm] N) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(M [mm] \wedge [/mm] N) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(M) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(N) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(M) [mm] \cap [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(N)$

[mm] $"\supset"$ [/mm]

$x [mm] \in [/mm] Pot(M) [mm] \cap [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(N) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(M) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(N) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(M [mm] \wedge [/mm] N)  [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(M [mm] \cap [/mm] N)$

$b)$

$i) [mm] Pot(\{1,\{2,3\},4\})=\{\emptyset,\{1\},\{2,3\},\{4\},\{1,\{2,3\}\},\{1,4\},\{\{2,3\},4\},\{1,\{2,3\},4\}\},$ [/mm]


$ii) [mm] Pot(\{1,3,5,7\}) \cap Pot(\{5,6,7,8\}) \overbrace{=}^{4a) ii)} Pot(\{1,3,5,7\} \cap \{5,6,7,8\}) =Pot(\{5,7\}) [/mm] = [mm] \{ \emptyset,\{5\},\{7\},\{5,7\}\} [/mm]  $





        
Bezug
Mengenbeweise: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 21:59 Fr 17/04/2015
Author: DieAcht

Hallo forestdumb!


Zur ersten Teilaufgabe lies die Antwort von Gono.

Tipp:

      [mm] $A\subseteq B\Longleftrightarrow A\in\mathcal{P}(B)$. [/mm]

Übrigens: Bei i) gilt auch die Rückrichtung.

> [mm]b)[/mm]
>  
> [mm]i) Pot(\{1,\{2,3\},4\})=\{\emptyset,\{1\},\{2,3\},\{4\},\{1,\{2,3\}\},\{1,4\},\{\{2,3\},4\},\{1,\{2,3\},4\}\},[/mm]
>  
>
> [mm]ii) Pot(\{1,3,5,7\}) \cap Pot(\{5,6,7,8\}) \overbrace{=}^{4a) ii)} Pot(\{1,3,5,7\} \cap \{5,6,7,8\}) =Pot(\{5,7\}) = \{ \emptyset,\{5\},\{7\},\{5,7\}\} [/mm]


Sieht gut aus! [ok]


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Mengenbeweise: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Date: 09:02 Sa 18/04/2015
Author: Gonozal_IX

Hiho,

also der Aussage:

> Sieht gut aus! [ok]

kann ich mich aufgrund fundamentaler Fehler in der Frage nicht anschließen. Und diese sollten dir auch auffallen!

Gruß,
Gono

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Bezug
Mengenbeweise: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Date: 12:56 Sa 18/04/2015
Author: DieAcht

Hiho Gono,


vielen Dank für's Aufpassen.

> Und diese sollten dir auch auffallen!

Das war in der Tat ziemlich schlecht von mir. [peinlich][sorry]


Liebe Grüße
DieAcht

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Bezug
Mengenbeweise: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 09:05 Sa 18/04/2015
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> angenommen [mm]M \subset N \Rightarrow x \in M \Rightarrow x \in N \Rightarrow x\in Pot(M) \Rightarrow x \in Pot(N) \Rightarrow Pot(M) \subset Pot(N)[/mm]

Hier machst du gleich mehrere Fehler, die sich später auch durchziehen.

1.) Weißt du überhaupt, wie Potenzmengen aussehen? Mach dir das mal klar. Was ist denn die Potenzmenge von M?
Dann würde dir klar sein, dass Aussagen wie [mm] $x\in [/mm] M [mm] \Rightarrow x\in [/mm] Pot(M)$ gar keinen Sinn machen, denn kein einziges Element aus M liegt auch in Pot(M).

Denn: Selbst mit dieser Korrektur wäre der Beweis nicht vollständig, weil du so nur einen Bruchteil der Mengen aus Pot(M) bekämst und bei weitem nicht alle.

2.) Dann folgerst du: $ [mm] x\in [/mm] Pot(M) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Pot(N)$

Wie folgerst du das ohne dem, was du eigentlich zeigen willst?

Ergo: Leider hast du noch gar nichts gezeigt. Also nochmal von vorn!

