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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Sa 25.10.2008 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Seinen X, Y, Z, U Mengen.
Wenn X [mm] \subseteq [/mm] Z und Y [mm] \subseteq [/mm] U so folgt:
X [mm] \cup [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] Z [mm] \cup [/mm] U |
Hallo Community,
hier mal meine Idee dazu:
X [mm] \subseteq [/mm] Z d.h. für alle x [mm] \in [/mm] X : x [mm] \in [/mm] Z *
Y [mm] \subseteq [/mm] U d.h. für alle y [mm] \in [/mm] Y : y [mm] \in [/mm] U *
wenn ich mir das so anschaue ist die aussage ja schon total klar, frage ist dann nur wie schreibe ich das auf. mir fiel nur ein:
X [mm] \cup [/mm] Y = {x,y/ x [mm] \in [/mm] X oder y [mm] \in [/mm] Y} aus * folgt somit X [mm] \cup [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] Z [mm] \cup [/mm] U
Reicht das schon aus?
mfg Maxi
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> Seinen X, Y, Z, U Mengen.
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> Wenn X [mm]\subseteq[/mm] Z und Y [mm]\subseteq[/mm] U so folgt:
>
> X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] Z [mm]\cup[/mm] U
> Hallo Community,
>
> hier mal meine Idee dazu:
>
> X [mm]\subseteq[/mm] Z d.h. für alle x [mm]\in[/mm] X : x [mm]\in[/mm] Z *
> Y [mm]\subseteq[/mm] U d.h. für alle y [mm]\in[/mm] Y : y [mm]\in[/mm] U *
Hallo,
ja, so ist das.
>
> wenn ich mir das so anschaue ist die aussage ja schon total
> klar,
In der Tat!
> frage ist dann nur wie schreibe ich das auf.
Ja, genau darum geht's bei solchen Aufgaben - der Inhalt der Aussage ist eher nicht so aufregend.
Vorausgesetzt ist: X [mm]\subseteq[/mm] Z und Y [mm]\subseteq[/mm] U
zu zeigen: Dann ist X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] Z [mm]\cup[/mm] U
Es ist also eine Teilmengenbeziehung zu zeigen.
Also ist zu zeigen, daß jedes Element, welches in X [mm]\cup[/mm] Y ist, auch in Z [mm]\cup[/mm] U liegt.
Beweis:
Sei X [mm]\subseteq[/mm] Z und Y [mm]\subseteq[/mm] U
(Jetzt nimmt man sich solch ein Element aus X [mm]\subseteq[/mm] Z her:)
Sei [mm] x\in [/mm] X [mm]\cup[/mm] Y
==> [mm] x\in [/mm] X oder [mm] x\in [/mm] Z (nach Def. der Vereinigungsmenge)
==> .... (jetzt die Voraussetzung verwenden)
==> ... (jetzt die Def. der Vereinigungsmenge)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Sa 25.10.2008 | | Autor: | maxi85 |
> > Seinen X, Y, Z, U Mengen.
> >
> > Wenn X [mm]\subseteq[/mm] Z und Y [mm]\subseteq[/mm] U so folgt:
> >
> > X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] Z [mm]\cup[/mm] U
> > Hallo Community,
> >
> > hier mal meine Idee dazu:
> >
> > X [mm]\subseteq[/mm] Z d.h. für alle x [mm]\in[/mm] X : x [mm]\in[/mm] Z *
> > Y [mm]\subseteq[/mm] U d.h. für alle y [mm]\in[/mm] Y : y [mm]\in[/mm] U *
>
> Hallo,
>
> ja, so ist das.
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> >
> > wenn ich mir das so anschaue ist die aussage ja schon total
> > klar,
>
> In der Tat!
>
>
> > frage ist dann nur wie schreibe ich das auf.
>
> Ja, genau darum geht's bei solchen Aufgaben - der Inhalt
> der Aussage ist eher nicht so aufregend.
