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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:22 So 11.11.2012 | | Autor: | Rated-R |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
a) (A [mm] \cup [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] B) = (A \ B [mm] )\cup [/mm] (B \ A)
b) A \ (B [mm] \cap [/mm] C) = (A \ B) [mm] \cup [/mm] (A \ C)
c) (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) = A [mm] \cap [/mm] ( B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) |
a)
(x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B)
zur übersicht (A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \wedge (\neg [/mm] A [mm] \vee \neg [/mm] B)
Wie komme ich hier weiter, kann ich das mit den Distributivgesetz umformen?
b) Umgeformt: A [mm] \wedge \neg [/mm] (B [mm] \wedge [/mm] C) <=> A [mm] \wedge (\neg [/mm] B [mm] \vee \neg [/mm] C) (de morgan)
<=> (A [mm] \wedge \neg [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (A [mm] \wedge \neg [/mm] C) Distributivgesetz stimmt oder?
c) hier hab ich auch Probleme die richtige Formel zu finden
Rückwärts beginnend: A [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \vee [/mm] C) [mm] \vee [/mm] (B [mm] \wedge [/mm] C)
ich weiß nicht wie man das Vereinfachen bzw. auf die gewünscht Form umformen könnte.
Vielen Dank für eure Hilfe
gruß Tom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 So 11.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Rated-R,
> c) (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\cup[/mm] (B [mm]\cap[/mm] C) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) = [mm] \red{(} [/mm] A [mm]\cap[/mm] ( B [mm]\cup[/mm] C) [mm] \red{)}[/mm] [mm]\cup[/mm] (B [mm]\cap[/mm] C)
> a)
Für beliebige Objekte x gelten folgende Äquivalenzen:
[mm] $x\in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \gdw$
[/mm]
> (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\not\in[/mm] A [mm]\red{\wedge}\green{\vee}[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B)
>
> zur übersicht (A [mm]\vee[/mm] B) [mm]\wedge (\neg[/mm] A [mm]\vee \neg[/mm] B)
A und B bezeichnen ja schon Mengen, nicht Aussagen. Schreibe also A' und B' für die Aussagen [mm] "$x\in [/mm] A$" bzw. [mm] "$x\in [/mm] B$".
> Wie komme ich hier weiter, kann ich das mit den
> Distributivgesetz umformen?
Das ist möglich, ja.
> b) Umgeformt: A [mm]\wedge \neg[/mm] (B [mm]\wedge[/mm] C) <=> A [mm]\wedge (\neg[/mm]
> B [mm]\vee \neg[/mm] C) (de morgan)
> <=> (A [mm]\wedge \neg[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (A [mm]\wedge \neg[/mm] C)
> Distributivgesetz stimmt oder?
Hier gelten die gleichen Anmerkungen wie bei a). Ansonsten ok.
> c) hier hab ich auch Probleme die richtige Formel zu
> finden
>
> Rückwärts beginnend: [mm] \red{(} [/mm] A [mm]\wedge[/mm] (B [mm]\vee[/mm] C) [mm] \red{)}[/mm] [mm]\vee[/mm] (B [mm]\wedge[/mm]
> C)
>
> ich weiß nicht wie man das Vereinfachen bzw. auf die
> gewünscht Form umformen könnte.
Obwohl auch hier prinzipiell ein Start mit dem Distributivgesetz möglich wäre, ist dein Vorgehen mit Äquivalenzumformungen bei schwierigeren Aufgaben nicht ganz leicht durchzuführen. Ich würde dir daher grundsätzlich ein anderes Vorgehen empfehlen: Guck mal hier (klick) unter Punkt h).