Gruß,
Gono

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Mengenbeweise: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 13:02 Sa 18/04/2015
Author: forestdumb

also

falls $M [mm] \subset [/mm] N$, so ist auch $Pot(M) [mm] \subset [/mm] Pot(N)$

definiton

$Pot(N):= [mm] \{X|X\subset N\} [/mm] ,Pot(M):= [mm] \{A|A\subset M\}$ [/mm]

Nun wenn $Pot(M) [mm] \subset [/mm] Pot(N)$, also $Pot(M):= [mm] \{X|X\subset M\} \subset [/mm] Pot(N):= [mm] \{A|A\subset N\}$ [/mm]

Ansatz:

$x [mm] \in [/mm] Pot(M):= [mm] \{X|X\subset M\} \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X ,da X [mm] \subset [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm]  x [mm] \in [/mm] M$

Nun ist die $Pot(M) [mm] \subset [/mm]  Pot(N)$ , dass heißt  [mm] $\{X|X\subset M\} \subset \{A|A\subset N\}$ [/mm] . liegt $ x$ jetzt in $M$ so ist $ x [mm] \in [/mm] A$ und da $A [mm] \subset [/mm] N$ liegt $x [mm] \in [/mm] N$ daraus folgere ich  $M [mm] \subset [/mm] N $.


ist das so gut?

kannst du mir vielleicht noch nen feedback zur 4a)ii) geben und zur 4b)?

dank dir im voraus:)

Bezug
                        
Bezug
Mengenbeweise: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 13:40 Sa 18/04/2015
Author: DieAcht

Erstmal: Tut mir leid.

> Ansatz:
>  
> [mm]x \in Pot(M):= \{X|X\subset M\} \Rightarrow x \in X ,da X \subset M \Rightarrow x \in M[/mm]

Nein.

[mm] $\mathcal{P}(M)\$ [/mm] besteht aus allen Teilmengen [mm] $X\$ [/mm] aus [mm] $M\$, [/mm] dabei ist
[mm] $X\$ [/mm] ein Hilfsmittel um [mm] $\mathcal{P}(M)\$ [/mm] darzustellen.

Ansatz:

      [mm] $M\subseteq N\Longleftrightarrow M\in\mathcal{P}(N)$. [/mm]

(Kannst du das beweisen?)

Zu zeigen:

      [mm] $N\subseteq [/mm] M [mm] \Longrightarrow \mathcal{P}(N)\subseteq\mathcal{P}(M)$. [/mm]

Beweis:

Sei [mm] X\in\mathcal{P}(N), [/mm] dann ist [mm] $X\subseteq [/mm] N$. Wegen [mm] $N\subseteq [/mm] M$ ist [mm] $X\subseteq [/mm] M$ (Wieso?)
und damit [mm] $X\in\mathcal{P}(M)$. $X\$ [/mm] war beliebig gewählt, so dass die Be-
hauptung folgt.

(Übrigens: Die Rückrichtung, also [mm] $\Longleftarrow$, [/mm] gilt hier auch!)

> kannst du mir vielleicht noch nen feedback zur 4a)ii) geben und zur 4b)?

Zu zeigen:

      [mm] $\mathcal{P}(M \cap [/mm] N)= [mm] \mathcal{P}(M) \cap \mathcal{P}(N)$. [/mm]

Benutze wieder obigen Ansatz. Dabei kannst du auch sofort beide
Richtungen zeigen, in dem du mit Äquivalenzpfeilen arbeitest.

Es ist

      [mm] $X\in\mathcal{P}(M) \cap \mathcal{P}(N)$ [/mm]

      [mm] $\Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M)\wedge X\in\mathcal{P}(N)$ [/mm]

      [mm] $\Longleftrightarrow\ldots$ [/mm]

      [mm] $\Longleftrightarrow\ldots$ [/mm]

      [mm] $\Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M\cap [/mm] N)$.

(Vervollständige die [mm] $\ldots$.) [/mm]

Die letzen beiden Teilaufgaben waren richtig.

Bezug
                                
Bezug
Mengenbeweise: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:42 Sa 18/04/2015
Author: forestdumb

Zu zeigen:

      $ [mm] N\subseteq [/mm] M [mm] \Longrightarrow \mathcal{P}(N)\subseteq\mathcal{P}(M) [/mm] $.