>
> Vorausgesetzt ist: X [mm]\subseteq[/mm] Z und Y [mm]\subseteq[/mm] U
>
> zu zeigen: Dann ist X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] Z [mm]\cup[/mm] U
>
>
> Es ist also eine Teilmengenbeziehung zu zeigen.
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> Also ist zu zeigen, daß jedes Element, welches in X [mm]\cup[/mm] Y
> ist, auch in Z [mm]\cup[/mm] U liegt.
>
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> Beweis:
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> Sei X [mm]\subseteq[/mm] Z und Y [mm]\subseteq[/mm] U
>
> (Jetzt nimmt man sich solch ein Element aus X [mm]\subseteq[/mm] Z
> her:)
>
> Sei [mm]x\in[/mm] X [mm]\cup[/mm] Y
>
> ==> [mm]x\in[/mm] X und [mm]x\in[/mm] Z (nach Def. der Schnittmenge)
äähmm, hieß [mm] \cup [/mm] nicht das es sich um die Vereinigung handelt?
also [mm]x\in[/mm] X oder/und [mm]x\in[/mm] Z
>
> ==> .... (jetzt die Voraussetzung verwenden)
>
> ==> ... (jetzt die Def. der Schnittmenge)
>
>
> Gruß v. Angela
Aber ich hätte gerad noch ne kleine Erleutung, gibt es sowas wie ein VOllständigkeitsaxiom der Mengenlehre (aller entweder X [mm] \subseteq [/mm] Y oder X [mm] \supset [/mm] Y) weil dann würd ich es über nen Widerspruch beweisen.
X [mm] \subseteq [/mm] Z und Y [mm] \subseteq [/mm] U
Ann.: X [mm] \cup [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] Z [mm] \subseteq [/mm] U gilt nicht
=> Z [mm] \cup [/mm] U [mm] \subset [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] Y
Sei a [mm] \in [/mm] X [mm] \cup [/mm] Y , a [mm] \not\in [/mm] Z [mm] \cup [/mm] U
==> a [mm] \not\in [/mm] Z und [mm] a\not\in [/mm] U
sowie a [mm] \in [/mm] X oder a [mm] \in [/mm] Y
da aber [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] X : a [mm] \in [/mm] Z
sowie [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] Y : a [mm] \in [/mm] U folgt Wiederspruch
>
>
>
>
>
> mir fiel
> > nur ein:
> >
> > X [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Y = {x,y/ x [mm]\in[/mm] X oder y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Y} aus * folgt somit X
> > [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] Z [mm]\cup[/mm] U
> >
> > Reicht das schon aus?
> >
> > mfg Maxi
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> > > Seinen X, Y, Z, U Mengen.
> > >
> > > Wenn X [mm]\subseteq[/mm] Z und Y [mm]\subseteq[/mm] U so folgt:
> > >
> > > X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] Z [mm]\cup[/mm] U
> > > Hallo Community,
> > >
> > > hier mal meine Idee dazu:
> > >
> > > X [mm]\subseteq[/mm] Z d.h. für alle x [mm]\in[/mm] X : x [mm]\in[/mm] Z *
> > > Y [mm]\subseteq[/mm] U d.h. für alle y [mm]\in[/mm] Y : y [mm]\in[/mm] U *
> >
> > Hallo,
> >
> > ja, so ist das.
> >
> > >
> > > wenn ich mir das so anschaue ist die aussage ja schon total
> > > klar,
> >
> > In der Tat!
> >
> >
> > > frage ist dann nur wie schreibe ich das auf.
> >
> > Ja, genau darum geht's bei solchen Aufgaben - der Inhalt
> > der Aussage ist eher nicht so aufregend.
> >
> > Vorausgesetzt ist: X [mm]\subseteq[/mm] Z und Y [mm]\subseteq[/mm] U
> >
> > zu zeigen: Dann ist X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] Z [mm]\cup[/mm] U
> >
> >
Hallo,
ach Du grüne Neune! Gut, daß Du das gemerkt hast.
Das cap und cup hat mich wohl überfordert.
tausche "und" gegen "oder"
"Schnitt" gegen "Vereinigung", ich korrigier's gleich im anderen Post.