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 So 11.11.2012 | | Autor: | Rated-R |
> Hallo Rated-R,
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> > c) (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\cup[/mm] (B [mm]\cap[/mm] C) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) = [mm]\red{(}[/mm] A
> [mm]\cap[/mm] ( B [mm]\cup[/mm] C) [mm]\red{)}[/mm] [mm]\cup[/mm] (B [mm]\cap[/mm] C)
>
>
> > a)
> Für beliebige Objekte x gelten folgende Äquivalenzen:
> [mm]x\in (A \cup B) \setminus (A \cap B) \gdw[/mm]
> > (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm]
> x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\not\in[/mm] A [mm]\red{\wedge}\green{\vee}[/mm] x
> [mm]\not\in[/mm] B)
> >
> > zur übersicht (A [mm]\vee[/mm] B) [mm]\wedge (\neg[/mm] A [mm]\vee \neg[/mm] B)
> A und B bezeichnen ja schon Mengen, nicht Aussagen.
> Schreibe also A' und B' für die Aussagen "[mm]x\in A[/mm]" bzw.
> "[mm]x\in B[/mm]".
>
> > Wie komme ich hier weiter, kann ich das mit den
> > Distributivgesetz umformen?
> Das ist möglich, ja.
>
beim einem hab ich aber A' und beim anderen [mm] \neg [/mm] A' ich kenne nur das Gesetz A [mm] \vee [/mm] ( B [mm] \wedge [/mm] C) = (A [mm] \vee [/mm] B ) [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \vee [/mm] C) gibts irgend einen Trick mit dem ich das nicht A wegbekomme?
>
> > b) Umgeformt: A [mm]\wedge \neg[/mm] (B [mm]\wedge[/mm] C) <=> A [mm]\wedge (\neg[/mm]
> > B [mm]\vee \neg[/mm] C) (de morgan)
> > <=> (A [mm]\wedge \neg[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (A [mm]\wedge \neg[/mm] C)
> > Distributivgesetz stimmt oder?
> Hier gelten die gleichen Anmerkungen wie bei a). Ansonsten
> ok.
>
>
> > c) hier hab ich auch Probleme die richtige Formel zu
> > finden
> >
> > Rückwärts beginnend: [mm]\red{(}[/mm] A [mm]\wedge[/mm] (B [mm]\vee[/mm] C) [mm]\red{)}[/mm]
> [mm]\vee[/mm] (B [mm]\wedge[/mm]
> > C)
> >
> > ich weiß nicht wie man das Vereinfachen bzw. auf die
> > gewünscht Form umformen könnte.
> Obwohl auch hier prinzipiell ein Start mit dem
> Distributivgesetz möglich wäre, ist dein Vorgehen mit
> Äquivalenzumformungen bei schwierigeren Aufgaben nicht
> ganz leicht durchzuführen. Ich würde dir daher
> grundsätzlich ein anderes Vorgehen empfehlen: Guck mal
> hier (klick)
> unter Punkt h).
>
Also praktische eine Fallunterscheidung, das dauert aber auch seine Zeit^^^Vielen Dank!
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 So 11.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> beim einem hab ich aber A' und beim anderen [mm]\neg[/mm] A' ich
> kenne nur das Gesetz A [mm]\vee[/mm] ( B [mm]\wedge[/mm] C) = (A [mm]\vee[/mm] B )
> [mm]\wedge[/mm] (A [mm]\vee[/mm] C) gibts irgend einen Trick mit dem ich das
> nicht A wegbekomme?
[mm] $A\wedge \neg [/mm] A$ ist stets eine falsche Aussage. Sie kann also innerhalb einer Disjunktion (=oder-Verknüpfung von Aussagen) weggelassen werden.
> Also praktische eine Fallunterscheidung, das dauert aber
> auch seine Zeit
Das stimmt. Dein Weg ist sehr schnell, wenn du passende Gesetze schon kennst. Aber mit zunehmender Komplexität wird es immer schwieriger, alles auf solche Gesetze zurückzuführen, wie du ja schon an diesen Aufgaben siehst. Spätestens, wenn du mit konkreteren Mengen zu tun haben wirst, wirst du um die von mir vorgestellte Art der Herangehensweise nicht mehr herumkommen.
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