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Mengenlehre: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:16 Mi 11.07.2018
Autor: meister_quitte

Aufgabe
Seien M, X, Y nichtleere Mengen und A, B, C, D, Teilmengen von M. Man beweise oder widerlege:

a) [mm] $\left( A \backslash B \right) \cup \left( C \backslash D \right)=\left( A\cup C \right) \backslash \left( B \backslash D \right)$ [/mm]

b) $A [mm] \backslash \left( B \cup C \right)=\left( A \backslash B \right) \cap \left( A\backslash C \right)$ [/mm]

c) Zu jeder Teilmenge $Z [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \times [/mm] Y$ existieren Teilmengen [mm] $Z_1 \subseteq [/mm] X$ und [mm] $Z_2 \subseteq [/mm] Y$ derart, dass $Z = [mm] Z_1 \times Z_2 [/mm] $

Guten Morgen Freunde der Mathematik,

ich wollte gerne wissen, ob ich die Beweise richtig geführt habe. Beim letzten Beweis bin ich mir nicht ganz so sicher. Vielen Dank schon mal für eure Mühen.

Mit freundlichem Gruß

Christoph

a) $x [mm] \in \left( A \backslash B \right) \cup \left( C \backslash D \right) [/mm] = x [mm] \in \left( A \backslash B \right) \vee [/mm] x [mm] \in \left( C \backslash D \right)= [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm]  x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] D = x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] D=x [mm] \in \left( A\cup C \right) \wedge [/mm] x [mm] \not\in \left( B \backslash D \right)=x \in \left( A\cup C \right) \backslash \left( B \backslash D \right) [/mm] $

b) $x [mm] \in [/mm] A [mm] \backslash \left( B \cup C \right)=x \in [/mm] A [mm] \wedge \left( x \not\in B \vee x \not\in C \right)=x \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C=x [mm] \in \left( A \backslash B \right) \cup [/mm] x [mm] \in \left( A\backslash C \right)=x \in \left( A \backslash B \right) \cup \left( A\backslash C \right) \not=x \in \left( A \backslash B \right) \cap \left( A\backslash C \right)$ [/mm]

c) $(x,y) [mm] \in [/mm] Z  [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \times [/mm] Y [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \Rightarrow$ [/mm] wegen $(x,y) [mm] \in [/mm] Z : x [mm] \in Z_1 \wedge [/mm] y [mm] \in Z_2$ [/mm]

        
Bezug
Mengenlehre: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Mi 11.07.2018
Autor: ChopSuey

Hallo,

> Seien M, X, Y nichtleere Mengen und A, B, C, D, Teilmengen
> von M. Man beweise oder widerlege:
>  
> a) [mm]\left( A \backslash B \right) \cup \left( C \backslash D \right)=\left( A\cup C \right) \backslash \left( B \backslash D \right)[/mm]
>  
>  
> b) [mm]A \backslash \left( B \cup C \right)=\left( A \backslash B \right) \cap \left( A\backslash C \right)[/mm]
>  
> c) Zu jeder Teilmenge [mm]Z \subseteq X \times Y[/mm] existieren
> Teilmengen [mm]Z_1 \subseteq X[/mm] und [mm]Z_2 \subseteq Y[/mm] derart, dass
> [mm]Z = Z_1 \times Z_2[/mm]
>  Guten Morgen Freunde der Mathematik,
>  
> ich wollte gerne wissen, ob ich die Beweise richtig
> geführt habe. Beim letzten Beweis bin ich mir nicht ganz
> so sicher. Vielen Dank schon mal für eure Mühen.
>  
> Mit freundlichem Gruß
>  
> Christoph
>  
> a) [mm]x \in \left( A \backslash B \right) \cup \left( C \backslash D \right) = x \in \left( A \backslash B \right) \vee x \in \left( C \backslash D \right)= x \in A \wedge x \not\in B \vee x \in C \wedge x \not\in D = x \in A \vee x \in C \wedge x \not\in B \wedge x \not\in D=x \in \left( A\cup C \right) \wedge x \not\in \left( B \backslash D \right)=x \in \left( A\cup C \right) \backslash \left( B \backslash D \right)[/mm]
>  

Die Gleichheitszeichen sind sinnfrei in diesem Kontext. Das ist keine Gleichung sondern eine Implikation bzw. Äquivalenz die du zeigen möchtest.

Also:

$ x [mm] \in \left( A \backslash B \right) \cup \left( C \backslash D \right) \gdw [/mm] x [mm] \in \left( A \backslash B \right) \vee [/mm] x [mm] \in \left( C \backslash D \right) [/mm] ... $

Die logischen Verknüpfungen sind in Ordnung.

> b) [mm]x \in A \backslash \left( B \cup C \right)=x \in A \wedge \left( x \not\in B \vee x \not\in C \right)=x \in A \wedge x \not\in B \vee x \in A \wedge x \not\in C=x \in \left( A \backslash B \right) \cup x \in \left( A\backslash C \right)=x \in \left( A \backslash B \right) \cup \left( A\backslash C \right) \not=x \in \left( A \backslash B \right) \cap \left( A\backslash C \right)[/mm]


Hier gilt natürlich dasselbe. Ich hätte zunächst begonnen mit

$x [mm] \in [/mm] A [mm] \backslash \left( B \cup C \right) \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in (B\cup [/mm] C) ... $

>  
> c) [mm](x,y) \in Z \subseteq X \times Y \Rightarrow x \in X \wedge y \in Y \Rightarrow[/mm]
> wegen [mm](x,y) \in Z : x \in Z_1 \wedge y \in Z_2[/mm]

Nein, die erste Implikation stimmt i.A. nicht. Wo kommen [mm] $Z_1$ [/mm] und [mm] $Z_2$ [/mm] plötzlich her?

Seien $X,Y [mm] \not= \emptyset [/mm] $ und $ Z [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \times [/mm] Y$

Es ist $ X [mm] \times [/mm] Y  [mm] \supseteq [/mm] Z= [mm] \left\{(x,y) \mid (x \in Z \cap X) \wedge (y \in Z \cap Y) \right\}$ [/mm]

Bezeichne $ [mm] Z_1 [/mm] := Z [mm] \cap [/mm] X$ sowie [mm] $Z_2 [/mm] := Z [mm] \cap [/mm] Y$. Es gilt nach Definition von [mm] $Z_1,Z_2$ [/mm] ganz offensichtlich [mm] $Z_1 \subseteq [/mm] X$ und [mm] $Z_2 \subseteq [/mm] Y$ und insbesondere $Z = (Z [mm] \cap X)\times [/mm] (Z [mm] \cap [/mm] Y) = [mm] Z_1 \times Z_2 \Box$ [/mm]

LG,
ChopSuey

Bezug
                
Bezug
Mengenlehre: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:35 Do 12.07.2018
Autor: meister_quitte

Vielen Dank !

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