> Aber ich hätte gerad noch ne kleine Erleutung, gibt es
> sowas wie ein VOllständigkeitsaxiom der Mengenlehre (aller
> entweder X [mm]\subseteq[/mm] Y oder X [mm]\supset[/mm] Y) weil dann würd ich
> es über nen Widerspruch beweisen.
>
> X [mm]\subseteq[/mm] Z und Y [mm]\subseteq[/mm] U
>
> Ann.: X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] Z [mm]\subseteq[/mm] U gilt nicht
Ich nehme an, Du meinst X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] Z [mm]\red{\cup}[/mm] U gilt nicht
>
> => Z [mm]\cup[/mm] U [mm]\subset[/mm] X [mm]\subseteq[/mm] Y
Hie rmeinst Du sicher auch ==> Z [mm]\cup[/mm] U [mm]\subset[/mm] X [mm]\red{\cup}[/mm] Y.
Aber ich verstehe diese Folgerung nicht.
Da X [mm]\cup[/mm] [mm] Y\not=\emptyset [/mm] (sonst wär's ja im Gegensatz zu Deiner Annahme 'ne Teilmenge)
> Sei gibt es ein a [mm]\in[/mm] X [mm]\cup[/mm] Y mit a [mm]\not\in[/mm] Z [mm]\cup[/mm] U.
>
> ==> a [mm]\not\in[/mm] Z und [mm]a\not\in[/mm] U
> sowie a [mm]\in[/mm] X oder a [mm]\in[/mm] Y
>
> da aber [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] X : a [mm]\in[/mm] Z
> sowie [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] Y : a [mm]\in[/mm] U folgt
> Widerspruch
Ja, so könntest Du's machen. Alles richtig.
Versuche aber nochmal den direkten Weg, welcher sehr schnell ist und kein Nachdenken erfordert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Sa 25.10.2008 | | Autor: | maxi85 |
> > > > Seinen X, Y, Z, U Mengen.
> > > >
> > > > Wenn X [mm]\subseteq[/mm] Z und Y [mm]\subseteq[/mm] U so folgt:
> > > >
> > > > X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] Z [mm]\cup[/mm] U
> > > > Hallo Community,
> > > >
> > > > hier mal meine Idee dazu:
> > > >
> > > > X [mm]\subseteq[/mm] Z d.h. für alle x [mm]\in[/mm] X : x [mm]\in[/mm] Z *
> > > > Y [mm]\subseteq[/mm] U d.h. für alle y [mm]\in[/mm] Y : y [mm]\in[/mm] U *
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > ja, so ist das.
> > >
> > > >
> > > > wenn ich mir das so anschaue ist die aussage ja schon total
> > > > klar,
> > >
> > > In der Tat!
> > >
> > >
> > > > frage ist dann nur wie schreibe ich das auf.
> > >
> > > Ja, genau darum geht's bei solchen Aufgaben - der Inhalt
> > > der Aussage ist eher nicht so aufregend.
> > >
> > > Vorausgesetzt ist: X [mm]\subseteq[/mm] Z und Y [mm]\subseteq[/mm] U
> > >
> > > zu zeigen: Dann ist X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] Z [mm]\cup[/mm] U
> > >
> > >
> Hallo,
>
> ach Du grüne Neune! Gut, daß Du das gemerkt hast.
>
> Das cap und cup hat mich wohl überfordert.
>
> tausche "und" gegen "oder"
>
> "Schnitt" gegen "Vereinigung", ich korrigier's gleich im
> anderen Post.
>
>
>
> > Aber ich hätte gerad noch ne kleine Erleutung, gibt es
> > sowas wie ein VOllständigkeitsaxiom der Mengenlehre (aller
> > entweder X [mm]\subseteq[/mm] Y oder X [mm]\supset[/mm] Y) weil dann würd ich
> > es über nen Widerspruch beweisen.
