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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Di 06.11.2007 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Es seien A, B [mm] \subset \mathbb [/mm] R und man definiere:
[mm] A+B:=\lbrace [/mm] a+b | [mm] a\in [/mm] A, [mm] b\in [/mm] B [mm] \rbrace [/mm] sowie
[mm] A-B:=\lbrace [/mm] a-b | [mm] a\in [/mm] A, [mm] b\in [/mm] B [mm] \rbrace
[/mm]
Sind folgende Aussagen korrekt?
1) [mm] \forall [/mm] A,B gilt: A+(B-B) = A
2) [mm] \forall [/mm] A,B gilt: Ist B offen, so folgt A+B offen |
Hallo!
Also ich habe mir folgendes gedacht:
zu 1)
Die Aussage ist nicht korrekt. Schließlich ist doch
B-B = [mm] \lbrace [/mm] a-b | [mm] a\in [/mm] B, b [mm] \in [/mm] B [mm] \rbrace
[/mm]
wählt man zB [mm] B=\lbrace [/mm] 1,2,3 [mm] \rbrace [/mm] so ist [mm] B-B=\lbrace [/mm] -2,-1,0,1,2 [mm] \rbrace
[/mm]
Wählt man nun [mm] A=\lbrace [/mm] 5,6 [mm] \rbrace [/mm] so folgt für
A+(B-B) = [mm] \lbrace [/mm] 3,4,5,6,7,8 [mm] \rbrace
[/mm]
Stimmt das so?
zu 2)
Ich denke die Annahme ist korrekt. So richtig begründen kann ich es nicht...ich habs mir nur aufgemalt und ich denke so einfach klar gemacht. Stimmts denn? Wie zeigt man das formal?
Danke euch!
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Hallo
ich denke Aussage 2 ist falsch.
[mm] B=\emptyset [/mm] A={1}
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Di 06.11.2007 | | Autor: | Wimme |
die leere Menge gilt als offene Menge?
Ich mein...sie hat ja keine Punkte, und daher auch keine inneren?
Aber bei 1) würdest du zustimmen?
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Hallo,
ja, die leere Menge ist (per definitionem) offen (und abgeschlossen).
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Wimme |
hm, ok, wenn das per Definition so ist, dann denke ich Aussage 2 ist widerlegt. Aber 1 habe ich richtig gemacht und ist somit auch nicht korrekt, ja?
Wäre super, wenn jemand nochmal "Korrektur" lesen würde!
Danke euch vielmals!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mi 07.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> hm, ok, wenn das per Definition so ist, dann denke ich
> Aussage 2 ist widerlegt.
ich denke nicht, dass die aussage damit widerlegt ist (was ist denn in diesem fall $A + B$?). ich glaube viel mehr, dass die aussage korrekt ist.
> Aber 1 habe ich richtig gemacht
> und ist somit auch nicht korrekt, ja?
ja. da passt dein gegenbeispiel.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Wimme |
entweder ist sie [mm] \lbrace [/mm] 1 [mm] \rbrace [/mm] oder sie ist [mm] \emptyset [/mm] oder irgendwie gar nicht definiert.
wahrscheinlich ist sie leer und damit offen, wenn ich dich so höre ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Mi 07.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> entweder ist sie [mm]\lbrace[/mm] 1 [mm]\rbrace[/mm] oder sie ist [mm]\emptyset[/mm]
> oder irgendwie gar nicht definiert.
> wahrscheinlich ist sie leer und damit offen, wenn ich dich
> so höre ;)
ja, das stimmt. sie enthält nämlich genau die elemente, die man als $a + b$ mit $a [mm] \in [/mm] A$ und $b [mm] \in [/mm] B$ darstellen kann. und da es kein $b [mm] \in [/mm] B = [mm] \emptyset$ [/mm] gibt, kann man kein element so darstellen.
grüße
andreas
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