Mengengl. mit Funktionen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Aerow |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Abbildung f: A [mm] \to [/mm] B. Seien K [mm] \subseteq [/mm] A und M [mm] \subseteq [/mm] A.
I) Man beweise
f [K [mm] \cup [/mm] M] = f [K] [mm] \cup [/mm] f [M]
II) Man beweise
f [K [mm] \cap [/mm] M] [mm] \subseteq [/mm] f [K] [mm] \cap [/mm] f [M]
und widerlege f [K [mm] \cap [/mm] M] = f [K] [mm] \cap [/mm] f [M]
Für welche Abbildungen f: A [mm] \to [/mm] B gilt hier stets das Gleichheitszeichen? |
So, das wäre unsere Aufgabe aus Lineare Algebra 1. Das Problem ist, dass unser seniler Professor uns nicht richtig verständlich machen könnte, wie man mit Funktionen verfährt (Das Distributivgesetzt haben wir z.B. schon bewiesen, aber nun für f [M] muss ja etwas anderes gelten). Nun ist allerdings die Frage, wie man diese Problemstellung angeht.
Wir haben in der Übungsgruppe schon einige Umformungen und Begründungen anhand von Begriffen wie "surjektiv" etc. versucht, aber sind zu keinem wirklichen Ergebnis gekommen, da wir uns über die erforderliche Beweisstruktur nicht im Klaren sind.
Ich hoffe dass jemand hier eine Hilfestellung zu diesem Problem geben kann, da unser Tutor auch nichts verraten wollte / konnte.
Anmerkung:
bei II) Finde ich verwirrend, dass man einerseits die Form mit [mm] \subseteq [/mm] beweisen soll (die ja auch das "=" enthält) und im nächsten Schritt die Gleichheit widerlegen soll. Heißt das, dass "=" für bestimmte Mengen möglich ist, aber nicht zwingend für alle gilt oder handelt es sich dabei um einen Fehler?
Vielen Dank (für die Rettung) im Voraus
Jerome
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Gegeben sei eine Abbildung f: A [mm]\to[/mm] B. Seien K [mm]\subseteq[/mm] A
> und M [mm]\subseteq[/mm] A.
>
> I) Man beweise
> f [K [mm]\cup[/mm] M] = f [K] [mm]\cup[/mm] f [M]
>
> II) Man beweise
> f [K [mm]\cap[/mm] M] [mm]\subseteq[/mm] f [K] [mm]\cap[/mm] f [M]
>
> und widerlege f [K [mm]\cap[/mm] M] = f [K] [mm]\cap[/mm] f [M]
>
> Für welche Abbildungen f: A [mm]\to[/mm] B gilt hier stets das
> Gleichheitszeichen?
> So, das wäre unsere Aufgabe aus Lineare Algebra 1. Das
> Problem ist, dass unser seniler Professor uns nicht richtig
> verständlich machen könnte, wie man mit Funktionen verfährt
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich kenne Deinen Professor natürlich nicht, aber das, was Du gerade erfährst, könnten die ganz normalen Umstellungsprobleme von der Schule auf die Uni sein. Ich wage zu behaupten, daß kein Hochschulprofessor sich in seiner Vorlesung mit solchen Dingen abgibt.
Das Allerwichtigste bei dieser Aufgabe ist, daß Dir die Definition für f[M] (M Teilmenge der Def.menge) geläufig ist.
Ich bin realistisch: mit "geläufig" meine ich im Moment, daß sie auf Deinem Zettel steht und Du genau nachschauen kannst, was damit gemeint ist.
Weiter muß man die Beziehungen zwischen Mengen (Schnitt, Vereinigung etc.) verstanden haben.
Dann kann's losgehen.
Schauen wir die erste Aufgabe an:
> I) Man beweise
> f [K [mm]\cup[/mm] M] = f [K] [mm]\cup[/mm] f [M]
Zunächst einmal stellt man fest, daß man hier die Gleichheit zweier Mengen beweisen soll, nämlich von f [K [mm]\cup[/mm] M] und f [K] [mm]\cup[/mm] f [M].
Mengengleichheit bedeutet: jede Menge ist Teilemenge der anderen.
Es ist also zu zeigen:
A. f [K [mm]\cup[/mm] M] [mm] \subseteq [/mm] f [K] [mm]\cup[/mm] f [M]
B. f [K] [mm]\cup[/mm] f [M] [mm] \subseteq [/mm] f [K [mm]\cup[/mm] M]
Teilmengenbeziehungen zeigt man elementweise, indem man zeigt, daß jedes Element der einen auch in der anderen Menge liegt.
Ich mache das für A. jetzt mal vor, in der Hoffnung, daß Dich das für die Bearbeitung der anderen ein Stückchen voranbringt.
A. Zu zeigen: f [K [mm]\cup[/mm] M] [mm] \subseteq [/mm] f [K] [mm]\cup[/mm] f [M]
Bew.: Es sei [mm] y\in [/mm] f [K [mm]\cup[/mm] M] (ich habe also ein beliebiges Element aus der Menge genommen.)
==> es gibt ein [mm] x\in [/mm] K [mm]\cup[/mm] M mit f(x)=y (Def. des Bildes)
Also ist [mm] x\in [/mm] K und [mm] x\in [/mm] M mit f(x)=y. (Def. des Schnittes)
Nach Definition des Bildes ist somit [mm] y\in [/mm] f[K] und [mm] y\in [/mm] f[M].
==> [mm] y\in [/mm] f[K] [mm] \cap [/mm] f[M] (Def. des Schnittes)
Es gilt also insgesamt: [mm] y\in [/mm] f [K [mm]\cup[/mm] M] [mm] ==>y\in [/mm] f[K] [mm] \cap [/mm] f[M] , also ist [K [mm]\cup[/mm] M] [mm] \subseteq [/mm] f[K] [mm] \cap [/mm] f[M].
In ähnlichem Stile kann mandie anderen Aufgaben auch lösen.
> Anmerkung:
> bei II) Finde ich verwirrend, dass man einerseits die Form
> mit [mm]\subseteq[/mm] beweisen soll (die ja auch das "=" enthält)
> und im nächsten Schritt die Gleichheit widerlegen soll.
> Heißt das, dass "=" für bestimmte Mengen möglich ist, aber
> nicht zwingend für alle gilt
Genauso! Im allgemeinen wird die Gleichheit nicht gelten, in bestimmten Fällen möglicherweise schon.
> Vielen Dank (für die Rettung) im Voraus
Ob Du gerettet bist, wissen wir noch nicht, aber ich habe mich bemüht, den Ring in die richtige Richtung zu werfen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