> >
> > X [mm]\subseteq[/mm] Z und Y [mm]\subseteq[/mm] U
> >
> > Ann.: X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] Z [mm]\subseteq[/mm] U gilt nicht
>
> Ich nehme an, Du meinst X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] Z [mm]\red{\cup}[/mm] U
> gilt nicht
Ähm, ja das meine ich
> >
> > => Z [mm]\cup[/mm] U [mm]\subset[/mm] X [mm]\subseteq[/mm] Y
>
> Hie rmeinst Du sicher auch ==> Z [mm]\cup[/mm] U [mm]\subset[/mm] X
> [mm]\red{\cup}[/mm] Y.
Ja.
> Aber ich verstehe diese Folgerung nicht.
Die folgerung gilt halt nur WENN es sowas wie ein Vollständigkeitsaxiom der Mengenlehre gibt, hab allerdings im Netz keins gefunden -.-
Geht es trotzdem das so wie unten zu beweisen?
> Da X [mm]\cup[/mm] [mm]Y\not=\emptyset[/mm] (sonst wär's ja im Gegensatz
> zu Deiner Annahme 'ne Teilmenge)
> > Sei gibt es ein a [mm]\in[/mm] X [mm]\cup[/mm] Y mit a [mm]\not\in[/mm] Z [mm]\cup[/mm] U.
> >
> > ==> a [mm]\not\in[/mm] Z und [mm]a\not\in[/mm] U
> > sowie a [mm]\in[/mm] X oder a [mm]\in[/mm] Y
> >
> > da aber [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] X : a [mm]\in[/mm] Z
> > sowie [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] Y : a [mm]\in[/mm] U folgt
> > Widerspruch
>
> Ja, so könntest Du's machen. Alles richtig.
>
> Versuche aber nochmal den direkten Weg, welcher sehr
> schnell ist und kein Nachdenken erfordert.
ok, also:
Sei x [mm] \in [/mm] X [mm] \cup [/mm] Y
=> x [mm] \in [/mm] X oder x [mm] \in [/mm] Y
aus x [mm] \in [/mm] X folgt x [mm] \in [/mm] Z und aus x [mm] \in [/mm] Y folgt x [mm] \in [/mm] U (nach Vorr.)
aus x [mm] \in [/mm] Z oder x [mm] \in [/mm] U folgt x [mm] \in [/mm] Z [mm] \cup [/mm] U [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \cup [/mm] Y (nach def.)
stimmt das so?
> Gruß v. Angela
>
Gruß zurück!
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> > > X [mm]\subseteq[/mm] Z und Y [mm]\subseteq[/mm] U
> > >
> > > Ann.: X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] Z [mm]\subseteq[/mm] U gilt nicht
> >
> > Ich nehme an, Du meinst X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] Z [mm]\red{\cup}[/mm] U
> > gilt nicht
>
> Ähm, ja das meine ich
>
> > >
> > > => Z [mm]\cup[/mm] U [mm]\subset[/mm] X [mm]\subseteq[/mm] Y
> >
> > Hie rmeinst Du sicher auch ==> Z [mm]\cup[/mm] U [mm]\subset[/mm] X
> > [mm]\red{\cup}[/mm] Y.
>
> Ja.
>
> > Aber ich verstehe diese Folgerung nicht.
>
> Die folgerung gilt halt nur WENN es sowas wie ein
> Vollständigkeitsaxiom der Mengenlehre gibt, hab allerdings
> im Netz keins gefunden -.-
Hallo,
Vollstandigkeitsaxion hin oder her:
"X [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] Z [mm]\cup [/mm] U gilt nicht"
bedeutet doch: X [mm]\cup[/mm] Y [mm] ist weder echte Teilmenge von Z [mm]\cup [/mm] U, noch sind die beiden Mengen gleich.
daraus zu folgern, daß [mm] Z\cup [/mm] U 'ne Teilmenge von X [mm]\cup[/mm] Y ist, ist Unfug.
Wenn A keine Teilmenge von B ist, ist doch noch lange nicht B Teilmenge von A
Dein Beweis funktioniert trotzdem, denn Du hast das ja gar nicht verwendet. Laß es also beherzt weg.
Gruß v. Angela
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