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| Aufgabe | Seien X, Y beliebige nichtleere Mengen. Man beweise oder widerlege:
a) Für alle [mm] $A_1, A_2 \subseteq [/mm] X$ und [mm] $B_1, B_2 \subseteq [/mm] Y$ gilt
[mm] $\left( A_1 \times B_1 \right) \cap \left( A_2 \times B_2 \right) [/mm] = [mm] \left( A_1 \cap B_1 \right) \times \left( A_2 \cap B_2 \right)$
[/mm]
b) Für alle [mm] $A_1, A_2 \subseteq [/mm] X$ und [mm] $B_1, B_2 \subseteq [/mm] Y$ gilt
[mm] $\left( A_1 \times B_1 \right) \cup \left( A_2 \times B_2 \right) [/mm] = [mm] \left( A_1 \cup B_1 \right) \times \left( A_2 \cup B_2 \right)$ [/mm] |
Hallo Freunde der Mathematik,
ich wollte wissen, ob mein Gerechnetes so stimmt.
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Schöne Grüße
Christoph
Vor.: X, Y beliebige nichtleere Mengen, [mm] $A_1, A_2 \subseteq [/mm] X$ und [mm] $B_1, B_2 \subseteq [/mm] Y$
Beh.: a) [mm] $\left( A_1 \times B_1 \right) \cap \left( A_2 \times B_2 \right) [/mm] = [mm] \left( A_1 \cap A_2 \right) \times \left( B_1 \cap B_2 \right)$
[/mm]
b) [mm] $\left( A_1 \times B_1 \right) \cup \left( A_2 \times B_2 \right) [/mm] = [mm] \left( A_1 \cup A_2 \right) \times \left( B_1 \cup B_2 \right)$
[/mm]
Bew.: a) [mm] $\left( x,y \right) \in $\left( A_1 \times B_1 \right) \cap \left( A_2 \times B_2 \right) \iff \left( x,y \right) \in \left( A_1 \times B_1 \right) \wedge \left( x,y \right) \in \left( A_2 \times B_2 \right) \iff [/mm] x [mm] \in A_1 \wedge [/mm] x [mm] \in A_2\wedge [/mm] y [mm] \in B_1 \wedge [/mm] y [mm] \in B_2 \iff [/mm] x [mm] \in \left( A_1 \cap A_2 \right) \wedge [/mm] y [mm] \in \left( B_1 \cap B_2 \right) \iff \left( x,y \right) \in \left( A_1 \cap A_2 \right) \times \left( B_1 \cap B_2 \right)$
[/mm]
b) [mm] $\left( x,y \right) \in $\left( A_1 \times B_1 \right) \cup \left( A_2 \times B_2 \right) \iff \left( x,y \right) \in \left( A_1 \times B_1 \right) \vee \left( x,y \right) \in \left( A_2 \times B_2 \right) \iff \left( x \in A_1 \wedge y \in B_1 \right) \vee \left( x \in A_2 \wedge y \in B_2 \right) \not\gdw \left( x \in A_1 \vee x \in A_2 \right) \wedge \left( y \in B_1 \vee y \in B_2 \right) \iff \left( x,y \right) \in \left( A_1 \cup A_2 \right) \times \left(B_1 \cup B_2 \right)$ [/mm] (Wds.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Di 17.07.2018 | | Autor: | Fulla |
Hallo Christoph,
du hast dich zwar bei der Aufgabenstellung oben vertippt, aber an deiner Lösung habe ich nichts auszusetzen.
Bei b) könntest du evtl. das "[mm]\not\Leftrightarrow[/mm]" etwas erläutern, bzw. an der Stelle "[mm]\Longrightarrow[/mm]" schreiben und begründen, warum die Rückrichtung nicht gilt.
(Siehe dazu auch ![[]](/images/popup.gif) hier.)
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo Fulla,
laut deinem Link gilt. dass bei b) die linke Seite die Rechte enthält, aber nicht umgekehrt. Deswegen lässt zwischen und und oder nicht tauschen, weil sonst die Rechenregel verletzt würde. Ich hoffe ich habe das richtig erklärt.
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Di 17.07.2018 | | Autor: | Fulla |
> Hallo Fulla,
>
> laut deinem Link gilt. dass bei b) die linke Seite die
> Rechte enthält, aber nicht umgekehrt. Deswegen lässt
> zwischen und und oder nicht tauschen, weil sonst die
Da fehlt doch was...?
> Rechenregel verletzt würde. Ich hoffe ich habe das richtig
> erklärt.
Auf Wikipedia ist die Reihenfolge genau anders herum, als in deiner Aufgabe...
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Alles klar. Danke für deine Hilfe.
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