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| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1)
Gegeben seien die Mengen
- A= { z Element Z I 3z+ 1 ist gerade },
- B= { z Element Z I 3 z²+1 ist durch 4 teilbar },
- C= { z Element Z I es gibt x,y Element Z mit z= x²- y²}
a) Zeige A=B und gebe eine einfache Charakterisierung der Elemente dieser Menge an. Mit Begründung.
b) Zeige, dass A eine echte Teilmenge von C ist. |
Hallo ich bitte euch helft mir! Ich blick hier nicht durch. Ich komme nichtmals auf ein Lösungsansatz. Soll man in a) vielleicht gleichsetzen? Aber selbst dann kommt bei mir kein richtiges Ergebnis raus.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Mo 27.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum verschaffst du dir nicht erst mal nen ueberblich welche der erst paar Zahlen z zu A gehoern, ebenso b und c.
Dann kommst du ja vielleicht auf ne Idee!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> 1)
> Gegeben seien die Mengen
> - A= { z Element Z I 3z+ 1 ist gerade },
> - B= { z Element Z I 3 z²+1 ist durch 4 teilbar },
> - C= { z Element Z I es gibt x,y Element Z mit z= x²- y²}
>
> a) Zeige A=B und gebe eine einfache Charakterisierung der
> Elemente dieser Menge an. Mit Begründung.
>
> b) Zeige, dass A eine echte Teilmenge von C ist.
> Hallo ich bitte euch helft mir! Ich blick hier nicht
> durch. Ich komme nichtmals auf ein Lösungsansatz. Soll man
> in a) vielleicht gleichsetzen? Aber selbst dann kommt bei
> mir kein richtiges Ergebnis raus.
ja, allerdings musst Du das vernünftig machen. Benutze dazu:
[mm] $(\star)$ [/mm] $A=B$ [mm] $\gdw$ [/mm] $A [mm] \subset [/mm] B$ und $B [mm] \subset [/mm] A$.
Zeige also zwei Dinge:
1.) Für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ folgt auch $x [mm] \in [/mm] B$ (also $A [mm] \subset [/mm] B$).
und
2.) Für jedes $x [mm] \in [/mm] B$ folgt auch $x [mm] \in [/mm] A$ (also $B [mm] \subset [/mm] A$).
(Denn 1.) und 2.) liefern zusammen mit der Folgerung [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] aus [mm] $(\star)$ [/mm] dann $A=B$.)
Bzgl. der Charakterisierung bei Aufgabenteil a):
Da hilft Dir folgendes, was ich einfach mal behaupte:
[mm] $$(\star_2) \;\;\;A=\{u \in \IZ:\;u \text{ ungerade}\}\,.$$
[/mm]
(Wobei eine Zahl $u [mm] \in \IZ$ [/mm] genau dann ungerade heißt, wenn ein (und damit auch genau ein) $k [mm] \in \IZ$ [/mm] so existiert, dass $u=2k-1$. Also: [mm] $\{u \in \IZ:\;u \text{ ungerade}\}=\{2k-1:\;k \in \IZ\}$.)
[/mm]
Hast Du eine Idee, wie Du [mm] $(\star_2)$ [/mm] beweisen könntest?
Und weil ja $A=B$ ist, kann man $B$ genauso charakterisieren.
Zu b):
Dass $A$ eine echte Teilmenge von $C$ ist, zeigst Du, indem Du zeigst:
Jedes $x [mm] \in [/mm] A$ erfüllt auch $x [mm] \in [/mm] C$ (also $A [mm] \subset [/mm] C$), und es gibt ein $c [mm] \in [/mm] C$ mit $c [mm] \notin [/mm] A$ (d.h. $C [mm] \not\subset [/mm] A$).
P.S.:
Natürlich ist der Tipp von Leduart das erste, was man machen sollte, wenn man gar keine Idee hat. Einfach, damit man mal ein Gespür dafür bekommt, was da eigentlich für Mengen stehen. Zumal das je auch nicht schlecht ist, diese mal konkret zu sehen, um auch mal zu sehen, ob die Behauptungen überhaupt sinnvoll sind 
Gruß,
Marcel
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Hallo! Erstmal vielen Dank für die Hilfe. Leider komme ich nicht ganz zurecht. Den Tipp alle Zahlen auszuprobieren habe ich bereits. Nur das Problem ist, dass ich dann unendlich viele Zahlen hab. Also 2k-1 hilft mir ungemein. Aber ich habe keinen Schimmer, wie ich das beweisen soll. Kannst du mir noch etwas helfen?