Beweis:

Sei $ [mm] X\in\mathcal{P}(N), [/mm] $ dann ist $ [mm] X\subseteq [/mm] N $. Wegen $ [mm] N\subseteq [/mm] M $ ist $ [mm] X\subseteq [/mm] M $ (Wieso? ( ja weil das ne art transitivität der Mengen ist $ X [mm] \subset [/mm] N [mm] \wedge [/mm] N [mm] \subset [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] X [mm] \subset [/mm] M$  )
und damit $ [mm] X\in\mathcal{P}(M) [/mm] $. $ X\ $ war beliebig gewählt, so dass die Be-
hauptung folgt.




zur b)

$ [mm] X\in\mathcal{P}(M) \cap \mathcal{P}(N) [/mm] $

      $ [mm] \Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M)\wedge X\in\mathcal{P}(N) [/mm] $

      $ [mm] \Longleftrightarrow X\in\mathcal(M)\wedge X\in\mathcal(N) [/mm]   $

      $ [mm] \Longleftrightarrow X\in\mathcal(M)\cap \mathcal(N) [/mm] $

      $ [mm] \Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M\cap [/mm] N) $.


ist das gut so?

Bezug
                                        
Bezug
Mengenbeweise: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:01 Sa 18/04/2015
Author: DieAcht


> (Wieso? ( ja weil das ne art transitivität der Mengen ist)

Es ist die Transitivität (der Inklusion).


Vorab:

      \mathcal{P}(X) wird zu [mm] \mathcal{P}(X). [/mm]

(Verwende geschweifte Klammern. Unten kann ich es aber trotzdem
erkennen.)

> [mm]X\in\mathcal{P}(M) \cap \mathcal{P}(N)[/mm]
>  
> [mm]\Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M)\wedge X\in\mathcal{P}(N)[/mm]
>  
> [mm]\Longleftrightarrow X\in\mathcal(M)\wedge X\in\mathcal(N) [/mm]

Diese Zeile ist komplett zu streichen, da sie einfach nur die
Zeile vorher wiedergibt.

> [mm]\Longleftrightarrow X\in\mathcal(M)\cap \mathcal(N)[/mm]

Jetzt landest du wieder auf die erste Zeile.

> [mm]\Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M\cap N) [/mm].

Du hast nichts gezeigt!


Ich habe dir doch Tipps gegeben. Vielleicht nochmal genauer:

Es ist

      [mm] $X\in\mathcal{P}(M) \cap \mathcal{P}(N)$ [/mm]

      [mm] $\Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M)\wedge X\in\mathcal{P}(N)$ [/mm]

      [mm] $\Longleftrightarrow\ldots$ [/mm] (Benutze hier den "Ansatz")

      [mm] $\Longleftrightarrow\ldots\subseteq\ldots\cap\ldots$ [/mm]

      [mm] $\Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M\cap [/mm] N)$ (Benutze hier den "Ansatz". (Ist schon passiert.)).

(Vervollständige die [mm] $\ldots$.) [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Mengenbeweise: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:40 Sa 18/04/2015
Author: forestdumb

also nochmal


$ [mm] X\in\mathcal{P}(M) \cap \mathcal{P}(N) [/mm] $

      $ [mm] \Longleftrightarrow [/mm] X [mm] \in\mathcal{P}(M)\wedge X\in\mathcal{P}(N) [/mm] $

      $ [mm] \Longleftrightarrow [/mm] X [mm] \subset [/mm] M [mm] \wedge X\subset [/mm] N $

      $ [mm] \Longleftrightarrow [/mm] X [mm] \subset [/mm] (M [mm] \cap [/mm] N)  $

      $ [mm] \Longleftrightarrow X\in\mathcal{P}(M\cap [/mm] N) $.


ich hab jetzt erst Verstanden worums geht eigentlich ... :/ ich donkey , sorry @DieAcht

Bezug
                                                        
Bezug
Mengenbeweise: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 16:58 Sa 18/04/2015
Author: DieAcht

Passt. :-)
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