Vielen Dank im Voraus
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo! Erstmal vielen Dank für die Hilfe. Leider komme ich
> nicht ganz zurecht. Den Tipp alle Zahlen auszuprobieren
> habe ich bereits. Nur das Problem ist, dass ich dann
> unendlich viele Zahlen hab. Also 2k-1 hilft mir ungemein.
> Aber ich habe keinen Schimmer, wie ich das beweisen soll.
> Kannst du mir noch etwas helfen?
Du sollst zunächst ja $A=B$ zeigen (Edit: Wichtig: Die Definition der Menge [mm] $\black{B}$ [/mm] ist anscheinend falsch. Es sollte eher [mm] $B=\{z \in \IZ: z^2\green{-1} \text{ ist durch 4 teilbar}\}$ [/mm] heißen.) Zweiter Edit: Sorry, ich hatte mich verlesen. Es war ja [mm] $B=\{z \in \IZ: \; \blue{3}z^2+1 \text{ ist durch 4 teilbar}\}$ [/mm]
Ich habe Dir gesagt, wie das vonstatten geht. Ich mache jetzt mal den Beweis für 1.). Eigentlich solltest Du daran schon erkennen, wie alles andere ablaufen wird.
Also 1.): Wir zeigen $A [mm] \subset [/mm] B$ bzw. [mm] $\{z \in \IZ:\; 3z+1 \text{ ist gerade}\} \subset \{z \in \IZ:\; 3z^2+1\text{ ist durch 4 teilbar}\}\,.$
[/mm]
Beweis zu 1.):
Sei $a [mm] \in [/mm] A$. Dann ist $a [mm] \in \IZ$ [/mm] so, dass [mm] $3\black{a}+1$ [/mm] gerade ist. Wegen [mm] $3\black{a}+1=2a+(a+1)$ [/mm] bzw. [mm] $\underbrace{(3a+1)}_{gerade}-\underbrace{2a}_{gerade}=a+1$ [/mm] ist dies genau dann der Fall, wenn [mm] $\black{a}$ [/mm] ungerade ist. Folglich existiert ein [mm] $\black{k} \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $\black{a}=2k-1$.
[/mm]
Nun berechnen wir [mm] $3\black{a}^2+1$. [/mm] Denn wegen $a [mm] \in [/mm] A$ ist ja insbesondere $a [mm] \in \IZ$, [/mm] und um $a [mm] \in [/mm] B$ zu erkennen, müssen wir nur noch zeigen, dass [mm] $3\black{a}^2+1$ [/mm] durch $4$ teilbar ist. Dass dem so ist, erkennt man so:
[mm] $$3\black{a}^2+1=3(2k-1)^2+1=3(4k^2-4k+1)+1=4(3k^2-3k+1)\,.$$
[/mm]
Weil [mm] $(3k^2-3k+1) \in \IZ$ [/mm] gilt (wegen $k [mm] \in \IZ$), [/mm] folgt damit auch [mm] $\black{a} \in B\,.$
[/mm]
Versuchst Du's nun mal alleine weiter?
(P.S.: Zu 2.):
Für $z [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt [mm] $3z^2+1$ [/mm] ist durch 4 teilbar genau dann, wenn ein $k [mm] \in \IZ$ [/mm] so existiert, dass [mm] $3z^2+1=4k$. [/mm] Überlege Dir nun, dass [mm] $3z^2+1=4k$ [/mm] für gerade $z [mm] \in \IZ$ [/mm] nicht möglich ist. Also muss $z$ ungerade sein, und damit bist Du auch quasi schon fertig...)
Gruß,
Marcel
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Hey kannst du mir sagen wie du auf a= 2k-1 kommst?... danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Di 28.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
jede gerade Zahl kann man als 2k schreiben, deshalb jede ungerade als 2k-1 (oder 2k+1)
Gruss leduart
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